为A的数值值域.称R4=Sup|川为算子A的数值半径 定理3设H是 Hilbert空间,A∈B(H)是自伴算子,则 (1)(A)co(A),特别地a(A),O(A)都由实数构成 (2) sup lul‖A‖l 证明 注意(Ax,x)是实数,我们证明若A∈o(A),则 A∈a(A).设d=p(,O(A)=inf|-4|,则d>0.Vx∈H,x≠0 Heo(A) 时 d|xs2-(4( =|A(x,x)-(Ax,x) =|(I-A)x,x) ≤‖(I-A)x|xll 于是 dx|-‖(a-A)xl‖ (5-3-3) 若yn∈R(a-A),y→>y.不妨设yn=(M/-A)xn,这里 xn∈X.由式(5-3-3){xn}是 Cauchy序列,H完备,不妨设xn→>x 由M-A的连续性得到y=(-A)x0,故y0∈R(M-A),R(M-A) 是闭子空间 A/-A是到上的若不然由Rese表现定理,存在y∈H,py=1使 得Vx∈H,(-A)x,y)=0.特别地,(I-A)y,y)=0,于是 ==(4,y)∈(A 与所设矛盾.于是A-A既是一一的,又是到上的,由逆算子定理 (-A)是有界的.所以A∈p(A).(1)成立 2°VH∈o(A),存在x∈H,‖xl=1,μ=(Ax,x).于是 山1=1(4xx)4x=4, 故supl4图‖A‖l3 为 A 的数值值域. 称 sup | | ( ) µ µ ω A RA ∈ = 为算子 A 的数值半径. 定理 3 设 H 是 Hilbert 空间， A∈ Β(H) 是自伴算子，则 (1) σ (A) ⊂ ω(A) ，特别地 σ (A)， ω(A)都由实数构成. (2) sup | | || || ( ) A A = ∈ µ µ ω . 证 明 D 1 注 意 ( ,) Ax x 是实数 , 我们证明若 λ ω∈ ( ) A ， 则 λ σ ∈ ( ) A . 设 ( , ( )) inf | | ( ) ρ λ ω λ µ µ ω = = − ∈ A d A ，则 d > 0 . ∀x ∈ H ，x ≠ 0 时 2 2 ) || || || || ), || || || || ( ( x x x x x d x ≤ λ − A = | ( , ) ( , )| λ x x Ax x − = | (( ) , ) | λI − Axx ≤ || ( ) |||| || λI − Ax x . 于是 d || x ||≤|| (λI − A)x || （5-3-3） 若 y R( I A) n ∈ λ − ， n 0 y y → . 不妨设 n n y = (λI − A)x ，这里 xn ∈ X . 由式（5-3-3）{ }n x 是 Cauchy 序列，H 完备，不妨设 n 0 x → x . 由 λI − A的连续性得到 0 0 y = (λI − A)x ，故 ( ) y0 ∈ R λI − A ，R(λI − A) 是闭子空间. λI − A是到上的. 若不然由 Riese 表现定理, 存在 y Hy ∈ , 1 = 使 得 ∀ ∈x H , (( ) , ) 0 λI Axy − = . 特别地, (( ) , ) 0 λI Ayy − = , 于是 2 λλ ω == ∈ y Ay y A ( , ) ( ), 与所设矛盾 . 于 是 λI − A 既是一一的 ,又是到上的 , 由逆算子定理 , 1 ( ) λI A − − 是有界的. 所以 λ ∈ ρ( ). A (1)成立. D 2 ∀µ ∈ω(A) , 存在 x ∈ H ， || x ||= 1， µ = (Ax, x). 于是 2 | | |( , )| µ = ≤= Ax x A x A ， 故 sup | | || || ( ) A A ≤ ∈ µ µ ω