证明:充分性: 江画工太猩院 在G内任取一条有向光滑闭曲线L,由于G是 单连通的,所以闭曲线L所围成的区域D全部在G内, 「Pk+②=士∫ 00 OP )dxdy ax dy 00 oP 又 在G上恒成立,P+h=0 即曲线积分PQ在G内与路径无关 必要性: 已知曲线积分Px+⑩小在G内与路径无关, 则该积分在G内沿任意闭曲线的曲线积分为零,江西理工大学理学院 证明：充分性： 在G内任取一条有向光滑闭 曲线L,由于G是 单连通的,所以闭曲线 L所围成的区域 D全部在G内, ∫ + L Q Pdx Qdy dxdy yP xQ D ( ) ∂∂ − ∂∂ = ±∫∫ 又 在G上恒成立 , y P x Q ∂ ∂ = ∂ ∂ ∴ + = 0 ∫L Pdx Qdy 即曲线积分 Pdx Qdy在G内与路径无关. L∫ + 必要性： 已知曲线积分 Pdx Qdy在G内与路径无关 , L∫ + 则该积分在G内沿任意闭曲线的曲线积分为零