例24设fx)=3x2+x21x小，则使(0)存在的最高阶数n为(）. A.0. B.1. C.2. D.3. 解逐阶计算导数来验证，记)=3x,易见(O)都存在，再记5x)=x2x,则 由求导公式和定义，有 即(x)=61x,则有(0)=(0)=0.x在x=0不可导，知(0)不再存在，即n=2, 选C. 例25设y=sin2x.求y0(0). 分析求函数的高阶导数一般先求一阶导数，再求二阶，三阶，.，找出阶导数的规 律，然后用数学归纳法加以证明。或者是通过恒等变形或者变量代换，将要求高阶导数的函 数转换成一些高阶导数公式已知的函数或者是一些容易求高阶导数的形式.用这种方法要求 记住内容提要中所给出的一些常见函数的高阶导数公式. 解法1y=smx=分o0s2x.则 y=sin2x, y=2cos2x, =-2.sin2x, =-23.c0s2x, y9=2.sin2x,.,yw=-2%c0s2x, 故y0(0)=-2. 解法2利用公式(sink)=k“·sin(+).由y=2 sinxcosx=sin2x,得 yma国=2”sm2a+2, 故y0(0)=-2”。 解法3利用幂级数展开式(：)=a。·m川. y=m-om2r-2+0时+高a+ 故y四(0)=-2. 注解法3用到了幂级数展开式，这是第十章无穷级数的内容。 例26设y=ln(x2-3x+2).求y0. 2x-3 分析先求出/一二”十2，若维续求导，将根难归纳出四阶导数的表达式。此类有例 24 设 3 2 f x x x x ( ) 3 | | = + ，则使 ( ) (0) n f 存在的最高阶数 n 为（ ）． A． 0 ． B．1． C． 2 ． D．3 ． 解 逐阶计算导数来验证，记 3 1 f x x ( ) 3 = ，易见 ( ) 1 (0) n f 都存在，再记 2 2 f x x x ( ) | | = ，则 由求导公式和定义，有 3 2 3 0 ( ) 0 x x f x x x   =  −  ， ， ， 2 2 2 3 , 0 ( ) 3 , 0 x x f x x x    =  −  ， 2 6 , 0 ( ) 6 , 0 x x f x x x    =  −  , 即 2 f x x ( ) 6 | |  = ，则有 2 2 f f   (0) (0) 0 = = ．由 | | x 在 x = 0 不可导，知 (3) 2 f (0) 不再存在，即 n = 2 ， 选 C． 例 25 设 2 y x = sin ．求 (100) y (0) ． 分析 求函数的高阶导数一般先求一阶导数，再求二阶，三阶，．．．，找出 n 阶导数的规 律，然后用数学归纳法加以证明．或者是通过恒等变形或者变量代换，将要求高阶导数的函 数转换成一些高阶导数公式已知的函数或者是一些容易求高阶导数的形式．用这种方法要求 记住内容提要中所给出的一些常见函数的高阶导数公式． 解法 1 y = 2 sin x = 1 1 cos 2 2 2 − x ．则 y x  = sin 2 ， y x  = 2cos2 ， (3) 2 y x = −  2 sin2 ， (4) 3 y x = −  2 cos2 ， (5) 4 y x =  2 sin2 ， ， (100) 99 y x = −  2 cos2 ， 故 (100) y (0) = 99 −2 ． 解法 2 利用公式 ( ) (sin ) n kx = sin( ) 2 n k k kx   + ．由 y x x x  = = 2sin cos sin 2 ，得 (100) y x( ) = 99 99 2 sin(2 ) 2 x   + ， 故 (100) y (0) = 99 −2 ． 解法 3 利用幂级数展开式 ( ) 0 ( ) ! n n f x a n =  ． 2 y x = sin = 1 1 cos 2 2 2 − x = 1 1 1 1 1 2 100 [1 2 (2 ) (2 ) ] 2 2 2! 4! 100! − − + − + − + x x x ， 故 (100) y (0) = 99 −2 ． 注 解法 3 用到了幂级数展开式，这是第十章无穷级数的内容． 例 26 设 2 y x x = − + ln( 3 2) ．求 (50) y ． 分析 先求出 2 2 3 3 2 x y x x −  = − + ，若继续求导，将很难归纳出 n 阶导数的表达式．此类有