解法1安=+己2p6od动-0rmx+不京 所以 -pi小+热 解法2山=dooc2刘+acn对d(soi2x+darcsin.x=06ec产d+二 例21设f(cosx)=c0s2x.求∫(x). 解法1在∫(cosx)=cos2x的两边微分，得 f(cosx)d cosx=-2sin2xx, f"(cosx).(-sin x)d=-4sinxcosxdx 化简得 f(cosx)=4cosx. 令c0sx=1,则∫0=41.于是可得 f(x)=4x,Ix1. 解法2由于 f(cosx)=cos2x=2cos2x-1, 于是 fx)=2x2-1,其中x1 域 例2设y=sim)且了有=阶导数.求 解y'=cosf(x2)fx2)2x=2x·fx2)c0sfx2), y=2f(x)-cosf(x)+2x.(x).2x-cosf(x)+2x.f(x)-[-sin/(x)]f(x).2x -2f(x)-cosf(x)+4x.f(x)-cosf(x)-4x2.U()F.sinf(x). 例23已知函数fx)具有任意阶导数且∫"(x)=(x).则当n为大于2的正整数时 x)是(). A.n[f(x).B.n[f(x)C.[f(x).D.nf(x). 分析已知f(x)=[fx.应求出f(x),(x),.用数学归纳法推出n阶导数. 解当n≥2时，f(x)=[fx,f"(x)=2fx)f"(x)=2[fx,以及 (x)=2x3[fx).f"(x)=1×2×3[fx=3[fx, (x)=(n-1[f(x=[fx.fx)=h[fx)m.故选B. 解法 1 dy dx = 2 2 2 1 (sec )(sec ) 1 x x x   + − = 2 2 2 1 2 (sec ) sec tan 1 x x x x   + − ， 所以 dy = 2 2 2 1 [2 (sec ) sec tan ] 1 x x x dx x   + − ． 解法 2 dy = 2 d x x [ (sec ) arcsin ]  + = 2 d x d x (sec ) arcsin + = 2 2 2 (sec ) sec 1 dx x d x x  + − = 2 2 2 1 [2 (sec ) sec tan ] 1 x x x dx x   + − ． 例 21 设 f x x (cos ) cos2 = ．求 f x ( ) ． 解法 1 在 f x x (cos ) cos2 = 的两边微分，得 f x d x xdx (cos ) cos 2sin 2 = − ， 即 f x x dx x xdx (cos ) ( sin ) 4sin cos  − = − ， 化简得 f x x (cos ) 4cos = ． 令 cos x t = ，则 f t t ( ) 4 = ．于是可得 f x x ( ) 4 = ，| | 1 x  ． 解法 2 由于 2 f x x x (cos ) cos2 2cos 1 = = − ， 于是 2 f x x ( ) 2 1 = − ，其中 | | 1 x  ． 所以 f x x ( ) 4 = ，| | 1 x  ． 注 本题作变换 t x = cos ，则要求 | | 1 t  ．故在最后需指明 { | 1 1} x x −   是 f x ( ) 的定义 域． 例 22 设 2 y f x = sin ( ) 且 f 有二阶导数．求 2 2 d y dx ． 解 y = 2 2 cos ( ) ( ) 2 f x f x x    = 2 2 2 ( ) cos ( ) x f x f x    ， y  = 2 2 2 2 2 ( ) cos ( ) 2 ( ) 2 cos ( ) f x f x x f x x f x    +    2 2 2 +   −   2 ( ) [ sin ( )] ( ) 2 x f x f x f x x   = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) cos ( ) 4 ( ) cos ( ) 4 [ ( )] sin ( ) f x f x x f x f x x f x f x     +   −   ． 例 23 已知函数 f x( ) 具有任意阶导数且 2 f x f x ( ) [ ( )] = ．则当 n 为大于 2 的正整数时 ( ) ( ) n f x 是（ ）． A． 1 [ ( )]n n f x +  ． B． 1 ! [ ( )]n n f x +  ． C． 2 [ ( )] n f x ． D． 2 ! [ ( )] n n f x  ． 分析 已知 2 f x f x ( ) [ ( )] = ．应求出 f x ( ) ， (3) f x( ) ， ．用数学归纳法推出 n 阶导数． 解 当 n  2 时， 2 f x f x ( ) [ ( )] = ， f x ( ) = 2 ( ) ( ) f x f x   = 3 2 [ ( )]  f x ，以及 (3) f x( ) = 2 2 3 [ ( )] ( )    f x f x  = 4 1 2 3 [ ( )]    f x = 4 3! [ ( )]  f x ， ， ( ) ( ) n f x = ( 1)! [ ( )] n n f x −  = 1 ! [ ( )] '( ) n n f x f x −   = 1 ! [ ( )]n n f x +  ．故选 B．