示复合函数几(x)关于自变量x求导。 解f(x)=c0sx,p(x)=2x.则 f几p'(x】=f2x)=sin2r,f"Tox]=cosx2， 以及 Lf(o(x)=JTo(x)]-o(x)=2xcosx2 例18设y=如(n5.求安 分析本题既可直接由复合函数求导法则求导，也可利用微分的形式不变性先求出山， 然后可得朵 解法1直接由复合函数求号法则，令：=m,-上血，则 =2u.cosv.Inx-2 =nx-2m2n5. 2 解法2利用一阶微分的形式不变性 dy=dsin(n)=2sin-Indsin(n -2sin(-n)co(n2.sin2(-n 例19设y=r+d+,a>0.求安 分析x为幂函数：a为指数函数与幂函数复合而成的函数：而a也为复合函数 它是指数函数与指数函数复合而成的函数。 解来=y+(ay+(y=d+erwy+ey =a.x-+a".Ina-(x"Y'+a".Ina.(a'y =a.x+a".alna.x+a".a'.(Ina) =a.x-+ax.a".Ina+(Ina).a. 例20若p'(x)存在，y=p(scc)+arcsinx.求d 分桥可以先求出会也可利用微分的形式不安性求卧微分。示复合函数 f x [ ( )]  关于自变量 x 求导． 解 f x x ( ) cos = ，( ) 2 x x = ．则 f x [ ( )]  = f x (2 ) = sin 2x ， f x [ ( )]  = 2 cos x ， 以及 [ ( ( ))] f x   = f x x   [ ( )] ( )   = 2 2 cos x x ． 例 18 设 2 1 ln sin ( ) x y x − = ．求 dy dx ． 分析 本题既可直接由复合函数求导法则求导，也可利用微分的形式不变性先求出 dy ， 然后可得 dy dx ． 解法 1 直接由复合函数求导法则，令 u v = sin ， 1 ln x v x − = ，则 dy dx = dy du dv du dv dx   = 2 ln 2 2 cos x u v x −   = 2 ln 2 1 ln sin 2( ) x x x x − −  ． 解法 2 利用一阶微分的形式不变性 dy = 2 1 ln sin ( ) x d x − = 1 ln 1 ln 2sin( ) sin( ) x x d x x − − = 1 ln 1 ln 1 ln 2sin( )cos( ) ( ) x x x d x x x − − − = 2 ln 2 1 ln sin 2( ) x x dx x x − −  故 dy dx = ln 2 1 ln sin 2( ) 2 x x x x − −  ． 例 19 设 a a x a x a y x a a = + + ， a  0 ．求 dy dx ． 分析 a a x 为幂函数； a x a 为指数函数与幂函数复合而成的函数；而 x a a 也为复合函数， 它是指数函数与指数函数复合而成的函数． 解 dy dx = ( ) ( ) ( ) a a x a x a x a a  + + = 1 ln ln ( ) ( ) a a x a a x a a a a x e e −    + +  = 1 ln ( ) ln ( ) a a x a a x a a x a x a a x a a a −  +   +     = 1 1 2 ln (ln ) a a x a a x a a x a x a a a x a a a − −  +   +   = 1 1 2 ln (ln ) a a x a a a x a x a x ax a a a a − − +  +   +  ． 例 20 若 ( ) x 存在， 2 y x x = + (sec ) arcsin ．求 dy ． 分析 可以先求出 dy dx ，也可利用微分的形式不变性求一阶微分．