习题3.7 解答 ·对原子间距为a的由同种原子构成的二维密堆 1.简单六角结构 积结构 1.西出前3个布里渊区 绝二在里激区绿色正入形,第工黄色城第 2.求出每个原子有一个自由电子时的费米波矢 2.费来油在,4 3.给出第一布里渊区内接回半径 3.内接圆半径:=a 求出内接园为费米回时每个原子的平均自由电子 4.平均电子数 5.平均每个原子有两个自由电子时,在简约布里渊 区中画出费米园的图形 5.费米波夫比第一布里渊区内接圆略大,但比 外接圆略小略加修饰的六边形 种p∥45.2413che國体学 政中4524l3-iche 体理学 习题3.8 例:二维正方点阵能隙 型,求锌原子与铜原子之比为何值时,米球 ·设有二维正方点阵,如下的势场 形式,求M点的能隙 渊区相接触?(钢是fc结构 价,锌是二价) U(x,y)=-4U, cos 2rx cos 2t y 解答: fc的第一布里渊区边界点(单位2x/a) 6个等价的正方形和8个等价的六角形画 ·L(.555),X(1,0,0),K(75,75,0),W(1,5,0) 三维时 √r 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 解答 4个平面波为 ·M点是三个边界面(10,(01,(11)的 交点,自由电子的4度简并能量 ·简并微扰,用它们组成尝试波函数 0.5,0.5) .0) 代入 Schroedinger方程 V+U-E w=0 0,1)K 分别用这4个平面波左乘后积分,即可得 种的45.24132he园体物学 趣452413 binche物理学1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 1 习题3.7 • 对原子间距为a的由同种原子构成的二维密堆 积结构， 1. 画出前3个布里渊区 2. 求出每个原子有一个自由电子时的费米波矢 3. 给出第一布里渊区内接圆半径 4. 求出内接圆为费米圆时每个原子的平均自由电子 数 5. 平均每个原子有两个自由电子时，在简约布里渊 区中画出费米圆的图形 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 2 解答 1. 简单六角结构 * 第一布里渊区绿色(正六边形)，第二黄色区域，第 三兰色区域 2. 费米波矢： 3. 内接圆半径： 4. 平均电子数： 5. 费米波矢比第一布里渊区内接圆略大，但比 外接圆略小。略加修饰的六边形 a a a a π π 2 ,1 3 1 2 1 , 2 3 2 ,1 3 1 2 1 , 2 3 2 2 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − a b a b 1 / 2 F 2 3 4 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = a k π a r π 3 2 = ( ) 1.55 3 , 1 3 / 0 2 F = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ r k = N = + N π π a a k π π 3 4 3 8 1 / 2 F 2 ⎟ < ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 3 习题3.8 • 向铜中掺锌，取代铜原子。采用自由电子模 型，求锌原子与铜原子之比为何值时，费米球 与第一布里渊区相接触？(铜是fcc结构，一 价，锌是二价) • 解答： * fcc的第一布里渊区边界点(单位2π/a): * 6个等价的正方形面和8个等价的六角形面 * L(.5,.5,.5), X(1,0,0), K(.75,.75,0), W(1,.5,0) 三维时 ( ) k N V =3 3 F 3 4 2 2 π π a a Z Z k π π π π 3 12 3 3 3 2 F = = Ω = 1.36 4 3 = ≈ π Z http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 4 例：二维正方点阵能隙 M K4 K2 K3 π/a π/a ( ) y a x a U x y U π 2π cos 2 , 4 cos = − 0 • 设有二维正方点阵，如下的势场 形式，求M点的能隙 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 5 解答 • M点是三个边界面(10), (01), (11)的 交点，自由电子的4度简并能量 ( ) ( ) ( ) ( ) 1,1 2 0,1 , 2 1,0 2 0.5,0.5 , 0, 2 3 4 1 2 a a a a M π π π π = = = = = K K K K K [ ]2 2 0 2 i i m E = k − K h 2 0 2 0 4 0 3 0 2 0 1 2 E m E = E = E = E = K M = h M K4 K2 K3 π/a π/a http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 6 • 4个平面波为 (k −K )•r (k −K )•r ( ) k −K •r (k −K )•r = = = = 1 2 3 4 1 2 3 4 , , , i i i i ϕ e ϕ e ϕ e ϕ e • 简并微扰，用它们组成尝试波函数 ψ = C1 ϕ 1 + C2ϕ 2 + C3ϕ 3 + C4ϕ 4 • 代入Schroedinger方程 0 2 2 2 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ∇ + U − E ψ m h • 分别用这4个平面波左乘后积分，即可得 ( ) 0 2 4 1 2 2 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ − − + = − j i E ij U C j m K j K i k K δ h