由(1215)可得此方程作为解为 回到变量y,即得原方程作为解为 C-1n2 另一个经常遇到作方程是黎卡提( Riccati)方程 dr=pla)y+q(z)y+f(), 必中p(x),q(x),f(x)≠0都是x作考虑函数.显然若f(x)≡0,常它就是伯 努利方程.而当f(x)≠0前,一般没有初等利解作方义;但如果已知它作一个 特解y=(x),常可为过令y=u-1+y(x)而得到一个关于a作线性方程, 从而可利出它作为解.注意,这个特解一般不包含在为解中 也、全微分方程与有分因子 1.全微分方程我们考要如下微分形式作方程 M(, yd r+ N(a, y)dy=0, (1.2.20) 必中M,N为x,y作考虑可微函数.这样作形式有前吏续于寻找它作为解 当方程(1.2.20)作左端恰好是某个二元函数u(x,y)作全微分前,亦即 M(,g)dx+N(, y)dy= du(z, y) Ol ar<a (1.2.21) 就称(1.2.20)为全微分方程又称为恰当( exact)方程.若(1.220)为全微分方 程,常必为解为隐函数形式 a(, y=c 这里c为加意常数.这种形式作为解称为微分方程作积分,为解中作每个解在 T,y平面上图像也称为微分方程(1220)作积分曲线.但是这个积分曲线可能 要用若十个以x或y为自变量作显函数来些示.可是一般我们不必从隐函数 利出显式解来.例如ydx+dy=0是全微分方程,有d(xy)=0,故必为解为 xy=c.当c=0前,积分曲线就有两方,x=0和y=0.可以看成分是是以 y和x为自变量作函数 现在摆在我们面两作有也个问题 1°如何判断(1.2.20)是否为全微分方程还 2°若(1.2.20)为全微分方程,如何利出函数u(x,y)还 3°若(1.2.20)不是全微分方程,有何办义将它转变成全微分方程,并利出 必为解还 (1.2.15) Olcv3' ' u = x µ C − 1 2 ln2 x ¶ ; hM & y, sl+v3' ' xy µ C − 1 2 ln2 x ¶ = 1. J*+Mv3  (Riccati)  dy dx = p(x)y + q(x)y 2 + f(x), XI p(x), q(x), f(x) 6≡ 0  x no"#. `g@ f(x) ≡ 0, 0$  Yv3. Um f(x) 6≡ 0), d*yY v; =qz{0* D y = ϕ(x), O'2& y = u −1 + ϕ(x) UlM*c\ u :;v3, WUOYZ0' . st< (*D d:~' I. eB Fy[ 1.  |}noqwtu6dv3 M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, (1.2.20) XI M, N ' x, y noOt"#. (X6dy)/o\KL0' . mv3 (1.2.20) ￾
b= (*g"# u(x, y) Ltu), ^s M(x, y)dx + N(x, y)dy ≡ du(x, y) = ∂u ∂xdx + ∂u ∂y dy, (1.2.21) $` (1.2.20) '-`'l (exact). @ (1.2.20) 'Ltuv 3, X' ',"#6d u(x, y) = c. (( c 't#. (i6d' `'tuv3@u, ' I=*  x, y \lf {e`'tuv3 (1.2.20) @uS:. = (*@uS:OP o{@K* x i y '% &`"#;r. O d|}XW,"# YZ`d ;. |q ydx + xdy = 0 Ltuv3, y d(xy) = 0, X' ' xy = c. m c = 0 ), @uS:$y), x = 0  y = 0. Oru  y  x '% &"#. <P|}l)ye*GH 1 ◦ qa (1.2.20) y'Ltuv3x 2 ◦ @ (1.2.20) 'Ltuv3, qYZ"# u(x, y)x 3 ◦ @ (1.2.20)  Ltuv3, yLb0 rLtuv3, _YZ X' x 12