把看成未知函数,而把y看成自变量,这就是一个线性方程.直接利用公式 (1.215),取对项的齐次方程的解h()=exp(∫dy/t)=,可得原方程的通解 C 还有特解y=0 注:在求齐次方程的非零解h(x)时,有时会遇到积分如exp(adr/m) 项该取有绝对值的原函数|x,还是取不带绝对值的原函数x的问题.实际上 可以采取一个原则:当x<0时xa有意义时不加绝对值,因为这时xa仍然 是齐次方程的,而不加绝对值对于求非齐次方程的特解来说要方便一些.但当 r<0时x无意义时必须要加绝对值 最后在结束本段之前,我们还考虑一类可通过变量替换而化成线性方程进 行求解的方程,它有如下形式: d p(a)y +ql)y (1.217) 其中p(x),q(x)为x的连续函数,n≠0,1为实常数.我们称方程(1217) 为伯努利( Bernoulli)方程,也是一类常见的方程为了求解(1217),方程的 两边同除以y2,(若n>0,要求3≠0),得 p(ar)y-n+g) 可见若我们把y1=m作为一个新的未知函数,即令 (1.2.18) 于是有 (1.219) 将(1217)代入(12.19)的右边,并考虑到(1218)即得 dx=(1-n)p()u+(1-n)q(x 这是一个关于未知函数u的线性方程,由(12.15)即得它的通解,然后由 (1.2.18)回到原来变量,便得(1.2.17)的通解.此外当n>0时,(1.2.17) 还有解y=0. 例127求出方程xy+y=(xlnx)y2的通解 解易见方程有一特解为y=0.当y≠0时 于是原方程变成关于未知函数a的线性方程 dr Inj x r{"#, Uj y r% &, ($ *:;v3. STY{7d (1.2.15),  jv3 h(y) = exp ¡R dy/t¢ = y, Ol+v3' qw x = y µ C + Z ydy ¶ = y µ C + 1 2 y 2 ¶ . xyD y = 0. s: Yjv39 h(x) )< y) +M@uq exp ¡R adx/x¢ wy++"# |x| a , x t++"# x aGH. EFf O+*+: m x < 0 ) x a yt)+, ''() x a kg jv3, U+\Y9jv3D ;~ovor. =m x < 0 ) x a Kt)X?o+.  8R), |}xnoO'2 &|}U!r:;v3+ KY v3, 0yqw6d dy dx = p(x)y + q(x)y n , (1.2.17) XI p(x), q(x) ' x no"#, n 6= 0, 1 'E#. |}`v3 (1.2.17) ' (Bernoulli) , e Pv3. 'MY (1.2.17), v3 )hWk y n , (@ n > 0, oY y 6= 0)), l y −n dy dx = p(x)y 1−n + q(x) OP@|}j y 1−n '*~{"#, s& u = y 1−n , (1.2.18) \ y du dx = (1 − n)y −n dy dx . (1.2.19) b (1.2.17) de (1.2.19) gh, _noM (1.2.18) sl du dx = (1 − n)p(x)u + (1 − n)q(x). ( *c\{"# u :;v3,  (1.2.15) sl0' , g  (1.2.18) hM+; &, ol (1.2.17) ' . cm n > 0 ), (1.2.17) xy y = 0. v 1.2.7 YZv3 xy0 + y = (x ln x)y 2 ' . * mPv3yD ' y = 0. m y 6= 0 )< & u = 1 y , y du dx = −y −2 dy dx , \ +v3 rc\{"# u :;v3 du dx = 1 x u − ln x; 11