由于(1.24)是(1.212)的特殊情形,因此可以设想(1.2.12)的通解应当 是(125)的某种考虑到q(x)的推广;而这种推广(1.2.5)的一个自然的办法 就是把任意常数c变易为x的待定函数c(x),使得它满足(1.2.12),记h(x) 为对应于(1212)的齐次方程的任一非零解,现求(1.2.12)如下形式的解 y= c(a)h(a) (1.2.13) 将(1.2.13)代入(1.2.12)得 dzh(a)+c(e) dh(r) dc(a) c(a)p(r)h(a)+q(a) 根据h(x)是(1.24)的解,上式中含有c(x)的项可消去,化简为 dc(ar) q(a) dr h(r) 两边对x积分即得 c=C+ qa) h(a) (1.214) 其中C为任意常数.将(1.2.14)代入(1.2.5)即得(1.2.12)的通解: 0=Mc+/ (1.2.15) 上面这种将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数,从而求出线 性非齐次方程通解的方法,我们称为常数变易法,以后我们还将多次用到 此外不难直接验证,方程(1212)满足初始条件v(x0)=30的解为 y(r)=exp p(t)dto+/ q(t)exp (/ p(s)ds dt 例125求方程y=2xy+exp(x2)cosx的通解 解首先利用公式(1.25),求对应齐次方程y=2xy的非零解h(x) = exp (r 其次利用公式(1.215)得原方程的通解 =c(2)(C+/m)=哪(2)C+m(21 其中C为任意常数 例1.2.6求出方程 的通解 dr 解显然这个方程关于y是非线性的,且不能进行变量分离.但当y≠0 dr 时,可把它写成\ (1.2.4) (1.2.12) DEu6, 'cOR: (1.2.12) ' m (1.2.5) (inoM q(x) p; U(ip (1.2.5) *%gL $ jt# c m' x j6"# c(x), Ql078 (1.2.12), Y h(x) ' \(1.2.12) jv39 < <Y (1.2.12) qw6d y = c(x)h(x); (1.2.13) b (1.2.13) de (1.2.12) l dc(x) dx h(x) + c(x) dh(x) dx = c(x)p(x)h(x) + q(x). m h(x) (1.2.4) , fdI~y c(x) O:J< !m' dc(x) dx = q(x) h(x) , )h x @usl c(x) = C + Z q(x) h(x) dx, (1.2.14) XI C 't#. b (1.2.14) de (1.2.5) sl (1.2.12) '  y = h(x) · C + Z q(x) h(x) dx ¸ . (1.2.15) fl(ib:;jv3' It# m'j6"#, WUYZ: ;9jv3' v, |}`'2#\ s,  |}xb?{M. cOSTM , v3 (1.2.12) 78!k y(x0) = y0 ' y(x) = exp µZ x x0 p(t)dt ¶ ·y0 + Z x x0 q(t) exp µ − Z t x0 p(s)ds ¶ dt ¸ . v 1.2.5 Yv3 y 0 = 2xy + exp(x 2 ) cos x ' . * yzY{7d (1.25), Y jv3 y 0 = 2xy 9 h(x): h(x) = exp ¡ x 2 ¢ . XY{7d (1.2.15) l+v3' y = exp ¡ x 2 ¢ µ C + Z cos xdx ¶ = exp ¡ x 2 ¢ (C + sin x), (1.2.16) XI C 't#. v 1.2.6 YZv3 dy dx = y x + y 3 ' . * `g(*v3c\ y 9:;, 0P+K &u. =m y 6= 0 ), Oj0qr dx dy = x + y 3 y , s dx dy = 1 y x + y 2 , 10