分异构体其三是英国数学家A.凯莱(Cayley)的，运用树图并引入母函 数来研究同分异构体的计数问题.到了20世纪30年代，美国化学家又在 这方面做了更多的计算.但是这些方法都是针对个别情况而缺乏普遍 性.在前人研究同分异构体计数问题的基础上，波利亚在1937年以「关 于群、图与化学化合物的组合计算方法」 (KombinatorischeAnzahlbestimmungen fr Gruppen,Graphen und ChemischeVerbindungen)为题，发表了长达Il0页、在组合数学中具有深 远意义的著名论文.在这篇论文中推广了伯恩赛德(Burnside)引理，给出 了普遍适用的一般计数方法.实际上，第一个提出这一理论的是美国一位 工程师J.H.雷德菲尔德(Redfield),他在1927年发表的论文「群化分 布的理论」(The theory of groupredu-ced distribution)中解决了某种 矩阵的计数问顿，由于雷德菲尔德所使用的数学名词不普扁，因而这篇论 文几乎没有引起人们的注意.波利亚的工作更全面、更丰富，其主要定理 现己称为「波利亚计数定理」(Polya's enumeration theorem))写入组合数 学的教材中，它提供了强有力的和巧妙的（对于那些仅有初等数学知识的人 来说又是易于理解的)方法，对图及化合物进行计数. 等周问题 在20世纪40年代后期，被利亚撰写了一些有关微分方程的论文以及 数学物理方面的一系列论文，其中有些内容，后来出现在与赛格合着的书 《数学物理中的等周不等式》(Isoperimetricinequalities in mathematical physics)中，他的有关等周问题、振动模以及特征值的一 系列工作一直持续到1960年.最古老的等周问题要追溯到远古，即所谓狄 多(Dido)①)（①）狄多，希腊传说中迦太基著名的建国者，古代泰尔(Tyre)因 古雕尼基南部之一海港，在今黎巴嫩)国王的女儿·)题：在面积给定的情 况下，求周长最小的平面区域，或等价地说成，用给定的周长围成最大面 积的平面区域.随着数学物理的发展，产生了许多类似的问题.最著名的 -个是由L.雷利(Rayleigh)提出来的：在鼓膜面积给定的条件下，它应 具有什么形状，使震动的频率最小？很明显，这个问题与狄多问题一样， 应取圆形.但是要证明它却并非易事，狄多问题的最精巧的、直观的解法 是由瑞士几何学家J.斯坦纳(Steiner)给出的「对称法」，波利亚认为同 样的方法也可以运用于类似的几何与数学物理问题中，并给出了雷利问题 的最优美的解答 几何与数论 早在1913年，波利亚就描述了下面这样一条皮亚诺(Peano)曲线，它 通过一个区域中的每一个点至多三次。众所周知，这样的曲线必须有至少分异构体；其三是英国数学家 A． 凯莱(Cayley)的，运用树图并引入母函 数来研究同分异构体的计数问题．到了 20 世纪 30 年代，美国化学家又在 这方面做了更多的计算． 但是这些方法都是针对个别情况而缺乏普遍 性． 在前人研究同分异构体计数问题的基础上，波利亚在 1937 年以「关 于群、图与化学化合物的组合计算方法」 (KombinatorischeAnzahlbestimmungen fr Gruppen，Graphen und ChemischeVerbindungen)为题，发表了长达 110 页、在组合数学中具有深 远意义的著名论文．在这篇论文中推广了伯恩赛德(Burnside)引理，给出 了普遍适用的一般计数方法．实际上，第一个提出这一理论的是美国一位 工程师 J． H． 雷德菲尔德(Redfield)，他在 1927 年发表的论文「群化分 布的理论」(The theory of groupredu-ced distribution)中解决了某种 矩阵的计数问题．由于雷德菲尔德所使用的数学名词不普遍，因而这篇论 文几乎没有引起人们的注意．波利亚的工作更全面、更丰富，其主要定理 现已称为「波利亚计数定理」(Polya's enumeration theorem)写入组合数 学的教材中，它提供了强有力的和巧妙的(对于那些仅有初等数学知识的人 来说又是易于理解的)方法，对图及化合物进行计数． 等 周问题 在 20 世纪 40 年代后期，波利亚撰写了一些有关微分方程的论文以及 数学物理方面的一系列论文．其中有些内容，后来出现在与赛格合着的书 《数学物理中的等周不等式》(Isoperimetricinequalities in mathematical physics)中． 他的有关等周问题、振动模以及特征值的一 系列工作一直持续到 1960 年．最古老的等周问题要追溯到远古，即所谓狄 多(Dido)① (①狄多，希腊传说中迦太基著名的建国者，古代泰尔(Tyre)国 古腓尼基南部之一海港，在今黎巴嫩)国王的女儿．)题：在面积给定的情 况下，求周长最小的平面区域，或等价地说成，用给定的周长围成最大面 积的平面区域． 随着数学物理的发展，产生了许多类似的问题.最著名的 一个是由 L． 雷利(Rayleigh)提出来的：在鼓膜面积给定的条件下，它应 具有什么形状，使震动的频率最小？很明显，这个问题与狄多问题一样， 应取圆形．但是要证明它却并非易事．狄多问题的最精巧的、直观的解法 是由瑞士几何学家 J． 斯坦纳(Steiner)给出的「对称法」．波利亚认为同 样的方法也可以运用于类似的几何与数学物理问题中，并给出了雷利问题 的最优美的解答． 几 何与数论 早在 1913 年，波利亚就描述了下面这样一条皮亚诺(Peano)曲线，它 通过一个区域中的每一个点至多三次．众所周知，这样的曲线必须有至少