344 高等数学重点难点100讲 第82讲重积分的计算法(2) 、利用直角坐标计算三重积分 利用直角坐标计算三重积分通常先化为一个单积分和一个二重积分,再化成三次积分 进行计算.先作单积分后作二重积分称为“先一后二”法;先作二重积分后作单积分称为 “先二后一”法 1.“先一后二”法 设平行于z轴且穿过积分区域内部的直线与的边界曲面S的交点不多于两点.在 xOy面上的投影区域为D.以D的边界为准线的柱面将a的边界曲面S分为上、下两部分; 其曲面方程分别为z2=z2(x,y),z1=x1(x,y),且z2≥x1,若区域D为X一型区域:y1(x) ≤y≤y2(x).a≤x≤b则 fix,y, z)dxdydz=drd,/'2(ky f(r, y, e)dz ,(x.y) dr\was fax, y, s)dz 若D为Y一型域:x1(y)≤x≤x2(y),c≤y≤d,则 f(x,y,) drdy=「1……3f(x))d f(r, y,2 同样,若平行x轴或y轴穿过的内部的直线与2的边界曲面交点不多于两点,2分别 投影在yOz面,zOx面上得相应的投影区域Dx,D,,可利用“先一后二”法将三重积分化成 个单积分和一个二重积分,然后根据相应坐标面上投影区域的类型化为相应的三次积分 若平行坐标轴的直线穿过的内部且与a的边界曲面交点多于两点,则可将』分成若 干部分,使每个部分区域的边界曲面与平行坐标轴的直线交点不多于两点然后,利用三重 积分对区域的可加性,使』上的三重积分化为各部分区域三重积分之和,再采用“先一后二 法”将各部分区域上三重积分化为三次积分 先二后一”法 若积分区域卫界于平面z=c1与z=c2(c1,c2为常数,且c1<c2)之间,用介于此二平 面之间的平面去截日,得截面D(x)(c1≤z≤c2),则有“先二后一”法: f(r, y, z)drd d=l f(r, y,z)drd 然后根据D(z)的类型可将上述积分化为三次积分 同样,若夹在x=a1与x=a2(或y=b与y=b2)两平面之间,同样有相应的“先二 后一”法公式 举例 例1设为锥面x=F+y与平面x=1围成,试将三重积分|=Ⅲ/(y z) dxd ydz按下列次序化为三次积分: (1)先对z再对y最后对x积分;