第82讲重积分的计算法(2) 345 (2)先对x再对y最后对z积分; (3)先对y再对z最后对x积分; 解积分区域D如图82-1所示,根据积分区域D的特点,可 采用“先一后二”法 (1)将D投影在xOy面得投影区域Dy:x2+y2≤1.在D,内 任取一点(x,y)作平行于z轴的直线,自下而上穿入内,它由锥 面z +y2穿入,由平面x=1穿出故第一次单积分上限为 D 1,下限为√x+y2.区域D,按积分次序要求应选为X一型区域:x1 √1-x2≤y≤√1-x2,-1≤x≤1.则 f(r, y, z)dz f(a, y, z)dz. (2)将D投影在yOz面,得投影域Dx,它是由z=y,z=-y及z=1围成的三角形 区域.在Dx内任取一点(y,z),过此点作平行于x轴的直线由后向前穿入D内,它由x1= √z-y穿入由x2=√2-y穿出,故第一次单积分的上、下限分别为va-y √x-y2.而这时区域Dn按积分次序要求应选为Z一型域:-z≤y≤z,0≤z≤1.则 f(r, y, z)dx f(x, y, e)d x. 3)将投影在zOx面上,得投影区域D,它是由x z,x=x及z=1构成的三 角形区域.过Da内任一点(z,x),作平行于y轴的直线自左向右穿过内,由曲面y 2-x2穿入,由曲面y2=√x2-x穿出.则第一次单积分上、下限分别为yz x2-x2.y1=-√z2-x2.这时D4按积分次序要求应选X一型区域;而区域Dx下边界 由x=-x与z=x两部分组成故要分成两块:De:-x≤x≤1,-1≤x≤0;Du:x ≤z≤1,0≤x≤1.故 f(r, y, z)dy ded f(,y, z)dy 12-x2 f(r,y,z)dy+ dxdx dr d f(r, y 例2计算=yco(x+x) drdy其中是由y 0,z=0及x+ 围成的闭区域 解积分区域9如图82-2所示D在xOy面投影区域为D,:0≤y≤√x,0≤x≤ 2·通过D2内任一点(xy)作平行z轴的直线穿入内,它与9的边界曲面的交点竖坐标 依次为z=0,z ,采用先对z后对x,y的“先一后二”法,单积分的下限为z=0,上 限为z=2-x,D,作二重积分区域,且D选为X一型区域,则