346 高等数学重点难点100讲 lady:cos(z+z)dz y[sin(r+x)dxd (1- sinz)ydrdy (1- sinx )d udy= (x- sinx )d O 9z=0 202+rcos-sint 2=T-1 图82-2 例3计算=xdxy,其中是锥面x=Rx+y与平面x=A(R>0A> 0均为常数)围成的闭区域 解积分区域』如图82-3所示,它夹在z=0与z=h两 平面之间,故选用“先二后一”.过z∈(0,h)作平行于xOy面的 平面,与n相截得截平面区域D(z):它是中心在(0,0,z)点,半 径为√x+y=方的一个圆其面积为x(2)=mR32:,D(z) 是作二重积分的积分区域,而再作单积分时积分下限为z=0,上 限为z=h,故 I= ede dxdy=[r zdz=TR'h2 图 8z-3 注意本题若用“先一后二法”计算较繁,可见,计算三重积分f(x,y,z)d,当f(x y,z)中只含有x,且D(x)的面积已知时,先求对x,y的二重积分后求对z的单积分简便 例4计算== drd ydz,其中a:x2+y2+2≤a,x2+y2+x2≤2a(a>0) 解积分区域a由两球面x2+y2+x2=a2及x2+y2+(x-a)2=a2围成,它夹 在z=0与z=a两平面之间但在平面z=0与x=之间即的下半部分n1,它由球面 +(=-a=a与==围成,在平面x=2与平面x=a之间即的上半部分 2,由球面x2+y2+x2=a2与平面z=2围成,故采用“先二后一法”时,要分两个区域1 2 dxd ydz+‖ z'drdyd drdy DI< z2.r(2az -z2)dz +Lz'r(a2-z2)d Ddz +r( 59 其中D1(z)是中心点为(0,0,z)(0<z<日),半径为√x+y2=√2az-x的圆,其 面积为x(az-x2);D2(x)是中心在点(0,0,x)(日≤x<a),半径为√x2+y=√a-z