教学内容 全微分的定义 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 f(x+Ax, y)-f(x,y)sf(x, y)Ax f(x,y+Ay)-f(x,y)f(x, y)Ay 全增量的概念:如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的某邻域内有定义,并设 P(x+Ax,y+Δy)为这邻域内的任意一点,则称这两点的函数值之差 f(x+Ax,y+△y)-f(x,y)为函数在点P对应于自变量增量Ax,△y的全增量,记 为A,即△=f(x+Ax,y+△y)-f(x,y) 全微分的定义:如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量 △=f(x+Ax,y+4y)-f(x,y)可以表示为△=AAx+BAy+o(p),其中 A,B不依赖于Ax,Ay而仅与x,y有关,p=√△)+(4y)2,则称函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微分,AAx+B△y称为函数z=f(x,y)在点(x,y)的全 微分,记为在,即dz=AAx+BAy 函数若在某区域D内各点处处可微分,则称这函数在D内可微分 如果函数=f(x,y)在点(x,y)可微分,则函数在该点连续 事实上A=AAx+B△y+o(p),imA=0, lim f(x+Ar, y+Ay)=lim[f(x,y)+A=f(x, y) 故函数z=f(x,y)在点(x,y)处连续 二、可微的条件 定理1(必要条件)如果函数=f(x,y)在点(x,y)可微分,则该函数在点 (xy)的偏导数一、一必存在,且函数二=f(x,y)在点(x,y)的全徽分为 证如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分,P(x+Ax,y+△y)∈P的某个教 学 内 容 一、全微分的定义 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 f (x + x, y) − f (x, y) f x y x  x ( , ) f (x, y + y) − f (x, y) f x y y  y ( , ) 全增量的概念： 如果函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 的某邻域内有定义，并设 P(x + x, y + y) 为 这 邻 域 内 的 任 意 一 点 ， 则 称 这 两 点 的 函 数 值 之 差 f (x + x, y + y) − f (x, y) 为函数在点 P 对应于自变量增量 x,y 的全增量，记 为 z ，即 z = f (x + x, y + y) − f (x, y) 全 微 分 的 定 义 ： 如果函数 z = f (x, y) 在 点 (x, y) 的全增量 z = f (x + x, y + y) − f (x, y) 可 以 表示 为 z = Ax + By + o() ，其中 A, B 不依赖于 x,y 而仅与 x, y 有关， 2 2  = (x) + (y) ，则称函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微分， Ax + By 称为函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 的全 微分，记为 dz ，即 dz = Ax + By . 函数若在某区域 D 内各点处处可微分，则称这函数在 D 内可微分. 如果函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微分, 则函数在该点连续. 事实上 z = Ax + By + o(), lim 0, 0  = → z  lim ( , ) 0 0 f x x y y y x +  +   →  → lim[ ( , ) ] 0 = f x y +z → = f (x, y) 故函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 处连续. 二、可微的条件 定理 1（必要条件） 如果函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微分，则该函数在点 (x, y) 的偏导数 x z   、 y z   必存在，且函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 的全微分为 y y z x x z dz     +   = ． 证 如果函数 z = f (x, y) 在点 P(x, y) 可微分, P(x + x, y + y)  P 的某个