邻域△=AAx+B△y+o()总成立,当△y=0时,上式仍成立,此时p=△x|, f(x+△x,y)-f(x,y)=A·Ax+o(△xD)m(x+Ax,y)-f(x,y) =A 同理可得B= 元函数在某点的导数存在,微分存在.微分存在一元函数在某点的导数存在 多元函数的各偏导数存在不能保证全微分存在 x2+y2≠0 例如,f(x,y)={√x2+y x+ 在点(00)处有f(0.0)=f(0.0)=0 △r·△ fx(00)·Ax+f,(0),Ay]= √△x)2+(4y)2 如果考虑点P(Δx,△y)沿着直线y=x趋近于(0,0) △r·△p (△x)2+(△Ay)2 Ax·△ 则 △x)2+(△x 说明它不能随着p→0而趋于0,当p→0时, A-Lx(0.0)·Ax+f(0.0)·△y]≠o(p) 函数在点(0,0)处不可微 说明:多元函数的各偏导数存在并不能保证全徽分存在 定理2(充分条件)如果函数=f(x,)的偏导数2、正在点(x,y)连续, 则该函数在点(x,y)可微分. 证Az=f(x+Ax,y+△y)-f(x,y) =lf(x+Ar, y+Ay)-f(x,y+Ay) +lf(x,y+Ay)-f(x, y)l 在第一个方括号内,应用拉格朗日中值定理 f(x+Ax,y+△y)-f(x,y+△y)邻域 z = Ax + By + o() 总成立, 当 y = 0 时，上式仍成立，此时  =| x | , f (x + x, y) − f (x, y) = Ax + o(| x |), A x f x x y f x y x =  +  −  → ( , ) ( , ) lim 0 , x z   = 同理可得 . y z B   = 一元函数在某点的导数存在, 微分存在．微分存在, 一元函数在某点的导数存在 多元函数的各偏导数存在,不能保证全微分存在． 例如, . 0 0 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2      + = +  = + x y x y x y x y f x y 在点 (0,0) 处有 f x (0,0) = f y (0,0) = 0 z [ f (0,0) x f (0,0) y]  − x  + y  , ( ) ( ) 2 2 x y x y  +    = 如果考虑点 P(x,y) 沿着直线 y = x 趋近于 (0,0) ， 则  2 2 ( x) ( y) x y  +    2 2 ( x) ( x) x x  +    = , 2 1 = 说明它不能随着  → 0 而趋于 0, 当  → 0 时， z [ f (0,0) x f (0,0) y] o(),  − x  + y   函数在点 (0,0) 处不可微. 说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在， 定理２（充分条件） 如果函数 z = f (x, y) 的偏导数 x z   、 y z   在点 (x, y) 连续， 则该函数在点 (x, y) 可微分． 证 z = f (x + x, y + y) − f (x, y) = [ f (x + x, y + y) − f (x, y + y)] +[ f (x, y + y) − f (x, y)], 在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理 f (x + x, y + y) − f (x, y + y)