习题解答 第二章行列式 习题2-1 1.判别下列映射哪些是单映射,哪些是满映射,哪些是可逆映射 (1)f:C (2)V为几何空间,为一固定的单位向量映射 d一a(a)=a-2(ae)e (3)f:N N n+ 解:(1)非单,非满,不可逆 (2)单,满,可逆 (2)单,非满,不可逆 2.设f为集合S到集合S的映射,g为集合S到集合S"的映射,证明: (1)如果gf为单映射,则f为单映射 2)如果为gf满映射,则g为满映射 证明:(1)对任意的s1,82∈S,如f(51)=f(s2),则gf(51)=9f(s2).因gf是单映射,故s1=82,从 而∫是单映射 (2)对任意的s"∈S",因9f是满映射,故存在s∈S,使gf(s)=s",从而s′=f(s)∈S,使 g(s)=s",故g是满映射 3.设∫为集合S到集合S"的可逆映射,g为集合S"到集合S"的可逆映射,则gf为集合S到集合 S"的可逆映射,且(gf)-1=f-1g-1 证明:因为∫与g都可逆,所以∫-g-是集合S"到S的一个映射,且 (-9)(gf)=f(g-g)f=f-llsf=f-f=ls (gf)(f g(ff)9=lsg=9s 题2- p=(3547621),g=(123456 234567 2517643 求p,p-qp,并把p,q分别表示成对换的乘积 解: 1234567 q=(12)(25)(56)(64)(47)(73).(后面两个表示式不唯一) 2.计算下列置换的逆序数,并确定其奇偶性: 123456￾
￾ 
2–1 1. |F]GHF], GH-F], GH>F]? (1) f : C −→ R a 7−→ |a| (2) V "'pq, −→e "HI/ , F] σ : V −→ V −→a 7−→ σ( −→a ) = −→a − 2(−→a · −→e ) −→e (3) f : N −→ N n 7−→ n + 1 : (1) n, n-, U>. (2) , -, >. (2) , n-, U>. 2.  f " T S  T S 0 F], g " T S 0  T S 00 F], ST: (1)  gf "F], J f "F]; (2) " gf -F], J g "-F]. : (1) ￾
 s1, s2 ∈ S,  f(s1) = f(s2), J gf(s1) = gf(s2). ! gf F], ! s1 = s2, C % f F]. (2) ￾
 s 00 ∈ S 00 , ! gf -F], !1k s ∈ S, ' gf(s) = s 00 , C% s 0 = f(s) ∈ S 0 , ' g(s 0 ) = s 00 , ! g -F]. 3.  f " T S  T S 0 >F], g " T S 0  T S 00 >F], J gf " T S  T S 00 >F], ? (gf) −1 = f −1 g −1 . : !" f B g m>, #$ f −1 g −1  T S 00  S HfF], ? (f −1 g −1 )(gf) = f −1 (g −1 g)f = f −1 1S0f = f −1 f = 1S, (gf)(f −1 g −1 ) = g(ff −1 )g −1 = g1S0g −1 = gg−1 = 1S00 .
2–2 1. : p = µ 1 2 3 4 5 6 7 3 5 4 7 6 2 1 ¶ , q = µ 1 2 3 4 5 6 7 2 5 1 7 6 4 3 ¶ . s pq, p −1 qp, WN p, q *J. : pq = µ 1 2 3 4 5 6 7 5 6 3 1 2 7 4 ¶ , p−1 qp = µ 1 2 3 4 5 6 7 7 5 4 1 3 2 6 ¶ , p = (13)(34)(47)(25)(56), q = (12)(25)(56)(64)(47)(73). (7f)U,H). 2. xgYJ?, Wd< &: (1) µ 1 2 3 4 5 6 3 4 5 6 1 2 ¶ ; · 1 ·