·724· 智能系统学报 第10卷 6)旧管约束 该线性系统稳定的充分必要条件是特征方程各 d,e[d] (7) 项系数均为正值，因此可得到粒子的位置变化过程 2PS0算法及其改进 稳定条件为 1-w>0 PS0算法结合了生命科学和优化计算的优点， (17) 2+2w>p1+P2 群体中的个体代表问题的一个潜在解，若优化问题的 在算法迭代过程中，使算法参数始终满足式 搜索空间是n维的，则第i粒子的位置和速度可分别 (17),则由Z变换的终值定理可得 表示X=(xa,x2,…,xm)、V=(1,2,…,n)。粒子 根据速度和位置公式迭代如公式(8)和(9)所示。 ()=lim(e-1)x(e)=9,业+，当 (18) p1+P2 X':=X:+V (8) 粒子群在寻优过程中Y将逐步趋向Y,因此在 V':=w':+c(Y:-X)+c22(Y.-X)(9) 无限的搜索时间内，所有粒子的位置将逐步靠近并 式中：ω决定先前速度对现在的影响程度：Y,为个体 极值；Y为全局极值；C1、c2为粒子受到个体认知和社 停止在+9，兰=y,处。通过大量实验研究四发 会认知的影响程度；1、2为0~1的随机数。 P1+92 2.1粒子运动轨迹分析 现，粒子轨迹收敛到固定点的概率与参数选择密切 粒子位置和速度变化过程的分析在本质上是一 相关，若满足式(17)，则绝大多数粒子轨迹会收敛 样的，为了描述粒子运动轨迹，本文只分析粒子的位 到固定点，各类问题函数值的分布都有一定规律，即 置变化过程。为便于分析和表达，首先将问题空间 当满足稳定条件时，多数粒子能收敛到固定点，并能 简化为一维的，仅研究某一个粒子的运动轨迹，并暂 为找到最优位置提供一定的线索。 时先假设Y:、Y不变，用p1、P2表示式(9)中的c11和 2.2参数调整机制 c22,且为常数，于是得到粒子i的状态方程组(10)、 粒子适应度值能分辨位置的好坏，为充分利用 (11)61。 粒子适应度分布情况动态调整算法参数，进行上述 x(t+1)=x:(t)+:(t+1) (10) 的粒子轨迹分析，可知所有粒子的位置最终停止在 :(t+1)=w,(t)+9[Y:-x(t)]+92[Y.-x(t)] Y处，但在种群迭代过程中的绝大部分时间里粒子 (11) 是向+P,靠找的，故将其定义为期望粒子位置 将式(11)代入式(10)可得 91+P2 x,(t+1)=x,(t)+wu:(t)+ x.。其中Y对应的适应度值为f,,Y对应的适应度 p[Y-x:(t)]+2[Yg-x(t)] (12) 值为f,故定义期望适应度值f如下： 将式(10)中的时间后推一步，代入式(12)，并 pBea e 将该式中的时间前推一步可得一个二阶差分方程， f。= (19) P1+P2 如式(13)所示。 惯性权重的调整很大程度上决定了PS0算法 x:(t+2)=(1+ω-91-P2)x(t+1)- 的优化性能，其大小的调节具有一定规律，且与种群 wx:(t)+9,Y:+P2Y (13) 分布和单个粒子位置密切相关，粒子在迭代过程中 多个粒子位置的发散将使整个种群发散，粒子 相似程度越来越大，通过种群分布状态，利用粒子相 位置变化过程的稳定性对种群的行为将产生重要影 似程度来调节惯性权重，进而分析和改进PS0算 响，故对粒子位置变化过程的稳定性进行分析，将式 法，提出粒子相似度s(i,e)如式(20)所示： (13)取Z变换得 X(2)=(2x(0)+z2(x(1)+(J-1)x,(0)+z(9,Y+ (1,lf -f.I<Dn V-f. 9Y。-Jx:(0)-x(1)/(2+z+w)(z-1) s(i,e)=1- -,Dn≤lf-f|<Dms (14) funa -fgueat 式中：J=9,+92-1-ω。式(14)是一个线性系统，对 0,lf-f|≥Dms 应的特征方程为 (20) (z2+z(91+92-1-ω）+ω)(z-1)=0(15) 式中：s(i,e)表示第i粒子与期望粒子的相似度，f 将：代人式(15).对其进行双性套换得 为第i粒子的适应度值，Dnm、Dn是固定正常数。 文献[13]中基于空间距离提出相似度的概念，表示 (91+92)u2+(2-2ω)u+(2+2m-91-92)=0 的是每个粒子和当前的全局最优粒子的相似程度。 (16) 本文分析了粒子运动轨迹，提出相似度的概念来表６）旧管约束 ｄｊ ∈ ［ｄｉ］ （７） ２ ＰＳＯ 算法及其改进 ＰＳＯ 算法结合了生命科学和优化计算的优点， 群体中的个体代表问题的一个潜在解，若优化问题的 搜索空间是 ｎ 维的，则第 ｉ 粒子的位置和速度可分别 表示 Ｘｉ ＝ ｘｉ１ ，ｘｉ２ ，…，ｘｉｎ ( ) 、Ｖｉ ＝ ｖｉ１ ，ｖｉ２ ，…，ｖｉｎ ( ) 。 粒子 根据速度和位置公式迭代如公式（８）和（９）所示。 Ｘ′ｉ ＝ Ｘｉ ＋ Ｖ′ｉ （８） Ｖ′ｉ ＝ ωＶｉ ＋ ｃ１ ｒ１（Ｙｉ － Ｘｉ） ＋ ｃ２ ｒ２（Ｙｇ － Ｘｉ） （９） 式中：ω 决定先前速度对现在的影响程度；Ｙｉ为个体 极值；Ｙｇ为全局极值；ｃ１ 、ｃ２为粒子受到个体认知和社 会认知的影响程度；ｒ１ 、ｒ２为 ０～１ 的随机数。 ２．１ 粒子运动轨迹分析 粒子位置和速度变化过程的分析在本质上是一 样的，为了描述粒子运动轨迹，本文只分析粒子的位 置变化过程。 为便于分析和表达，首先将问题空间 简化为一维的，仅研究某一个粒子的运动轨迹，并暂 时先假设Ｙｉ、Ｙｇ不变，用φ１ 、φ２表示式（９）中的ｃ１ ｒ１和 ｃ２ ｒ２ ，且为常数，于是得到粒子 ｉ 的状态方程组（１０）、 （１１） ［１６］ 。 ｘｉ（ｔ ＋ １） ＝ ｘｉ（ｔ） ＋ ｖｉ（ｔ ＋ １） （１０） ｖｉ（ｔ ＋ １） ＝ ωｖｉ（ｔ） ＋ φ１［Ｙｉ － ｘｉ（ｔ）］ ＋ φ２［Ｙｇ － ｘｉ（ｔ）］ （１１） 将式（１１）代入式（１０）可得 ｘｉ（ｔ ＋ １） ＝ ｘｉ（ｔ） ＋ ωｖｉ（ｔ） ＋ φ１ ［Ｙｉ － ｘｉ（ｔ）］ ＋ φ２ ［Ｙｇ － ｘｉ（ｔ）］ （１２） 将式（１０）中的时间后推一步，代入式（１２），并 将该式中的时间前推一步可得一个二阶差分方程， 如式（１３）所示。 ｘｉ（ｔ ＋ ２） ＝ （１ ＋ ω － φ１ － φ２ ）ｘｉ（ｔ ＋ １） － ωｘｉ（ｔ） ＋ φ１Ｙｉ ＋ φ２Ｙｇ （１３） 多个粒子位置的发散将使整个种群发散，粒子 位置变化过程的稳定性对种群的行为将产生重要影 响，故对粒子位置变化过程的稳定性进行分析，将式 （１３）取 Ｚ 变换得 Ｘｉ（ｚ）＝ （ｚ ３ ｘｉ（０） ＋ ｚ ２ （ｘｉ（１） ＋ （Ｊ － １）ｘｉ（０）） ＋ ｚ（φ１Ｙｉ ＋ φ２Ｙｇ － Ｊｘｉ（０） － ｘｉ（１）））／ （（ｚ ２ ＋ Ｊｚ ＋ ω）（ｚ － １）） （１４） 式中：Ｊ ＝ φ１ ＋φ２ －１－ω。 式（１４）是一个线性系统，对 应的特征方程为 （ｚ ２ ＋ ｚ（φ１ ＋ φ２ － １ － ω） ＋ ω）（ｚ － １） ＝ ０ （１５） 将 ｚ ＝ ｕ＋１ ｕ－１ 代入式（１５），对其进行双性变换得 （φ１ ＋ φ２）ｕ ２ ＋ （２ － ２ω）ｕ ＋ （２ ＋ ２ω － φ１ － φ２） ＝ ０ （１６） 该线性系统稳定的充分必要条件是特征方程各 项系数均为正值，因此可得到粒子的位置变化过程 稳定条件为 １ － ω ＞ ０ ２ ＋ ２ω ＞ φ１ ＋ φ２ { （１７） 在算法迭代过程中，使算法参数始终满足式 （１７），则由 Ｚ 变换的终值定理可得 ｘｉ（ｔ） ＝ ｌｉｍ（（ｚ － １）Ｘｉ（ｚ）） ＝ φ１Ｙｉ ＋ φ２Ｙｇ φ１ ＋ φ２ （１８） 粒子群在寻优过程中Ｙｉ将逐步趋向Ｙｇ ，因此在 无限的搜索时间内，所有粒子的位置将逐步靠近并 停止在 φ１Ｙｉ ＋φ２Ｙｇ φ１ ＋φ２ ＝ Ｙｇ处。 通过大量实验研究［１７］ 发 现，粒子轨迹收敛到固定点的概率与参数选择密切 相关，若满足式（１７），则绝大多数粒子轨迹会收敛 到固定点，各类问题函数值的分布都有一定规律，即 当满足稳定条件时，多数粒子能收敛到固定点，并能 为找到最优位置提供一定的线索。 ２．２ 参数调整机制 粒子适应度值能分辨位置的好坏，为充分利用 粒子适应度分布情况动态调整算法参数，进行上述 的粒子轨迹分析，可知所有粒子的位置最终停止在 Ｙｇ处，但在种群迭代过程中的绝大部分时间里粒子 是向 φ１Ｙｉ ＋φ２Ｙｇ φ１ ＋φ２ 靠拢的，故将其定义为期望粒子位置 ｘｅ。 其中Ｙｉ对应的适应度值为ｆ ｐＢｅｓｔ，Ｙｇ对应的适应度 值为ｆ ｇＢｅｓｔ，故定义期望适应度值ｆ ｅ如下： ｆ ｅ ＝ φ１ ｆ ｐＢｅｓｔ ＋ φ２ ｆ ｇＢｅｓｔ φ１ ＋ φ２ （１９） 惯性权重的调整很大程度上决定了 ＰＳＯ 算法 的优化性能，其大小的调节具有一定规律，且与种群 分布和单个粒子位置密切相关，粒子在迭代过程中 相似程度越来越大，通过种群分布状态，利用粒子相 似程度来调节惯性权重，进而分析和改进 ＰＳＯ 算 法，提出粒子相似度 ｓ（ｉ，ｅ）如式（２０）所示： ｓ（ｉ，ｅ） ＝ １， ｆ ｉ － ｆ ｅ ＜ Ｄｍｉｎ １ － ｆ ｉ － ｆ ｅ ｆｍａｘ － ｆ ｇＢｅｓｔ ，Ｄｍｉｎ ≤ ｆ ｉ － ｆ ｅ ＜ Ｄｍａｘ ０， ｆ ｉ － ｆ ｅ ≥ Ｄｍａｘ ì î í ï ïï ï ïï （２０） 式中：ｓ（ｉ，ｅ）表示第 ｉ 粒子与期望粒子的相似度，ｆ ｉ 为第 ｉ 粒子的适应度值，Ｄｍａｘ、Ｄｍｉｎ 是固定正常数。 文献［１３］中基于空间距离提出相似度的概念，表示 的是每个粒子和当前的全局最优粒子的相似程度。 本文分析了粒子运动轨迹，提出相似度的概念来表 ·７２４· 智 能 系 统 学 报 第 １０ 卷