定理:设函数f在x0处n阶可导,则 Taylor系数 f(x)=∑!(x0 0)x-x)+0((x 称为∫(x)在x=x处带Pemo余项的 Taylor公式。 证:记R(x)=f(x)-2;(x)(x-x)→R(x)=0 R()=f(r) ∑ (i-1)! f(x0)(x-x)→R(x0)=0 同理可得R(x0)=R(x)=R"(x1)=…=R(x1)=0 R(x) R'(x) R"(x) m →X0(x-x0)”x→>xn(x-x0)”x→xn(n-1)(x-x0) R R((x)-R(x0) im x→>0n(x一x 少x nl(x-xo) n! R(x)=0→R(x)=0(x-x0”)6 定理： ( )( ) (( ) ) ! 1 ( ) 0 0 0 ( ) 0 i i n n i f x x x o x x i f x       i i n i f x x x i R x f x ( )( ) ! 1 ( ) ( ) 0 0 ( ) 0     ( ) 0  R x0   R(x0 )  0 ( 1) 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 n R x R x R x R x         n x x x x R x ( ) ( ) lim 0  0  0 1 0 ( ) lim ( ) L n x x R x n x x       0 2 0 ( ) lim ( 1)( ) L n x x R x n n x x        0 ( 1) 0 ( ) lim !( ) L n x x R x n x x       !( ) ( ) ( ) lim 0 0 ( 1) ( 1) 0 n x x R x R x n n x x       ( ) 0 1 ()0 ! n R x n   ( ) (( ) ) 0 n  R x  o x  x 设函数 Taylor 系数 f 在 x0 处 n 阶可导，则 称为 f (x) 在 x = x0 处带 Peano 余项的 Taylor 公式。 证：记 同理可得 ( ) 1 0 0 1 1 ( ) ( ) ( )( ) ( 1)! n i i i R x f x f x x x i         