13.2常系数线性齐次偏微分方程的通解 第5页 ★若α是重根,例如是二重根, (D-aD2)2u=0 则通解为 rd1(y+ar)+φ2(y+ax) ★若α为n重根,即 y)"u=0, 则方程的通解为 u=r"p1(y+ar)+r"2(y+ar +aon-1(y+ar)+on(y+ar 例2方程(D2-2D2D+D3)u=0的通解为 u=ro(a+y)+v(a+y 2.L(Dx,D3)不是Dx,Dy的齐次式 先考虑一阶偏微分方程 Dr-aDy-B)2=0 如果f(x,y,z)=0是方程的解,则必有 af cdx+dy+odz =0 -oros, D i=-oflou 代入方程(■),又应该有 比较(型)和(※)两式,可见 1 这个方程组称为 Lagrange辅助方程组.容易解出 C, Br=Inz-InC't 所以 此,当L(Dx,D)不是Dx和D的齐次式时,如果能将L(Dx,Dy)分解为n个因子(每个 因子都是Dx和D3的线性函数)的乘积,则也可以求出方程的通解 例3求方程 2aby-2y2+2m+2b7=0的通解13.2 ~Xê‚5àg ‡©§Ï) 1 5  F eα´­Š§~X´­Š§ (Dx − αDy) 2 u = 0, KÏ) u = xφ1(y + αx) + φ2(y + αx). F eαn­Š§= (Dx − αDy) n u = 0, K§Ï) u = x n−1 φ1(y + αx) + x n−2 φ2(y + αx) + · · · +xφn−1(y + αx) + φn(y + αx). ~2 §(D 2 x − 2DxDy + D 2 y)u = 0Ï) u = xφ(x + y) + ψ(x + y). 2. L(Dx, Dy)Ø´Dx, Dyàgª kÄ ‡©§ (Dx − αDy − β)z = 0. () XJf(x, y, z) = 0´§)§K7k ∂f ∂xdx + ∂f ∂y dy + ∂f ∂z dz = 0. (z) ,¡§ Dxz = − ∂f /∂x ∂f /∂z , Dyz = − ∂f /∂y ∂f /∂z . \§()§qATk ∂f ∂x − α ∂f ∂y + βz ∂f ∂z = 0. (>) '(z)Ú(>)üª§Œ„ dx 1 = dy −α = dz βz . ù‡§|¡Lagrange9ϐ§|©N´)Ñ y + αx = C, βx = ln z − ln C 0 . ¤± z = C 0 e βx = e βxφ(y + αx). Ïd§L(Dx, Dy)Ø´DxÚDyàgªž§XJUòL(Dx, Dy) ©)n‡Ïf(z‡ ÏfÑ´DxÚDy‚5¼ê)¦È§KŒ±¦Ñ§Ï)© ~3 ¦§ ∂ 2u ∂x2 − ∂ 2u ∂x∂y − 2 ∂ 2u ∂y2 + 2∂u ∂x + 2∂u ∂y = 0Ï)©