13.2常系数线性齐次偏微分方程的通解 第4页 13.2常系数线性齐次偏微分方程的通解 常系数线性齐次偏微分方程的普遍形式是 anu +N+ Pu=0 或者 L(Dx,D)u=≡AoDx+A1Dx-Dy+…+AnD +B0D-1+…+MDx+NDy+Pu 方程的系数Ao,A1,…,An,Bo,…,M,N,P都是常数 1.L(Dx,Dy)是Dx,D2的齐次式 方程为 lo Dn+A1Dn-Dy+ A2 D2-2D2+.+AnDy u=0 可以将线性算符L(D=,Dy)分解成为n个线性算符的乘积 L(Dr, Dy)=Ao(D2-a1Dy)(D2-a2Dy).(Dx-an Dy) 其中a1,a2,…,an也都是常数,因此这n个因子的次序可以任意调换 取试探解为u=p(y+ax),因为 O()(y+az) D= Dyu 代入方程即得 Aoa"+A1a"-1+.+An o(m)(y+ax)=0 设代数方程(称为附加方程, auxiliary equation) A +…+ 的解是a1,a2 ,且互不相等,则求得常系数线性齐次偏微分方程的通解为 u=01(y+a1x)+(y+a2x)+…+φn(y+anx), 其中φ,i=1,2,……,n是(互相独立的)任意(m次可微)函数 例1求方程 ⑦y20的通解,a为常数 解令u=p(y+ax),则附加方程为a2-a2=0,其解a=土a,故方程的通解为 u=01(y+ax)+φ(y-ax)13.2 ~Xê‚5àg ‡©§Ï) 1 4  13.2 ~Xê‚5àg ‡©§Ï) ~Xê‚5àg ‡©§ÊH/ª´ A0 ∂ nu ∂xn + A1 ∂ nu ∂xn−1∂y + · · · + An ∂ nu ∂yn +B0 ∂ n−1u ∂xn−1 + · · · + M ∂u ∂x + N ∂u ∂y + P u = 0, ½ö L(Dx, Dy)u ≡ h A0D n x + A1D n−1 x Dy + · · · + AnD n y + B0D n−1 x + · · · + MDx + NDy + P i u = 0, §XêA0, A1, · · · , An, B0, · · · , M, N, PÑ´~ê© 1. L(Dx, Dy)´Dx, Dyàgª § h A0D n x + A1D n−1 x Dy + A2D n−2 x D 2 y + · · · + AnD n y i u = 0. Œ±ò‚5ŽÎL(Dx, Dy)©)¤n‡‚5ŽÎ¦È L(Dx, Dy) = A0(Dx − α1Dy)(Dx − α2Dy)· · ·(Dx − αnDy), Ù¥α1, α2, · · · , αnÑ´~ê§Ïdùn‡ÏfgSŒ±?¿N†© Á&)u = φ(y + αx), Ϗ D k xu = α k φ (k) (y + αx), D k y u = φ (k) (y + αx), D r xD s yu = α r φ (r+s) (y + αx), \§= h A0α n + A1α n−1 + · · · + An i φ (n) (y + αx) = 0. ꐧ(¡N\§§auxiliary equation) A0α n + A1α n−1 + · · · + An = 0 )´α1, α2, · · · , αn§…p؃§K¦~Xê‚5àg ‡©§Ï) u = φ1(y + α1x) + φ2(y + α2x) + · · · + φn(y + αnx), Ù¥φi, i = 1, 2, · · · , n´(pƒÕá)?¿(ngŒ‡)¼ê© ~1 ¦§ ∂ 2u ∂x2 − a 2 ∂ 2u ∂y2 = 0Ï)§a~ê© ) -u = φ(y + αx)§KN\§α 2 − a 2 = 0§Ù)α = ±a§§Ï) u = φ1(y + ax) + φ2(y − ax).