第4章动能和势能习题解答 31 第4章动能和势能习题解答 将气体密封，气体膨胀前后的体积各为V1,V2,膨胀前的压强为p, 活塞初速率为m.(1)求气体膨胀后活塞的末速率，已知气体膨胀时气 据动量定理：F△t=△p=mM2-V) 体压强与体积满足pv=恒量.(2)若气体压强与体积的关系为pv'=恒 量，Y为常量，活塞末速率又如何？ 所以，F=支m22-支mm,2 解：以活塞为研究对象，设膨胀后的速率为"， 在膨胀过程中，作用在活塞上的力有重力mg,气体 中平m 4.3.6在质量分析器中（详见教材），电量为e的离子自离子源 对活塞的压力N=pS(S为气缸横截面)，忽略重力所 A引出后，在加速管中受到电压为U的电场加速，设偏转磁感应强度 做的功（很小），对活塞应用动能定律： s 为B,偏转半径为R求证在D漂移管中得到的离子的质量为 Aw=支m2-m2,v=V。2+2Aw/m m=eB'R'/2U. 证明：正离子从离子源A引出后，在加速管中受到电压为U的 (I)若pV=p1V1, 电场加速，正离子动能的增量等于电场力对正离子所做的功，即， mv/2-0=eU...v=(2eU/m)2 Ay pSd=jpdv=pVdv =p 正离子在半径为R的弯管中受到洛仑兹力的作用而发生偏转， 若能进入漂移管道，根据牛顿二定律必须满足：qB=R,也就是， (2)若pV'=pV1 eB=m/R,将v=(2eUm)P代入，并将方程两边平方，得： e'B'=2meU/R2,..m=eB'R2/2U. Ay-jpdv=pVjv-dv-PY-V) -1-y 4.3.7轻且不可伸长的线悬挂 质量为500g的圆柱体，圆柱体又套 4.3.5o坐标系与o坐标系各对应轴平行，o相对o沿x轴以vo 在可沿水平方向移动的框架内，框架 做匀速直线运动.对于0系质点动能定理为： 槽沿铅直方向，框架质量为200g.自 F△x=支，2-立m2,M,2沿x轴，根据伽利略变换证明：对于 悬线静止于铅直位置开始，框架在水 平力F=20.0N作用下移至图中位置， 0系，动能定理也取这种形式。 求圆柱体的速度，线长20cm,不计摩擦。 证明：由伽利略变换：x=x+vot,v=v+vo,△x=△x'+vo△t① 解：设绳长1，圆柱质量m,框架质量m,建立图示坐标y: v1=v+vo,v2=v2+vo②，将①②代入Fr=22-m,2中，有 据题意，园柱在。点时，园柱和框架的速度均为零：圆柱在图示位 置时，设圆柱的速度为，方向与线1垂直，框架的速度为2，方向 FAX'+FATVo=m(v2'+Vo)2-im(v'+Vo) 水平向右，由园柱与框架的套接关系，可知2=vx,v1=v1g0 园柱体m1与框架m构成一质点系，此质点系在从竖直位置运 =m22-号m,2+m(y2'-y,')严。=m22-m2+m(y2-)o 动到图示位置的过程中，只有重力W1=g和拉力F做功：其中，第4章动能和势能习题解答 31 第4 章动能和势能习题解答 将气体密封，气体膨胀前后的体积各为 V1,V2，膨胀前的压强为 p1， 活塞初速率为 v0. ⑴求气体膨胀后活塞的末速率,已知气体膨胀时气 体压强与体积满足 pv=恒量. ⑵若气体压强与体积的关系为 pv γ =恒 量，γ为常量，活塞末速率又如何？ 解：以活塞为研究对象，设膨胀后的速率为 v， 在膨胀过程中，作用在活塞上的力有重力 mg，气体 对活塞的压力 N=pS（S 为气缸横截面），忽略重力所 做的功（很小），对活塞应用动能定律： AN mv mv , v v 2AN / m 2 0 2 2 0 2 1 2 1 = −  = + ⑴若 pV=p1V1， 1 2 2 2 1 2 1 1 1 ln 1 1 1 V V V V V V V V V AN =  pSdx =  pdV = p V  dV = p V ⑵若 pVγ =p1V1 ( ) 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1       − − − − − =  =  = V V p V A pdV p V V dV V V V V N 4.3.5 o'坐标系与 o 坐标系各对应轴平行，o'相对 o 沿 x 轴以 v0 做匀速直线运动. 对于 o 系质点动能定理为： 2 2 1 1 2 2 2 Fx = 1 mv − mv ，v1,v2 沿 x 轴，根据伽利略变换证明：对于 o'系，动能定理也取这种形式。 证明：由伽利略变换：x=x'+v0t , v=v'+v0，Δx=Δx'+v0Δt ① v1=v1'+v0，v2=v2'+v0 ②，将①②代入 2 2 1 1 2 2 2 Fx = 1 mv − mv 中，有 2 1 0 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 0 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 0 2 1 2 2 0 1 0 ' ' ( ' ') ' ' ( ) ' ( ' ) ( ' ) mv mv m v v v mv mv m v v v F x F t v m v v m v v = − + − = − + −  +  = + − + 据动量定理： ( ) 2 1 Ft = p = m v − v 所以， 2 2 1 2 1 2 2 1 Fx' = mv ' − mv ' 4.3.6 在质量分析器中（详见教材）,电量为 e 的离子自离子源 A 引出后，在加速管中受到电压为 U 的电场加速.设偏转磁感应强度 为 B,偏转半径为 R.求证在 D 漂移管中得到的离子的质量为 m=eB2R 2 /2U. 证明：正离子从离子源 A 引出后，在加速管中受到电压为 U 的 电场加速，正离子动能的增量等于电场力对正离子所做的功，即， mv2 /2-0=eU,∴v=(2eU/m)1/2 正离子在半径为 R 的弯管中受到洛仑兹力的作用而发生偏转， 若能进入漂移管道，根据牛顿二定律必须满足：qvB=mv2 /R,也就是， eB=mv/R，将 v=(2eU/m)1/2 代入，并将方程两边平方，得： e 2B 2=2meU/R2，∴m=eB2R 2 /2U. y 4.3.7 轻且不可伸长的线悬挂 质量为 500g 的圆柱体，圆柱体又套 30º l v1 在可沿水平方向移动的框架内，框架 30º 槽沿铅直方向，框架质量为 200g.自 o 悬线静止于铅直位置开始，框架在水 F x 平力 F=20.0N 作用下移至图中位置， v2 求圆柱体的速度，线长 20cm,不计摩擦。 解：设绳长 l，圆柱质量 m1，框架质量 m2，建立图示坐标 o-xy； 据题意，圆柱在 o 点时，圆柱和框架的速度均为零；圆柱在图示位 置时，设圆柱的速度为 v1，方向与线 l 垂直，框架的速度为 v2,方向 水平向右，由圆柱与框架的套接关系，可知 v2=v1x，v1y=v1xtg30º 圆柱体 m1 与框架 m2 构成一质点系，此质点系在从竖直位置运 动到图示位置的过程中，只有重力 W1=m1g 和拉力 F 做功：其中， p,v m S x