第4章动能和势能习题解答 28 第4章动能和势能习题解答 第四章基本知识小结 4机械能定理适用于惯性系 ∑A外+∑A=A(E+E,) 1功的定义式： A12 F.dr 5机械能守恒定律适用于惯性系 XV2 直角坐标系中： Fdx A2=Fdx+F,dy 若只有保守内力做功，则系统的机械能保持不变，E,+E。=C A12= 乃 自然坐标系中：A2= 6.碰撞的基本公式 m1o+m2V20=m,y1+m2y2(动量守恒方程) n马 极坐标系中： A2=F,dr +Ford0 '2-=e(V1o-'2o) (牛顿碰撞公式) (分离速度=e接近速度) 对于完全弹性碰撞e=1 对于完全非弹性碰撞e=0 2动能E=支m2，势能E,o-￡，o=-d面 对于斜碰，可在球心连线方向上应用牛顿碰撞公式。 7克尼希定理 重力势能 E(y)=mgy 弹簧弹性势能E,)--)户 绝对动能=质心动能+相对动能 121 静电势能 E(r)= Qq 应用于二体问题 4π8r E.-2m'+24w 1m2 m=%1+m21= 3动能定理适用于惯性系、质点、质点系 m1+m2 ∑A外+∑A内=△E ”为二质点相对速率
第4章动能和势能习题解答 28 第4 章动能和势能习题解答 第四章基本知识小结 ⒈功的定义式： = 2 1 12 r r A F dr 直角坐标系中： = = + 2 2 1 1 2 1 , , 12 12 x y x y x y x x A Fxdx ，A F dx F dy 自然坐标系中： = 2 1 12 s s A F ds 极坐标系中： = + 2 2 1 1 , , 12 r r r A F dr F rd ⒉ = − = − b a k p p E mv E b E a F dr 动能 , 势能 ( ) ( ) 保 2 1 2 重力势能 E y mgy p ( ) = 弹簧弹性势能 2 ( ) 2 1 E (r) k r l p = − 静电势能 r Qq E r p 4 ( ) = ⒊动能定理适用于惯性系、质点、质点系 A外 +A内 = Ek ⒋机械能定理适用于惯性系 + = + ) A外 A非保内 （Ek Ep ⒌机械能守恒定律适用于惯性系 若只有保守内力做功，则系统的机械能保持不变， Ek + Ep = C ⒍碰撞的基本公式 （分离速度 接近速度） （牛顿碰撞公式） 动量守恒方程） e v v e v v m v m v m v m v = − = − + = + ( ) ( 2 1 10 20 1 10 2 20 1 1 2 2 对于完全弹性碰撞 e = 1 对于完全非弹性碰撞 e = 0 对于斜碰，可在球心连线方向上应用牛顿碰撞公式。 ⒎克尼希定理 = + 2 2 ' 2 1 2 1 k c i i E mv m v 绝对动能=质心动能+相对动能 应用于二体问题 2 2 2 1 2 1 Ek = mvc + u 1 2 1 2 1 2 m m m m m m m + = + = u 为二质点相对速率
第4章动能和势能习题解答 29 第4章动能和势能习题解答 4.2.2本题图表示测定运动体能的装置。绳拴在腰间沿水平展 4.2.4一细线系一小球，小球在光滑水平桌面上沿螺旋线运动， 开跨过理想滑轮，下悬重物50kg,人用力向后蹬传送带而人的质心 线穿过桌中心光滑圆孔，用力F向下拉绳，证明力F对线做的功等 相对于地面不动，设传送带上侧以2s的速率向后运动，问运动员 与线作用于小球的拉力所做的功，线不可伸 对传送带做功否？功率如何？ 长。 解：人作用在传送带上的力有向下 证明：以园孔为顶点建立极坐标，设小球 的压力和水平向后的静摩擦力，压力方向 的位置由r1,0,变为r2,02,由于忽略绳的质 与传送带位移方向垂直，所以压力不做 量、伸长，不计摩擦，所以绳对球的拉力T=F 功，但静摩擦力方向与传送带位移方向相 同，所以静摩擦力对传送带做正功。 A =jFdr=-jTdr=Tjdr-TGr-n) 分析人受力情况，由质心定理可知，人与传送带之间的静摩擦 力的大小=mg,所以，人对传送带做功的功率为： AF=F(G-3)=T(-3),Ar=A N=fv=mgy=50×9.8×2=9.8×102(瓦) 4.2.5一辆卡车能够沿者斜坡以15km/h的速率向上行驶，斜 坡与水平面夹角的正切tga=0.02,所受阻力等于卡车重量的0.04， 4.2.3一非线性拉伸弹簧的弹性力的大小为f=kI+k,1,1 如果卡车以同样的功率匀速下坡，卡车的速率是多少？ 表示弹簧的伸长量，k1为正，(1)研究当k2>0、k20 平衡方程有F'+mg sin a=0.04mg,F=(0.04-sina)mg k2=0时，dd=女1，与弹簧的伸长量 .'.N'=(0.04-sin a )mgv'. 无关：当k2>0时，弹簧的劲度随弹簧 k2=0 令N=N,即(0.04+sina)mgv=(0.04-sina)mgy,可求得： 伸长量的增加而增大：k2<0时，弹簧 k0 v仁v(0.04+sina)M0.04sina).利用三角函数关系式，可求得： 的劲度随弹簧伸长量的增加而减小。 sina≈tga=0.02,∴.v=3y=3×15×103/602m/s=12.5m/s. 在以上三种情况中，劲度d!与弹簧伸长量1的关系如图所示。 4.3.1质量为m=0.5kg的木块可在水平光滑直杆上滑动，木块与 A=-(kl+kPydl=-k ldl-ka P'dl 一不可伸长的轻绳相连，绳跨过一固定的光滑小环，绳端作用者大 =-k02-12)-k2024-1) 小不变的力T=50N,木块在A点时具有向右的速率vo=6m/s,求力T 将木块从A拉至B点时的速度。 =-k1+号k022+12(22-1,2) 解：以A为原点建立图示坐标0-x, 3m 木块由A到B,只有拉力T做功： ☑ 4m
第4章动能和势能习题解答 29 第4 章动能和势能习题解答 4.2.2 本题图表示测定运动体能的装置。绳拴在腰间沿水平展 开跨过理想滑轮，下悬重物 50kg，人用力向后蹬传送带而人的质心 相对于地面不动，设传送带上侧以 2m/s 的速率向后运动，问运动员 对传送带做功否？功率如何？ 解：人作用在传送带上的力有向下 的压力和水平向后的静摩擦力，压力方向 与传送带位移方向垂直，所以压力不做 功，但静摩擦力方向与传送带位移方向相 同，所以静摩擦力对传送带做正功。 分析人受力情况，由质心定理可知，人与传送带之间的静摩擦 力的大小 f=mg，所以，人对传送带做功的功率为： N = fv = mgv = 50×9.8×2 = 9.8×102（瓦） 4.2.3 一非线性拉伸弹簧的弹性力的大小为 f k l k l ,l 3 = 1 + 2 表示弹簧的伸长量，k1 为正，⑴研究当 k2＞0、k20 时，弹簧的劲度随弹簧 伸长量的增加而增大；k2<0 时，弹簧 的劲度随弹簧伸长量的增加而减小。 在以上三种情况中，劲度 df/dl 与弹簧伸长量 l 的关系如图所示。 [ ( )]( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 4 1 4 4 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 3 1 2 3 1 2 2 1 2 1 2 1 k k l l l l k l l k l l A k l k l dl k ldl k l dl l l l l l l = − + + − = − − − − = − + = − − 4.2.4 一细线系一小球，小球在光滑水平桌面上沿螺旋线运动， 线穿过桌中心光滑圆孔，用力 F 向下拉绳，证明力 F 对线做的功等 与线作用于小球的拉力所做的功，线不可伸 长。 证明：以圆孔为顶点建立极坐标，设小球 的位置由 r1,θ1 变为 r2,θ2，由于忽略绳的质 量、伸长，不计摩擦，所以绳对球的拉力 T=F F T F r r r r r r T r A F r r T r r A A A F dr Tdr T dr T r r = − = − = = = − = = − ( ) ( ), ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 4.2.5 一辆卡车能够沿着斜坡以 15km/h 的速率向上行驶，斜 坡与水平面夹角的正切 tgα=0.02，所受阻力等于卡车重量的 0.04， 如果卡车以同样的功率匀速下坡，卡车的速率是多少？ 解：设卡车匀速上坡时，速率为 v, 牵引力为 F, 功率为 N,由质 点平衡方程有，F = (0.04+sinα)mg，∴N = Fv = (0.04+sinα)mgv 设卡车匀速下坡时，速率为 v’,牵引力为 F',功率为 N', 由质点 平衡方程有 F'+ mg sinα= 0.04mg, F'=(0.04-sinα)mg, ∴N'= (0.04-sinα)mgv'. 令 N'= N, 即（0.04+sinα）mgv = (0.04-sinα)mgv'，可求得： v'= v(0.04+sinα)/(0.04-sinα). 利用三角函数关系式，可求得： sinα≈tgα=0.02 ,∴v'=3v =3×15×103 /602 m/s = 12.5m/s. 4.3.1 质量为 m=0.5kg 的木块可在水平光滑直杆上滑动，木块与 一不可伸长的轻绳相连，绳跨过一固定的光滑小环，绳端作用着大 小不变的力 T=50N，木块在 A 点时具有向右的速率 v0=6m/s，求力 T 将木块从 A 拉至 B 点时的速度。 解：以 A 为原点建立图示坐标 o-x， 木块由 A 到 B，只有拉力 T 做功： F k2=0 k2＞0 k2＜0 df/dl k1 l 4m 3m A B T x θ
第4章动能和势能习题解答 30 第4章动能和势能习题解答 0.5 A-jF.dx-jTc00d-Tl (4-x 4-x+3 4,=F== =-50.52+05-02Ta0.5- =-(4-x)2+92d(4-x)2+9=-婴×204-x)2+9]26 =-50.52+(0.5-y2d0.52+0.5-yy21 =50V(4-x)2+96=50×(5-3)=100J =-5×2[0.52+(0.5-y)2]Ψ2185 =0.5F(N2-1)=0.5×60W2-1)=12.43J 设木块到达B时的速度为v,由动能定理：A=mw2- 由动能定理：Av+Ar+A=支mg2-m v=V24/m+。=V2×10010.5+62≈20.88m15,方向向右 代入数据，求得s=3.86m/s 4.3.2质量为1.2kg的木块套在光滑铅直杆上，不可伸长的轻绳 4.3.3质量为m的物体与轻弹簧相连，最初m处于使弹簧既未 跨过固定的光滑小环，孔的直径远小于它到杆的距离。绳端作用以 压缩也未伸长的位置，并以速度向右运动，弹簧的劲度系数为k, 恒力F,F=6ON,木块在A处有向上的速度vo=2m/s,求木块被拉至B时 物体与支撑面间的滑动摩擦系数为μ求证物体能达到的最远距离I 的速度。 为1=学(+-) 0.5m 0.5m 证明：质点m由弹簧原长位 置运动到最远位置1，弹力F和滑 M m .5m 动摩擦力∫对质点做负功，导致质 点动能由o22变为0。根据动能定理：Ar+A=0-o2① W 其中，A4=-kdl=-k,4=-umgl,代入①中，并整理， 有：k+2μmg-mvo2=0.这是一个关于1的一元二次方程，其根为： 解：以地为参考系，建立图示坐标A-xy,木块在由A到B的运 1=-24my2m4m元，负根显然不合题意，舍去，所以， 动过程中受三个力的作用，各力做功分别是： Aw=0:Aw=mg(yB-yA.1.2×9.8×0.5=-5.88J:F大小虽然不变， 1=-+umg+km-(+-) 但方向在运动过程中不断变化，因此是变力做功。 4.3.4圆柱形容器内装有气体，容器内壁光滑，质量为m的活塞
第4章动能和势能习题解答 30 第4 章动能和势能习题解答 − + − = = = 4 0 (4 ) 3 (4 ) 4 0 4 0 2 2 cos x x dx A Fxdx T dx T x J x d x x T 50 (4 ) 9 | 50 (5 3) 100 [(4 ) 9] [(4 ) 9] 2[(4 ) 9] | 4 0 2 4 0 2 1/ 2 2 50 4 0 2 1/ 2 2 2 = − + = − = = − − + − + = − − + − 设木块到达 B 时的速度为 v，由动能定理： 2 2 0 2 1 2 A = 1 mv − mv v 2A/ m v 2 100/ 0.5 6 20.88m/s 2 2 = + 0 = + ，方向向右 4.3.2 质量为 1.2kg 的木块套在光滑铅直杆上，不可伸长的轻绳 跨过固定的光滑小环，孔的直径远小于它到杆的距离。绳端作用以 恒力 F,F=60N,木块在 A 处有向上的速度 v0=2m/s,求木块被拉至 B 时 的速度。 解：以地为参考系，建立图示坐标 A-xy，木块在由 A 到 B 的运 动过程中受三个力的作用,各力做功分别是： AN = 0；AW = -mg(yB-yA)=-1.2×9.8×0.5= -5.88J；F 大小虽然不变， 但方向在运动过程中不断变化，因此是变力做功。 F J y y d y y d y A F dy F dy F dy F F F y y F y 0.5 ( 2 1) 0.5 60( 2 1) 12.43 2[0.5 (0.5 ) ] | [0.5 (0.5 ) ] [0.5 (0.5 ) ] [0.5 (0.5 ) ] (0.5 ) cos 0.5 0 2 2 1/ 2 2 0.5 0 2 2 1/ 2 2 2 2 0.5 0 2 2 1/ 2 2 2 0.5 0 0.5 (0.5 ) 0.5 0.5 0 0.5 0 2 2 = − = − = = − + − = − + − + − = − + − − = = = − − + − − 由动能定理： 2 2 1 2 2 1 AN + AW + AF = mvB − mvA 代入数据，求得 vB =3.86 m/s. 4.3.3 质量为 m 的物体与轻弹簧相连，最初 m 处于使弹簧既未 压缩也未伸长的位置，并以速度 v0 向右运动，弹簧的劲度系数为 k， 物体与支撑面间的滑动摩擦系数为μ求证物体能达到的最远距离 l 为 ( 1 2 1) 2 0 = + − mg k v k mg l 证明：质点 m 由弹簧原长位 置运动到最远位置 l，弹力 F 和滑 动摩擦力 f 对质点做负功，导致质 点动能由 mv0 2 /2 变为 0。根据动能定理：AF+Af=0 - mv0 2 /2 ……① 其中， A k ldl kl A mgl f l F = − = − = − , 2 2 1 0 ，代入①中，并整理， 有：kl2+2μmgl-m v0 2=0. 这是一个关于 l 的一元二次方程，其根为： k m g m g k mv l 2 2 (2 ) 4 2 0 2 − + = ，负根显然不合题意，舍去，所以， ( ) ( 1 2 2 1) 2 0 2 0 1 2 = − + + = + − m g k v k m g k k m g l m g kmv 4.3.4 圆柱形容器内装有气体，容器内壁光滑，质量为 m 的活塞 0.5m y 0.5m B θ 0.5m F N F W A A x m m k l
第4章动能和势能习题解答 31 第4章动能和势能习题解答 将气体密封，气体膨胀前后的体积各为V1,V2,膨胀前的压强为p, 活塞初速率为m.(1)求气体膨胀后活塞的末速率，已知气体膨胀时气 据动量定理：F△t=△p=mM2-V) 体压强与体积满足pv=恒量.(2)若气体压强与体积的关系为pv'=恒 量，Y为常量，活塞末速率又如何？ 所以，F=支m22-支mm,2 解：以活塞为研究对象，设膨胀后的速率为"， 在膨胀过程中，作用在活塞上的力有重力mg,气体 中平m 4.3.6在质量分析器中（详见教材），电量为e的离子自离子源 对活塞的压力N=pS(S为气缸横截面)，忽略重力所 A引出后，在加速管中受到电压为U的电场加速，设偏转磁感应强度 做的功（很小），对活塞应用动能定律： s 为B,偏转半径为R求证在D漂移管中得到的离子的质量为 Aw=支m2-m2,v=V。2+2Aw/m m=eB'R'/2U. 证明：正离子从离子源A引出后，在加速管中受到电压为U的 (I)若pV=p1V1, 电场加速，正离子动能的增量等于电场力对正离子所做的功，即， mv/2-0=eU...v=(2eU/m)2 Ay pSd=jpdv=pVdv =p 正离子在半径为R的弯管中受到洛仑兹力的作用而发生偏转， 若能进入漂移管道，根据牛顿二定律必须满足：qB=R,也就是， (2)若pV'=pV1 eB=m/R,将v=(2eUm)P代入，并将方程两边平方，得： e'B'=2meU/R2,..m=eB'R2/2U. Ay-jpdv=pVjv-dv-PY-V) -1-y 4.3.7轻且不可伸长的线悬挂 质量为500g的圆柱体，圆柱体又套 4.3.5o坐标系与o坐标系各对应轴平行，o相对o沿x轴以vo 在可沿水平方向移动的框架内，框架 做匀速直线运动.对于0系质点动能定理为： 槽沿铅直方向，框架质量为200g.自 F△x=支，2-立m2,M,2沿x轴，根据伽利略变换证明：对于 悬线静止于铅直位置开始，框架在水 平力F=20.0N作用下移至图中位置， 0系，动能定理也取这种形式。 求圆柱体的速度，线长20cm,不计摩擦。 证明：由伽利略变换：x=x+vot,v=v+vo,△x=△x'+vo△t① 解：设绳长1，圆柱质量m,框架质量m,建立图示坐标y: v1=v+vo,v2=v2+vo②，将①②代入Fr=22-m,2中，有 据题意，园柱在。点时，园柱和框架的速度均为零：圆柱在图示位 置时，设圆柱的速度为，方向与线1垂直，框架的速度为2，方向 FAX'+FATVo=m(v2'+Vo)2-im(v'+Vo) 水平向右，由园柱与框架的套接关系，可知2=vx,v1=v1g0 园柱体m1与框架m构成一质点系，此质点系在从竖直位置运 =m22-号m,2+m(y2'-y,')严。=m22-m2+m(y2-)o 动到图示位置的过程中，只有重力W1=g和拉力F做功：其中
第4章动能和势能习题解答 31 第4 章动能和势能习题解答 将气体密封，气体膨胀前后的体积各为 V1,V2，膨胀前的压强为 p1， 活塞初速率为 v0. ⑴求气体膨胀后活塞的末速率,已知气体膨胀时气 体压强与体积满足 pv=恒量. ⑵若气体压强与体积的关系为 pv γ =恒 量，γ为常量，活塞末速率又如何？ 解：以活塞为研究对象，设膨胀后的速率为 v， 在膨胀过程中，作用在活塞上的力有重力 mg，气体 对活塞的压力 N=pS（S 为气缸横截面），忽略重力所 做的功（很小），对活塞应用动能定律： AN mv mv , v v 2AN / m 2 0 2 2 0 2 1 2 1 = − = + ⑴若 pV=p1V1， 1 2 2 2 1 2 1 1 1 ln 1 1 1 V V V V V V V V V AN = pSdx = pdV = p V dV = p V ⑵若 pVγ =p1V1 ( ) 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 − − − − − = = = V V p V A pdV p V V dV V V V V N 4.3.5 o'坐标系与 o 坐标系各对应轴平行，o'相对 o 沿 x 轴以 v0 做匀速直线运动. 对于 o 系质点动能定理为： 2 2 1 1 2 2 2 Fx = 1 mv − mv ，v1,v2 沿 x 轴，根据伽利略变换证明：对于 o'系，动能定理也取这种形式。 证明：由伽利略变换：x=x'+v0t , v=v'+v0，Δx=Δx'+v0Δt ① v1=v1'+v0，v2=v2'+v0 ②，将①②代入 2 2 1 1 2 2 2 Fx = 1 mv − mv 中，有 2 1 0 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 0 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 0 2 1 2 2 0 1 0 ' ' ( ' ') ' ' ( ) ' ( ' ) ( ' ) mv mv m v v v mv mv m v v v F x F t v m v v m v v = − + − = − + − + = + − + 据动量定理： ( ) 2 1 Ft = p = m v − v 所以， 2 2 1 2 1 2 2 1 Fx' = mv ' − mv ' 4.3.6 在质量分析器中（详见教材）,电量为 e 的离子自离子源 A 引出后，在加速管中受到电压为 U 的电场加速.设偏转磁感应强度 为 B,偏转半径为 R.求证在 D 漂移管中得到的离子的质量为 m=eB2R 2 /2U. 证明：正离子从离子源 A 引出后，在加速管中受到电压为 U 的 电场加速，正离子动能的增量等于电场力对正离子所做的功，即， mv2 /2-0=eU,∴v=(2eU/m)1/2 正离子在半径为 R 的弯管中受到洛仑兹力的作用而发生偏转， 若能进入漂移管道，根据牛顿二定律必须满足：qvB=mv2 /R,也就是， eB=mv/R，将 v=(2eU/m)1/2 代入，并将方程两边平方，得： e 2B 2=2meU/R2，∴m=eB2R 2 /2U. y 4.3.7 轻且不可伸长的线悬挂 质量为 500g 的圆柱体，圆柱体又套 30º l v1 在可沿水平方向移动的框架内，框架 30º 槽沿铅直方向，框架质量为 200g.自 o 悬线静止于铅直位置开始，框架在水 F x 平力 F=20.0N 作用下移至图中位置， v2 求圆柱体的速度，线长 20cm,不计摩擦。 解：设绳长 l，圆柱质量 m1，框架质量 m2，建立图示坐标 o-xy； 据题意，圆柱在 o 点时，圆柱和框架的速度均为零；圆柱在图示位 置时，设圆柱的速度为 v1，方向与线 l 垂直，框架的速度为 v2,方向 水平向右，由圆柱与框架的套接关系，可知 v2=v1x，v1y=v1xtg30º 圆柱体 m1 与框架 m2 构成一质点系，此质点系在从竖直位置运 动到图示位置的过程中，只有重力 W1=m1g 和拉力 F 做功：其中， p,v m S x
第4章动能和势能习题解答 32 第4章动能和势能习题解答 Am=·mg门-cos30=·013,AF=FIsn30=2J,由质点系动能定 解：运动员在整Ap 理，有Am+As=m2+m22=号m,(.2+,2)+m2y 个运动过程中，只有重 力做功，故机械能守恒， 25n =.2[m,1+g230)+m2].yx2=2(41+As)售m1+m2) 取B点为势能零点。 '.mgH mvg2/2 代入数据，2=4.3，u,2=(vg302=1.44∴.v(v.2+）12=2.4ms yg=√2g=V2×9.8×25=22.1m/s 运动员由B到C作斜抛运动，据题意，C点即为最高点。由斜 4.4.1两个仅可压缩的弹簧组成一可变劲度系数的弹簧组，弹簧 抛运动规律可知，=sc0s30°=19.1m/s 1和弹簧2的劲度系数各为k1,k2,它们自由伸展的长度相差1，坐标 ,mwa22=mve22+mgh.h=va2-ye2/2g=6.3m:由竖直方向 原点置于弹簧2自由伸展处，求弹簧组在0≤x≤1和x<0时弹性势 的速度公式可求跨越时间：，0=vgsin.30”-g对，t=vB/2g=1.13s,由 能的表达式。 水平方向的位移公式可求得跨越距离d=v'Bcos30°t=21.6m 解：规定两个弹簧处在坐标原点时的弹性 势能为零：弹簧2的势能表达式显然为： Ep2=kx2,x≤0：弹簧1的势能： wW 4.5.2装置如图所示，球的质量为5kg,杆AB长1m,AC长0.1m, k20 A点距o点0.5m,弹簧的劲度系数为800N/m,杆AB在水平位置时 恰为弹簧自由状态，此时释放小球，小球由静止开始运动，求小球 Ep=-kiJ(I-x)dx=kiJ(I-x)d(I-x)=tk(I-x) 到铅垂位置时的速度，不计弹簧质量及杆的质量，不计摩擦。 解：取小球在水平位置时，势能为零， =k[0-x)2-1P]=kx2-kk,(x≤0 A 小球运动到竖直位置时的速度为，弹簧原 当0≤x≤1时，E。=Ep1=kx2-k 长：。=V0.52+0.12=0.51,在小球从 当x<0时，E。=En+Ep2=(k1+k)x2-kbx 水平位置运动到竖直位置的过程中，只有保 B 守内力做功，因而机械能守恒： 0=m2-mgAB+k(OA+AC-)2,可求得： 4.5.1滑雪运动员自A自由下落，经B越过宽为d的横沟到达 平台C时，其速度刚好在水平方向，已知A、B两点的垂直距离 v=2gAB-k(OA+AC-lo)/m 为25m.坡道在B点的切线方向与水平面成30°角，不计摩擦，求： (1)运动员离开B处的速率va:(2)B、C的垂直高度差h及沟宽d:(3) =V2×9.8×1-800(0.5+0.1-0.51)2/5=4.28m/s 运动员到达平台时的速率
第4章动能和势能习题解答 32 第4 章动能和势能习题解答 AW1= - m1gl(1-cos30º)= - 0.13J, AF = F l sin30º= 2J,由质点系动能定 理，有 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 ( ) W F x y x A + A = m v + m v = m v + v + m v [ (1 30 ) ] 2( )/( ) 3 1 2 4 1 2 2 1 2 1 2 2 1 = 1 v x m + tg + m v x = AW + AF m + m 代入数据,v1x2=4.3, v1y2=(v1xtg30º) 2=1.44∴v1=(v1x2+v1y2 ) 1/2=2.4m/s. 4.4.1 两个仅可压缩的弹簧组成一可变劲度系数的弹簧组，弹簧 1 和弹簧 2 的劲度系数各为 k1,k2，它们自由伸展的长度相差 l，坐标 原点置于弹簧 2 自由伸展处，求弹簧组在 0≤x≤l 和 x<0 时弹性势 能的表达式。 解：规定两个弹簧处在坐标原点时的弹性 势能为零；弹簧 2 的势能表达式显然为： , 0 2 2 2 1 Ep2 = k x x ；弹簧 1 的势能： [( ) ] , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 0 2 2 1 1 0 1 0 1 1 k l x l k x k lx x l E k l x dx k l x d l x k l x x x x p = − − = − = − − = − − = − 当 0≤x≤l 时， E E k x k lx p p 1 2 2 1 1 = 1 = − 当 x<0 时， E E E k k x k lx p p p 1 2 2 1 2 1 1 2 = + = ( + ) − 4.5.1 滑雪运动员自 A 自由下落，经 B 越过宽为 d 的横沟到达 平台 C 时，其速度 vc刚好在水平方向，已知 A、B 两点的垂直距离 为 25m.坡道在 B 点的切线方向与水平面成 30º角，不计摩擦，求： ⑴运动员离开 B 处的速率 vB；⑵B、C 的垂直高度差 h 及沟宽 d；⑶ 运动员到达平台时的速率 vc. 解：运动员在整 个运动过程中,只有重 力做功,故机械能守恒， 取 B 点为势能零点。 ∵mgH = mvB 2 /2 ∴ v gH m s B = 2 = 29.825 = 22.1 / 运动员由 B 到 C 作斜抛运动，据题意，C 点即为最高点。由斜 抛运动规律可知，vc = vB cos30º = 19.1m/s ∵mvB 2 /2 = m vc 2 /2+mgh ∴h = (vB 2 -vc 2 )/2g = 6.3m；由竖直方向 的速度公式可求跨越时间：∵0 = vBsin30º-gt ∴t = vB /2g =1.13s，由 水平方向的位移公式可求得跨越距离 d = vB cos30ºt = 21.6m. 4.5.2 装置如图所示，球的质量为 5kg，杆 AB 长 1m，AC 长 0.1m， A 点距 o 点 0.5m，弹簧的劲度系数为 800N/m，杆 AB 在水平位置时 恰为弹簧自由状态，此时释放小球，小球由静止开始运动，求小球 到铅垂位置时的速度，不计弹簧质量及杆的质量，不计摩擦。 解：取小球在水平位置时，势能为零， 小球运动到竖直位置时的速度为 v，弹簧原 长： 0.5 0.1 0.51 2 2 l 0 = + = ，在小球从 水平位置运动到竖直位置的过程中，只有保 守内力做功，因而机械能守恒： 2 2 0 2 1 2 1 0 = mv − mgAB + k(OA + AC −l ) ，可求得： m s v g AB k OA AC l m 2 9.8 1 800(0.5 0.1 0.51) / 5 4.28 / 2 ( ) / 2 2 0 = − + − = = − + − H=25m h d vB vc A 30º o x l k1 k2 B C A o
第4章动能和势能习题解答 33 第4章动能和势能习题解答 4.5.3物体O与一劲度系数为24Nm的橡皮筋连接，并在一水 4.6.2m为静止车厢的质量，质量为M的机车在水平轨道上自 平（光滑）圆环轨道上运动，物体Q在A处的速度为1.0m/s,已知圆 右方以速率v滑行并与m碰撞挂钩.挂钩后前进了距离s然后静止。 环的半径为0.24m,物体Q的质量为5kg,由橡皮筋固定端至B为0.16m, 求轨道作用于车的阻力。 恰等于橡皮筋的自由长度求：(1)物体Q的最大速度：(2)物体Q能否达 解：整个过程可分为两个阶段： 到D点，并求出在此点的速度 第一阶段，机车与车厢发生完全非 m M T● 解：物体Q在整个运动过程中，只有弹簧的弹力做功，所以机 弹性碰撞而获得共同速度v',由于 械能守恒.总能量E=mA2+VR2+(R+l)2-l 轨道阻力远小于冲力，可认为质点 系动量守恒，=(M+mp,v'=/M+m) 代入数据，求得E=3.63J 第二阶段，机车与车厢挂钩后，在摩擦阻力的作用下向前移动 (I)在B点，弹簧的势能全部转 了s,速度由v'变为零，由动能定理，有-=0-M+mv22, 化为动能，所以，在该点速度最大 mVg'2=E,Va (2E/m)n =1.2m/s 将代入，可求得f= (②)在D点的弹性势能， E=k(2R2/2=2kR2=2×24×0.242=2.76 4.63两球具有相同的质量和半径，悬挂于同一高度.静止时， ,Ep<E.物体Q能达到D点.mD/2=E-Ep,D=2E-Epm2 两球恰能接触且悬线平行.碰撞的恢复系数为©.若球A自高度加释 代入数据，求得o=0.58m/s 放，求该球弹回后能达到的高度。又问若二球发生完全弹性碰撞， 会发生什么现象，试描述之。 4.6.1卢瑟福在一篇文章中写道：可以预言，当α粒子和氢原 解：设两球质量均为m,球 子相碰时，可使之迅速运动起来.按正碰考虑很容易证明，氢原子速度 A由1高处运动到水平位置获得 可达a粒子碰撞前速度的1.6倍，即占入射a粒子能量的64%.试证明 的速度A,可由能量守恒方程求 此结论（碰撞是完全弹性的，且α粒子质量接近氢原子质量的四倍）. 证明：设氢原子质量为m碰前速度为零，碰后速度H,a粒子质 出：mgh1=n22∴m=√2gh 量为4m,碰前速度为v,碰后速度为v,'根据完全弹性碰撞基本公式： 设A,B两球碰后速度分别为 4m,=4m,+ma即，4。三4。vg'0 v和阳，根据非完全弹性碰撞的基 Va =VH'-Va' Va=VH-V (2) 本公式，有 (1)+(2)X4,得8v=5m,.8v/5=1.6v。 m=mw+mg'即，V4='vg Va-v'=ev ev=V8-VA 冬=器==0.64
第4章动能和势能习题解答 33 第4 章动能和势能习题解答 C 4.5.3 物体 Q 与一劲度系数为 24N/m 的橡皮筋连接，并在一水 平(光滑)圆环轨道上运动，物体 Q 在 A 处的速度为 1.0m/s，已知圆 环的半径为0.24m,物体Q的质量为5kg,由橡皮筋固定端至B为0.16m, 恰等于橡皮筋的自由长度.求:⑴物体Q的最大速度; ⑵物体Q能否达 到 D 点，并求出在此点的速度. 解: 物体 Q 在整个运动过程中，只有弹簧的弹力做功，所以机 械能守恒.总能量 E= 2 0 2 0 2 2 1 2 2 1 mv k[ R (R l ) l ] A + + + − 代入数据，求得 E=3.63J Q A ⑴在 B 点, 弹簧的势能全部转 化为动能，所以, 在该点速度最大. mVB 2 /2 = E, vB = (2E/m)1/2 = 1.2m/s B D ⑵在 D 点的弹性势能， Ep=k(2R)2 /2=2kR2=2×24×0.242=2.76 ∵Ep<E ∴物体 Q 能达到 D 点. m vD 2 /2=E-Ep , vD=[2(E-Ep)/m] 1/2 代入数据，求得 vD=0.58m/s 4.6.1 卢瑟福在一篇文章中写道：可以预言，当α粒子和氢原 子相碰时，可使之迅速运动起来.按正碰考虑很容易证明,氢原子速度 可达α粒子碰撞前速度的 1.6 倍,即占入射α粒子能量的 64%.试证明 此结论(碰撞是完全弹性的,且α粒子质量接近氢原子质量的四倍). 证明: 设氢原子质量为 m,碰前速度为零,碰后速度 vH',α粒子质 量为 4m,碰前速度为 vα,碰后速度为 vα'.根据完全弹性碰撞基本公式： = − = + ' ' 4 4 ' ' v v v mv mv mv H H 即 ， ' ' (2) 4 4 ' ' (1) v v v v v v H H = − = + ⑴＋⑵×4，得 8 vα= 5vH', ∴ vH'= 8 vα/5 = 1.6 vα 2 0.64 2 2 2 4 (1.6 ) 4 / 2 ' / 2 = = = v v m v m v E EH H 4.6.2 m 为静止车厢的质量，质量为 M 的机车在水平轨道上自 右方以速率 v 滑行并与 m 碰撞挂钩.挂钩后前进了距离 s 然后静止。 求轨道作用于车的阻力。 v 解：整个过程可分为两个阶段： 第一阶段，机车与车厢发生完全非 弹性碰撞而获得共同速度 v’，由于 轨道阻力远小于冲力，可认为质点 v’ 系动量守恒，Mv=(M+m)v’,v’=Mv/(M+m) f 第二阶段，机车与车厢挂钩后，在摩擦阻力的作用下向前移动 了 s，速度由 v’变为零，由动能定理，有 – fs = 0 - (M+m) v’ 2 /2, 将 v’代入，可求得 2 ( ) 2 2 s M m M v f + = 4.6.3 两球具有相同的质量和半径，悬挂于同一高度.静止时, 两球恰能接触且悬线平行.碰撞的恢复系数为 e.若球 A 自高度 h1 释 放，求该球弹回后能达到的高度。又问若二球发生完全弹性碰撞， 会发生什么现象，试描述之。 解：设两球质量均为 m，球 A 由 h1 高处运动到水平位置获得 的速度 vA，可由能量守恒方程求 出：mgh1=mvA 2 /2∴vA= 2gh1 设 A,B 两球碰后速度分别为 vA'和 vB'，根据非完全弹性碰撞的基 本公式，有 − = = + B A A A A B v v ev mv mv mv ' ' ' ' 即， ' ' ' ' A B A A A B ev v v v v v = − = + m M h1 A B x
第4章动能和势能习题解答 34 第4章动能和势能习题解答 v'=v4(1-e)/2=(1-e)W2gh/2…() 求此框架向下移动的最大距离，弹簧质量不计，空气阻力不计。 可求得， 解：框架静止时，弹簧伸长△=0.1m,由平衡条 yB'=vA1+e)/2=(1+e)W2gh/2…(2) 件mg=k△/，求得：k=mg△=0.2×9.8/0.1=19.6N/m 铅块落下h=30cm后的速度vo,可由能量守恒方程 设A球弹回后的最大高度为h,根据能量守恒，子wa2=mgh 求出：mgh=mm2 h==0- 2g4 %=V2gh=V2×9.8×0.3=2.42m/s 若为完全弹性碰撞，则c=1,由(1)，(2)可知：v=0,=以， 设铅快与框架碰后的共同速度为ν，由动量守恒： 即，碰后A球静止，B球以A球原来的速度向右运动：B球达到h 高度返回后，又把能量、动量、速度全部传给A球，周而复始，这 %=2m,v=vo=2.42/2=1.21m/s 种传递永远进行下去。 设框架下落的最大距离为x,由机械能守恒： (m+m)加2+2kA/2=k(△/+x)2-2mg,进行整理并代入数 4.6.4质量为2g的子弹以500m/s的速度射向质量为1kg,用1m 据，可得x的一元二次方程：x2-0.2x-0.03=0,x=0.3m 长的绳子悬挂者的摆，子弹穿过摆后仍然有100ms的速度，问摆沿 铅直方向升起若干？ 解：用vo,V分别表示子弹穿过摆前后的速度，V表示子弹穿过 4.6.6质量为m=0.790kg和m2=0.800kg的物体以劲度系数为 摆后摆的速度，设摆升起的最大高度为h 1ON/m的轻弹簧相连，置于光滑水平桌面上，最初弹簧自由伸张。 由动量守恒：m。=mv+MW,可得 质量为0.01kg的子弹以速率%=100m/s沿水平方向射于m1内，问弹 簧最多压缩了多少？ V=器(6-)=0.002(500-100)=0.8 解：整个过程可分为两个阶段 .1 处理。第一阶段：子弹射入m1内， m2 m 发生完全非弹性碰撞，动量守恒， mo 由能量守恒：号MW2=Mgh 设子弹质量为mo,子弹与m1获得的共同速度为v,则有 h=V2/2g=0.821(2×9.8)=0.033m movo=(m+mo)v ..v=vomo/(m+mo)(1) 第二阶段：子弹与m1以共同速度v开始压缩弹簧至m,与mz 有相同的速度V,压缩结束：在此过程中，由mo,m1,m2组成的质点系， 4.6.5一质量为200g的框架，用一弹簧悬挂起来，使弹簧伸长 其动量、能量均守恒，设弹簧最大压缩量为【.由动量守恒，有： 10cm,今有一质量为200g的铅快在高30cm处从静止开始落进框架
第4章动能和势能习题解答 34 第4 章动能和势能习题解答 可求得， = + = + = − = − ' (1 )/ 2 (1 ) 2 / 2 (2) ' (1 )/ 2 (1 ) 2 / 2 (1) 1 1 v v e e gh v v e e gh B A A A 设 A 球弹回后的最大高度为 h，根据能量守恒, 2 1 mvA' 2=mgh 1 2 2 (1 ) 4 1 2 ' e h g v h A = = − 若为完全弹性碰撞，则 e=1,由（1）,（2）可知：vA'=0, vB'=vA , 即，碰后 A 球静止，B 球以 A 球原来的速度向右运动；B 球达到 h1 高度返回后，又把能量、动量、速度全部传给 A 球，周而复始，这 种传递永远进行下去。 4.6.4 质量为 2g 的子弹以 500m/s 的速度射向质量为 1kg，用 1m 长的绳子悬挂着的摆，子弹穿过摆后仍然有 100m/s 的速度，问摆沿 铅直方向升起若干？ 解：用 v0,v 分别表示子弹穿过摆前后的速度，V 表示子弹穿过 摆后摆的速度，设摆升起的最大高度为 h 由动量守恒： mv0 = mv + MV ，可得 V = (v0 − v) = 0.002(500 −100) = 0.8 M m 由能量守恒： MV = Mgh 2 2 1 h V / 2g 0.8 /(2 9.8) 0.033m 2 2 = = = 4.6.5 一质量为 200g 的框架，用一弹簧悬挂起来，使弹簧伸长 10cm，今有一质量为 200g 的铅快在高 30cm 处从静止开始落进框架， 求此框架向下移动的最大距离，弹簧质量不计，空气阻力不计。 解：框架静止时，弹簧伸长Δl=0.1m，由平衡条 件 mg=kΔl,求得：k=mg/Δl=0.2×9.8/0.1=19.6N/m 铅块落下 h=30cm 后的速度 v0，可由能量守恒方程 求出： 2 2 0 mgh = 1 mv v 2gh 2 9.8 0.3 2.42m/s 0 = = = 设铅快与框架碰后的共同速度为 v，由动量守恒： mv 2mv, v v 2.42/ 2 1.21m/s 2 0 1 0 = = = = 设框架下落的最大距离为 x，由机械能守恒： (m m)v k l k( l x) 2mgx 2 2 2 1 2 2 1 2 1 + + = + − ，进行整理并代入数 据，可得 x 的一元二次方程： x 0.2x 0.03 0, x 0.3m 2 − − = = 4.6.6 质量为 m1=0.790kg 和 m2=0.800kg 的物体以劲度系数为 10N/m 的轻弹簧相连，置于光滑水平桌面上，最初弹簧自由伸张。 质量为 0.01kg 的子弹以速率 v0=100m/s 沿水平方向射于 m1 内，问弹 簧最多压缩了多少？ 解：整个过程可分为两个阶段 v0 处理。第一阶段：子弹射入 m1 内， 发生完全非弹性碰撞，动量守恒， 设子弹质量为 m0，子弹与 m1 获得的共同速度为 v,则有 m0v0 = (m1+m0) v ∴v = v0m0 / (m1+m0) （1） 第二阶段：子弹与 m1 以共同速度 v 开始压缩弹簧至 m1 与 m2 有相同的速度 V,压缩结束；在此过程中，由 m0,m1,m2 组成的质点系， 其动量、能量均守恒，设弹簧最大压缩量为 l.由动量守恒，有： m0 m2 m1 m v0 v V M l h m m
第4章动能和势能习题解答 35 第4章动能和势能习题解答 (m1+m。)P=(m1+m2+mo)V 撞的条件。 解：设碰前mA的速度 ..V=_ m+m。一y=60 (2) 为o,碰后mA、mB的速度分 m1+m2+m0 m +m2 mo 别为以、阳，方向如图示。 0 由能量守恒：(m,+m。)加2=(m,+m2+m,)V2+k12(3) 由能量守恒，有 magh mA vo212,vo=(2gh)n (1) A VB 将1)、(2)代入(3)中，可求得： 根据完全弹性碰撞基本公式，有 ≈0.25m maYo =-mav+mgv8 (2) (1),(2),3)联立求解，得 m mo m+m2 +mo V4+V8=Vo (3) 4.6.7一10g的子弹沿水平方向以速率110m/s击中并嵌入质量 va=(mg-ma)2gh/(ma+mg)va =2ma2gh/(ma+mg) 为100g的小鸟体内，小鸟原来站在离地面4.9m高的树枝上，求小 发生两次碰撞的条件是：VA>阳，即m-mA>2mAmB>3mA 鸟落地处与树枝的水平距离。 m2 解：设鸟被子弹击中后与子弹共 4.6.9一钢球静止地放在铁箱的光滑地面上，如图示。CD长1， 有的速度为V,由动量守恒： 铁箱与地面间无摩擦，铁箱被加速至%时开始做匀速直线运动，后 来，钢球与箱壁发生完全弹性碰撞，问碰后再经过多长时间钢球与 mvo (m m2)v BD壁相碰？ v==8=10m/s 解：以地为参考系，设v10,v1为钢球 0.0+01 与AC端碰撞前后的速度，v20,V2为铁箱 由平抛运动公式h=÷g,可求得子弹落地时间： 碰撞前后的速度，据题意，v1o=0,V20=vo. 对于完全弹性碰撞，碰前接近速度等 t=√2h/g=√2×4.9/9.8=l1s,所以，水平距离S=vt=10×1=10m 于碰后分离速度：Vo=V1-2,分离速度V1-V2也就是碰后球相对箱的速 度V',所以钢球由AC端运动到BD端所需时间为： △1=1/y'=1/y1-v2)=1/vo 4.6.8在一铅直面内有一光滑轨道，左边是一个上升的曲线，右 边是足够长的水平直线，两者平滑连接，现有A、B两个质点，B 在水平轨道上静止，A在曲线部分高h处由静止滑下，与B发生完 4.6.10两车厢质量均为M,左边车厢与其地板上质量为M的货箱 全弹性碰撞。碰后A仍可返回上升到曲线轨道某处，并再度滑下， 共同向右以v0运动，另一车厢以2vo从相反方向向左运动并与左车 已知A、B两质点的质量分别为m1和2，球A、B至少发生两次碰 厢碰撞挂钩，货箱在地板上滑行的最大距离为1，求：(1)货箱与车厢
第4章动能和势能习题解答 35 第4 章动能和势能习题解答 (2) ( ) ( ) 1 2 0 0 0 1 2 0 1 0 1 0 1 2 0 m m m m v v m m m m m V m m v m m m V + + = + + + = + = + + 由能量守恒: ( ) ( ) (3) 2 2 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 0 1 m + m v = m + m + m V + k l 将⑴、⑵代入⑶中，可求得： m k m m m m m l m v ) 0.25 1 1 ( 1 1 0 1 2 0 0 0 + + − + = 4.6.7 一 10g 的子弹沿水平方向以速率 110m/s 击中并嵌入质量 为 100g 的小鸟体内，小鸟原来站在离地面 4.9m 高的树枝上，求小 鸟落地处与树枝的水平距离。 解：设鸟被子弹击中后与子弹共 有的速度为 v，由动量守恒： m v (m m )v 1 0 = 1 + 2 v m s m m m v 10 / 0.01 0.1 0.01 110 1 2 1 0 = = = + + 由平抛运动公式 2 2 1 h = gt ,可求得子弹落地时间： t = 2h/ g = 24.9/9.8 =1s ，所以，水平距离 S=vt=10×1=10m 4.6.8 在一铅直面内有一光滑轨道，左边是一个上升的曲线，右 边是足够长的水平直线，两者平滑连接，现有 A、B 两个质点，B 在水平轨道上静止，A 在曲线部分高 h 处由静止滑下，与 B 发生完 全弹性碰撞。碰后 A 仍可返回上升到曲线轨道某处，并再度滑下， 已知 A、B 两质点的质量分别为 m1 和 m2，球 A、B 至少发生两次碰 撞的条件。 解：设碰前 mA 的速度 为 v0,碰后 mA、mB的速度分 别为 vA、vB，方向如图示。 由能量守恒，有 mAgh = mA v0 2 /2 , v0 = (2gh) 1/2 (1) 根据完全弹性碰撞基本公式，有 + = = − + (3) (2) 0 0 v v v m v m v m v A B A A A B B ⑴,⑵,⑶联立求解，得 ( ) 2 ( ) 2 2 ( ) A B A A B B mA gh mA mB v = m − m gh m + m v = + 发生两次碰撞的条件是：vA>vB , 即 mB-mA>2mA mB>3mA 4.6.9 一钢球静止地放在铁箱的光滑地面上，如图示。CD 长 l， 铁箱与地面间无摩擦，铁箱被加速至 v0 时开始做匀速直线运动，后 来，钢球与箱壁发生完全弹性碰撞，问碰后再经过多长时间钢球与 BD 壁相碰？ 解：以地为参考系，设 v10,v1 为钢球 与 AC 端碰撞前后的速度，v20,v2 为铁箱 碰撞前后的速度，据题意，v10=0,v20=v0. 对于完全弹性碰撞，碰前接近速度等 于碰后分离速度：v0=v1-v2，分离速度 v1-v2 也就是碰后球相对箱的速 度 v'，所以钢球由 AC 端运动到 BD 端所需时间为： 1 2 0 t = l / v' = l /(v − v ) = l / v 4.6.10 两车厢质量均为 M,左边车厢与其地板上质量为 M 的货箱 共同向右以 v0 运动，另一车厢以 2v0 从相反方向向左运动并与左车 厢碰撞挂钩，货箱在地板上滑行的最大距离为 l，求：⑴货箱与车厢 h A B vA vB v0 v0 m1 m2 h S v v0 l A B C D
第4章动能和势能习题解答 36 第4章动能和势能习题解答 地板间的摩擦系数：（②）车厢在挂钩后走过的距离，不计车地间摩擦。 解：整个过程可分为两个阶 0=artgh=acg(-号)=-30 Vo 段：第一阶段是两个车对撞获得 共同速度v(向左)，由动量守恒： ②v=√，2+y,-u12y2+(W5u16=9u M(2vo)-Mvo=2Mv,v=Vo/2 第二阶段是两节车厢以速度ⅴ在摩擦力作用下与货箱发生相对 (3)E。=(2M)p2=}M2=子×Mhu2=子EH 移动，移动距离是1，最后都静止下来。在此过程中，一对滑动摩擦 力做功之和为：A=,μmgl,对质点系应用动能定理： 4.7.2桑塔纳车的总质量m1=113×10kg,向北行驶，切诺基车的 -4mg=0-h。2-(2M03)2,4=。24g0 总质量m2=152×10kg,向东行驶。两车相撞后连成一体，沿东偏北0 =30°滑出d=16m而停止。路面摩擦系数μ=0.8。该地段规定车速不 设货箱相对车的速度为v,显然，=vo+v=2v+v=3v,两边同乘 得超过80km/h.问哪辆车违背交通规则？因碰撞损失多少动能？ 摩擦力作用时间△t,即为对应的距离，I=3d,d=仍 解：设碰撞前，桑塔纳和切诺基的 北 速度分别为，2.在发生完全非弹性碰撞 21 4.7.1质量为M的氘核以速率u与静止的质量为2M的a粒子 过程中，可认为动量守恒，有 m2 发生完全弹性碰撞。氘核以与原方向成90°角散射。(1)求α粒子的运 动方向，(2)用u表示α粒子的末速度，(3)百分之几的能量由氘核传 m1+m22=(m1+m2)F 给a粒子？ 解：以氘核碰前速度u和碰后速度u的方向建立图示坐标0-xy; 向北投影：m1y1=(m,+m2)psin30°(1) 设a粒子碰后速度为下=vi+y,j 向东投影：m2y2=(m,+m2)vc0s30°(2) 由动量守恒：Mi=M+2M下，投影式为 碰后两车连在一起，以速度v滑行d后停止，应用动能定理， -4(m1+m2)gd=0-号(m1+m2)m2(3) x:Mu=2Mv .s=u/2 (1) y:0=Mm'+2M∴.=-i/2(2) 由(3)可求得v=√2μgd=57km/h,分别代入(、(2)中，可求得， 由能量守恒，M2=支Mh2+×2M(y,2+y,2)(3) 片=vsn30°=66.8km/hV2=vc0s30°=86km/h 将1)、(2)代入3)中，可求得=u(④ ,2>80kmh,∴.切诺基汽车违反交通规则。 (①)将(4)代入(2)中，求得y,=-,v与x轴的夹角， 损失动能△E=号m1n2+士22-支(m+)加2
第4章动能和势能习题解答 36 第4 章动能和势能习题解答 地板间的摩擦系数；⑵车厢在挂钩后走过的距离，不计车地间摩擦。 解：整个过程可分为两个阶 段：第一阶段是两个车对撞获得 共同速度 v（向左），由动量守恒： M(2v0)-Mv0=2Mv, v=v0/2 第二阶段是两节车厢以速度 v 在摩擦力作用下与货箱发生相对 移动，移动距离是 l，最后都静止下来。在此过程中，一对滑动摩擦 力做功之和为：Af=-μmgl，对质点系应用动能定理： 0 (2 )( ) , /(4 ) 2 0 2 2 0 1 2 1 2 2 0 1 − mgl = − Mv − M v = v gl 设货箱相对车的速度为 v'，显然，v'=v0+v=2v+v=3v，两边同乘 摩擦力作用时间Δt，即为对应的距离，l=3d, d=l/3 4.7.1 质量为 M 的氘核以速率 u 与静止的质量为 2M 的α粒子 发生完全弹性碰撞。氘核以与原方向成 90º角散射。⑴求α粒子的运 动方向，⑵用 u 表示α粒子的末速度，⑶百分之几的能量由氘核传 给α粒子？ 解：以氘核碰前速度 u 和碰后速度 u'的方向建立图示坐标 0-xy; 设α粒子碰后速度为 v v i v j x y = ˆ + ˆ 由动量守恒： Mu M u M v = '+2 ,投影式为 u’ x：M u = 2M vx ∴ vx = u /2 (1) u x y：0 = Mu’+2M vy ∴vy= - u’/2 (2) θ v 由能量守恒, ' 2 ( ) (3) 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 x y Mu = Mu + M v + v 将⑴、⑵代入⑶中，可求得 u u 3 3 ' = ⑷ ⑴ 将（4）代入（2）中，求得 vy u 6 3 = − , v 与 x 轴的夹角， θ= arctg vy /vx = arctg ( ) 3 3 − = -30º ⑵ v vx vy u u u 3 2 2 2 2 3 = + = ( / 2) + ( 3 / 6) = ⑶ Mu Mu EH E M v 3 2 2 2 1 3 2 2 3 2 1 2 1 = (2 ) = = = 4.7.2 桑塔纳车的总质量 m1=113×10kg,向北行驶，切诺基车的 总质量 m2=152×10kg,向东行驶。两车相撞后连成一体，沿东偏北θ =30º滑出 d=16m 而停止。路面摩擦系数μ=0.8。该地段规定车速不 得超过 80km/h.问哪辆车违背交通规则？因碰撞损失多少动能？ 解：设碰撞前，桑塔纳和切诺基的 北 速度分别为 v1,v2.在发生完全非弹性碰撞 v2 v 过程中，可认为动量守恒，有 θ 东 m v m v m m v ( ) 1 1 + 2 2 = 1 + 2 向北投影： ( ) sin 30 (1) 1 1 1 2 m v = m + m v v1 向东投影： ( ) cos30 (2) 2 2 1 2 m v = m + m v 碰后两车连在一起，以速度 v 滑行 d 后停止，应用动能定理， ( ) 0 ( ) (3) 2 2 1 2 1 1 2 − m + m gd = − m + m v 由（3）可求得 v = 2 gd = 57km/ h ,分别代入⑴、⑵中，可求得， v v k m h v v k m h m m m m m m sin 30 66.8 / cos30 86 / 2 1 2 1 1 2 1 = = 2 = = + + ∵v2>80km/h ∴切诺基汽车违反交通规则。 损失动能ΔEk= 2 1 m1v1 2 + 2 1 m2v2 2 – 2 1 (m1+m2)v 2 y m1 m2 M v0 2v0 M M
第4章动能和势能习题解答 37 第4章动能和势能习题解答 2gl 1 21 4.7.3球与台阶相碰的恢复系数为©，每级台阶的宽度和高度相 同，均等于1，该球在台阶上弹跳，每次均弹起同样高度且在水平部 1=e-) 分的同一位置，即AB=CD,求球的水平速度和每次弹起的高度，球 代入⑥中即可求得球所能达到的最大高度： 与台阶间无摩擦。 解：球每次弹起的速度V1都相同，每 y=-e 2gl 211g2 21 s、e 1-e2 次落地的速度V2也相同，由能量守恒： 支mm2+mgl=,2 2-y2=2g1,22+2,2-x2-y,2=2gl① 2 由牛顿碰撞公式：-，=v2,② 在水平方向动量守恒：.=mY2x,V1x=V2x③ 由①②③可求得：，=-e 2gl 2gl 1-e2 平抛公式：y,=,+g④，1=t⑤，y=y,1+立g2⑥ 令y=Vy,由④可求得球从弹起到落地的时间： t=- 2gl 1+e 2l10+e) W1-e2 Vg(1-e) 代入⑤中即可求得球的水平速度： 211+e) 2l1+e),g1-e1 gl(1-e) g1-e) g(1-e) 2l1+e)V21+e) 令y,=0,由④可求得球达最大高度所需时间：
第4章动能和势能习题解答 37 第4 章动能和势能习题解答 4.7.3 球与台阶相碰的恢复系数为 e，每级台阶的宽度和高度相 同，均等于 l，该球在台阶上弹跳，每次均弹起同样高度且在水平部 分的同一位置，即 AB=CD，求球的水平速度和每次弹起的高度，球 与台阶间无摩擦。 解：球每次弹起的速度 v1 都相同，每 次落地的速度 v2 也相同，由能量守恒： 2 2 2 1 2 2 1 1 mv + mgl = mv v v 2gl, v x v y v x v y 2gl ① 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 − = + − − = 由牛顿碰撞公式： − v1y = ev2 y ② 在水平方向动量守恒： mv1x = mv2x , v1x = v2x ③ 由①②③可求得： 1 2 2 2 1 2 , 1 2 e gl v e gl v e y y − = − = − 平抛公式： vy = v1y + gt ④，l = v1x t ⑤, y = v1y t + 1 2 gt 2 ⑥ 令 vy=v2y，由④可求得球从弹起到落地的时间： (1 ) 1 2 (1 ) 1 2 2 2 1 g e l e g e e gl g v v t y y − + = + − = − = 代入⑤中即可求得球的水平速度： 2(1 ) (1 ) 2 (1 ) (1 ) (1 ) 2 (1 ) (1 ) 2 (1 ) / 1 e gl e l e g e l g e l e g e l e l t l v x + − = + − − + = − + = = 令 vy=0，由④可求得球达最大高度所需时间： (1 ) 1 2 1 2 2 2 1 g e l e e g gl e g v t y − = − = − = 代入⑥中即可求得球所能达到的最大高度： l e e g e g l ge g e l e e gl y e 2 2 2 2 2 2 (1 ) 1 2 2 1 (1 ) 2 1 2 − = − + − − = − B A D C v1 v1 v2 x y
