西安电子科技大学：《大学物理》课程习题解答（力学）第1章 物理学力学数学——微积分初步习题解答

第1章物理学力学数学微积分初步习题解答 第1章物理学力学数学微积分初步习题解答 1.求下列函数的导数 (3) ∫层+2e- (4) [(sin x-cosx)dx (1)y=3x2-4x+10 (2)y=1/x +7sin x+8cosx-100 (5) ∫品 (6) sin(ax +b)dx (3)y=(ax+b)/a+bx)(4)y=sin+x2 ()∫e-2d (8) ∫盒 (⑤)y=en ao「xe*dx (6)y=e+100x (9)∫sn2 x cosxd 解：(1)y=6x-4 (1I)∫cos2xd 02)∫坚本 (2)y=-1/(2x/x)+7cosx-8sin x 解： (3)y=(a2-b2)a+bx)2 ()x3-3x+1)d=∫x'k-3x+∫k=x-x2+x+c (④)y=c0s1+x22.31+x2)2.2x ②∫2+x2)d=∫2*+∫r=益+x3+c =xcosv+x/+x 3∫2+2e-左)d=3+2ed-∫x (5)y'=esimx cosx =3hx+2e+2+c (6)y'=e(-1)+100=100-e (4)∫sinx-cosx)k=∫sin xdx-∫cosxdx=-cosx-sinx+c ⑤∫品=∫导=∫-∫吾=x-arctgx+c 2.已知某地段地形的海拔高度h因水平坐标x而变， h=100-0.0001x1-0005r),度量x和h的单位为米。问何处的高度将取 (6)[sin(ax+b)d=iSsird ax+b)d(ax+b)=-cos(ax+b)+c 极大值和极小值，在这些地方的高度为多少？ (DSedx=-ed(-2x)=-te+c 解：先求出h对x的一阶导数和二阶导数 8∫盒=∫c+b)-2dc+b)=Vm+b+c =102-10x2+5×10-7x)=2x10x3-2×10x (9∫sim2 xcosxdx=∫sin2 xd(sinx)=sim3x+c =&(2×10-x3-2×10x)=6×10x2-2×10 aSxedx=-∫ed-x)=-e+c 令d/体=0，解得在x=0,10-10处可能有极值。，dfhW体-0.x=10是极小值点， (11)fcosxdx=(1+cos2x)dw=x+sin 2x+c h(10)=99.0005米：显然，x=10亦是极小值点，h10=h10. (12)j严dk=∫n xd(n x)=hx)2+c 3.求下列不定积分 ()∫(x3-3x+1) (2)「(2*+x2)d

第1章物理学力学数学 微积分初步习题解答 1 第 1章物理学力学数学 微积分初步习题解答 1．求下列函数的导数 ⑴ 3 4 10 2 y = x − x + ⑵ y =1/ x + 7sin x + 8cos x −100 ⑶ y = (ax + b)/(a + bx) ⑷ 2 y = sin 1+ x ⑸ x y e sin = ⑹ y e x x = + 100 − x x x y e e y e x x x x y x x x y a b a bx y x x x x y x − − − = − + = − = = + + = + + = − + = − + − = − ' ( 1) 100 100 ' cos cos 1 / 1 ' cos(1 ) · (1 ) ·2 ' ( )/( ) ' 1/(2 ) 7 cos 8sin ' 6 4 sin 2 2 2 1/ 2 2 2 1/ 2 1 2 2 2 ⑹ ⑸ ⑷ ⑶ ⑵ 解：⑴ 2．已知某地段地形的海拔高度 h 因水平坐标 x 而变， h=100-0.0001x2 (1-0.005x2 )，度量 x 和 h 的单位为米。问何处的高度将取 极大值和极小值，在这些地方的高度为多少？ 解：先求出h(x)对 x的一阶导数和二阶导数： 6 3 4 6 2 4 2 4 2 7 4 6 3 4 (2 10 2 10 ) 6 10 2 10 (10 10 5 10 ) 2 10 2 10 2 2 − − − − − − − − =  −  =  −  = − +  =  −  x x x x x x x dx d dx d h dx d dx dh 令 dh/dx=0，解得在x=0,10,-10处可能有极值。∵d 2 h/dx2 |x=00, ∴x=10 是极小值点， h(10)=99.0005 米；显然，x=-10亦是极小值点，h(-10)=h(10). 3．求下列不定积分   x − x + dx + x dx x ( 3 1) (2 ) ⑴ 3 ⑵ 2           − + − + + + − − xdx dx x xdx x e dx e dx dx ax b dx e dx x x dx x x x ax b x dx x x x x x x 2 l n 2 2 1 3 1 (11) cos (12) sin cos sin( ) ( 2 ) (sin cos ) 2 2 2 ⑼ ⑽ ⑺ ⑻ ⑸ ⑹ ⑶ ⑷ 解：                                 = = + = + = + + = − − = − + = = + = + + = + + = − − = − + + = + + = − + + = = − = − + − = − = − − + = + + + + − = + − + = + = + + − + = − + = − + + − − − − + − − − + + + − + − dx x d x x c xdx x dx x x c x e dx e d x e c x xdx x d x x c ax b d ax b ax b c e dx e d x e c ax b dx ax b d ax b ax b c dx dx dx x arctgx c x x dx xdx xdx x x c x e c e dx e dx x dx x dx dx x dx x c x x dx x dx xdx dx x x x c x x x x x a x b a a d x x x x a a x d x x x x x x x x x d x x x x x x x 2 2 l n 1 4 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 3 3 2 2 1 1 1/ 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 3 / 2 3 3 1 l n 2 2 x 2 2 2 2 4 3 4 3 3 1 (12) ln (ln ) (ln ) (11) cos (1 cos 2 ) sin 2 ( ) sin cos sin (sin ) sin ( ) ( ) ( 2 ) sin( ) sin( ) ( ) cos( ) (sin cos ) sin cos cos sin 3ln 2 ( 2 ) 3 2 (2 ) 2 ( 3 1) 3 2 2 2 2 2 2 2 2 ⑽ ⑼ ⑻ ⑺ ⑹ ⑸ ⑷ ⑶ ⑵ ⑴

第1章物理学力学数学微积分初步习题解答 2 第1章物理学力学数学微积分初步习题解答 4.求下列定积分 /2 12 je- 解：snxk=-cosx=1 ④了 /4 )je+h⑥cos2xdmj⑧)3x+sn'xh sin xdx=-1 [sin xdx=0 解：jF-t=-=x-x=9- 6.计算由)=3x和=2所围成的平面图形的面积。 (2je2-l)'e=je2-1)'de*-1)=e-l36=e-1) 解：如图所示，令3x=x,得两 条曲线交点的x坐标：3=0,3.面积 1/2 @合=cm:-号60 A=S3xdx-Jxidx @j学0+血d1+h)=0+h5=15 =(得x2-x)6=4.5 (5)(e*+)dx=(e*+Inx)li=e2-e+In2 7.求曲线)=x+2=2x,x=0和x=2诸线所包围的面积。 解：面积A Jcos2xdx=jcos2xd(2x)-s 2x a/6 -6 =∫x2+2)dd-「2xd (7a=aretgx6=π/4=45° =(Gx3+2x-x2)6 8)3x+sn2x)h=3了xd+j0-cos2x)=π2+片π =昌 02x 8.一物体沿直线运动的速度为v=0+at%和a为常量，求物体在1 5.计算∫snxk、∫sin xdx以及∫sin xdx,并在 至12时间内的位移。 -x/2 -x/2 fx)=snx的函数图形上用面积表示这些定积分。 解：位移S=「(W。+at)dh =(o1+a2)收=o(62-41)+a22-12)

第1章物理学力学数学 微积分初步习题解答 2 第 1章物理学力学数学 微积分初步习题解答 4. 求下列定积分          4 2 1 8 3 / 2 0 / 2 0 2 1 / 2 0 2 1 0 1 0 1 1 4 3 2 1 / 4 / 6 / 4 2 / 6 1 2 1 / 4 / 6 2 2 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 l n 3 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1 1 0 5 5 1 1 0 5 5 4 1 1 0 4 3 5 3 2 4 2 1 2 3 1 2 2 1 2 1 1/ 2 2 1 / 2 0 2 1 0 1 1 / 4 / 6 2 1 1 1 1 l n 1/ 2 1/ 2 1 1 0 4 2 1 (3 sin ) 3 (1 cos 2 ) | / 4 45 cos 2 cos 2 (2 ) sin 2 | ( ) ( ln ) | ln 2 (1 ln ) (1 ln ) (1 ln ) | 1.5 arcsin | 60 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) | ( 1) 1) | | ( ) cos 2 (3 sin ) 1) ( 1) 2 2 2 3 2 2 + = + − = + = = =  = = = − + = + = − + = + + = + = = = =  − = − − = − = − − = − = − = − + + − −                        + + − − − + + − − x x dx xdx x dx dx arctgx xdx x d x x e dx e x e e dx x d x x x e e dx e d e e e x dx x dx dx x x e dx xdx dx x x dx x dx e e dx dx x x x x e e e x x x d x x x x x x x x x e x x x x x d x π π π π π π π ⑻ ⑺ ⑹ ⑸ ⑷ ⑶ ⑵ 解：⑴（ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑴ （ ⑵ ⑶ ⑷ 的函数图形上用面积表示这些定积分。 计算 、 以及 并在 f x x xdx xdx xdx ( ) sin 5. sin sin sin , / 2 / 2 0 / 2 / 2 0 =    − −     解： sin cos | 1 2 0 / 2 0 = − =    xdx x   − − = − = / 2 / 2 0 / 2 sin 1 sin 0    xdx xdx 6．计算由y=3x和 y=x2所围成的平面图形的面积。 解：如图所示，令3x=x2 ,得两 条曲线交点的x 坐标：x=0,3. 面积 ( ) | 4.5 3 3 0 3 3 2 1 2 3 3 0 3 0 2 = − = = −   x x A xdx x dx 7．求曲线y=x2+2,y=2x,x=0和x=2 诸线所包围的面积。 解：面积A 3 8 2 0 3 2 3 1 2 0 2 0 2 ( 2 ) | ( 2) 2 = = + − = + −   x x x x dx xdx 8．一物体沿直线运动的速度为v=v0+at,v0和a为常量，求物体在t1 至 t2 时间内的位移。 解：位移S  = + 2 1 ( ) 0 t t v at dt ( ) | ( ) ( ) 2 1 2 2 2 1 0 2 1 2 2 1 0 2 1 v t at v t t a t t t = + t = − + − y -π/2 + - 0 π/2 x y 0 3 x y A 0 2 x v v0 t t1 t2

第1章物理学力学数学矢量习题解答 第1章物理学力学数学矢量习题解答 1.2.3.4.5.6.7.略 0.5×4.5=0.5。co(A,B)=2≈0.0308，夹角(A,B)≈88.24 8.二矢量如图所示A=4,B一5，α=25°，B=36.8,直接根据矢量标积 定义和正交分解法求A·B。 11.已知A+B+C=0,求证A×B=B×C=C×A 解：直接用矢量标积定义： 证明：用已知等式分别叉乘A,B,C,有A×A+B×A+C×A=0 A.B=ABcos(90-a+B)=-4 用正交分解法：，A=4c0sa=3.6 AxB+B×B+CxB=0,A×C+B×C+C×C=0.其中， Ay=4sin a=1.7,Bx=5cos(90+B)=-5sin B=-3,By=5sin(90+B=5cos B=4 A×A,B×B,C×C均为零，.A×B=B×C=C×A .AB=AB+A,B,=3.6×(-3)+1.7×4=-4 12.计算以P(3,0,8)、Q(5,10,7)R(0,2-1)为顶点的三角形的面积。 9.已知A=-i+j,B=i-2j+2K,求A与B的夹角。 解：据矢积定义，△PRQ的面积 A=|PR×POLPR=OR-OP= y1R(0,2,1) 解：由标积定义AB=ABcos(A,B)∴cos(A,B)=,而 Q5,10,7) A=-12+12=2,B=2+(-2)2+22=3,A.B=-3 -3i+2j-9k,P0=00-0P= P3.0.8) .co(4,B)=是=-号，两失量夹角(A,=135° 2i+10j-R 10.已知A+B=3i+5j-k,A-B=4i-4j+k,求A与B PR×PQ= -32 -9 =88i-21j-34R 的夹角。 210-1 解：将已知两式相加，可求得A=3.5i+0.5j:再将已知两式相 |PR×P0上V882+212+342=96.6,∴△PRQ面积4==48.3 减，可求得B=-0.5i+4.5j-k..A=V3.52+0.52≈3.5， B=V-0.5)2+4.52+(-1)2≈4.64，A.B=3.5×(-0.5)+ 13. 化简下面储式 解：（①）(A+B-C)×C+(C+A+B)×A+(A-B+C)×B

第1章物理学力学数学 矢量习题解答 3 第 1章物理学力学数学 矢量习题解答 1．2．3．4．5．6．7．略 8．二矢量如图所示 A=4,B=5,α=25º,β=36.87º,直接根据矢量标积 定义和正交分解法求 A B    。 解：直接用矢量标积定义： A B = ABcos(90 − + ) = −4   用正交分解法：∵Ax=4cosα=3.6 Ay=4sinα=1.7, Bx=5cos(90º+β)= - 5sinβ= -3,By=5sin(90º+β)=5cosβ=4 ∴ A B = AxBx + AyBy = 3.6(−3) +1.7 4 = −4   9．已知 ˆ ˆ , ˆ 2 ˆ 2 ˆ , 求 与B的夹角。     A = −i + j B = i − j + k A 解：由标积定义 AB A B A B AB A B A B           = cos( , )cos( , ) = ，而  = = − =  = − + = = + − + =  = − − cos( , ) , , ) 135 ( 1) 1 2, 1 ( 2) 2 3, 3 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 A B A B A B A B       两矢量夹角（ 10．已 A B i j k A B i j k A B       知 + = 3 ˆ + 5 ˆ − ˆ ， − = 4 ˆ − 4 ˆ + ˆ ,求 与 的夹角。 解：将已知两式相加，可求得 A i j 5 ˆ 0. 5 ˆ = 3. +  ；再将已知两式相 减，可求得 . 3.5 0.5 3.5 ˆ ˆ 0.5 ˆ 4.5 2 2 B = − i + j − k  A = +   ， = (−0.5) + 4.5 + (−1)  4.64,  = 3.5 (−0.5) + 2 2 2 B A B   0.5×4.5=0.5。 =     cos(A,B) 0.0308, (A,B) 88.24 AB A B       夹角 11．已知 A B C 0, A B B C C A.          + + = 求证  =  =  证明：用已知等式分别叉乘 A B C A A + B A + C  A =          , , ,有 0 A B + B B + C  B = 0, AC + BC + C C = 0.             其中， A A B B C C A B B C C A              ,  ,  均为零，  =  =  12．计算以P(3,0,8)、Q(5,10,7)、R(0,2,-1)为顶点的三角形的面积。 解：据矢积定义，△PRQ的面积 A = 2 | PR PQ |, PR = OR − OP 1 = − i + j − k, PQ = OQ −OP = ˆ 3 ˆ 2 ˆ 9 i j k ˆ ˆ 2 ˆ +10 − . i j k i j k PR PQ ˆ 88ˆ 21ˆ 34 2 10 1 3 2 9 ˆ ˆ ˆ = − − −  = − − | | 88 21 34 96.6, 48.3 2 2 2 2 9 6.6 PR PQ = + + = PRQ面积A = = 13． 化简下面诸式 解：⑴ A B C C C A B A A B C B             ( + − ) + ( + + ) + ( − + ) y B β A α 0 x y R(0,2,-1) Q(5,10,7) o x z P(3,0,8)

第1章物理学力学数学矢量习题解答 第1章物理学力学数学矢量习题解答 =A×C+B×C+C×A+B×A+A×B+C×B=0 16.已知a=1+2r2)i+ej-,求号， 2②ix(G+R)-jx(+府+Rx+i+R) 解：要=[1+2r2)i+ej-府=4i-e方 =k-j+k-i+j-i=2k-2i =孟(4i-e')=4i+ej (3)(2A+B)×(C-A)+(B+C)×(A+B) 17.已知A=3ei-(4r3-0j+k,B=412i+30, =2Ax(C-A+B×(C-A+B×(A+B)+C×(A+B) =2A×C+B×C-B×A+B×A+C×A+C×B 求(A·B) =A×C 解：AB=AB+A,B,+AB 14.计算下面诸式 =3e4r2-3t(413-t) 解：()i(j×+k(×》+(K×i =12r2e--12r4+3r2 =i.i+k.k+j.j=3 号(4.B)=4(12r2e-12r+32) (2)A(B×A)=B.(A×)=0 =12(21-t2)e-48t3+61 15.求证：(A+B)-[(A+C)×B)]=-A·(B×C) 证明：(A+B)[(A+C)×B】 =A(A×B+C×B)+B-(A×B+C×B) =A(A×B)+A(C×B)+B(A×B)+B.(C×B) =B.(A×A+A(C×B)+A(B×B)+C.(B×) =A(C×B)=-A(B×C)

第1章物理学力学数学 矢量习题解答 4 第 1章物理学力学数学 矢量习题解答 = AC + BC + C  A + B A + A B + C  B = 0             ⑵ ) ˆ ˆ ˆ ( ˆ ) ˆ ˆ ( ˆ ) ˆ ˆ ( i ˆ  j + k − j  i + k + k  i + j + k k j k i j i k i = ˆ − ˆ + ˆ − ˆ + ˆ − ˆ = 2 ˆ − 2 ˆ ⑶ (2A B) (C A) (B C) (A B)         +  − + +  + A C A C B C B A B A C A C B A C A B C A B A B C A B                           =  =  +  −  +  +  +  =  − +  − +  + +  + 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 14．计算下面诸式 解：⑴ ) ˆ ˆ ( ˆ ) ˆ ˆ ( ˆ ) ˆ ˆ ( ˆ i  j  k + k  i  j + j  k i ˆ ˆ 3 ˆ ˆ ˆ ˆ = i i + k  k + j  j = ⑵ A(B A) = B(A A) = 0       15．求证： (A B) [(A C) B)] A (B C)         +  +  = −   证明： (A B) [(A C) B)]      +  +  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A C B A B C B A A A C B A B B C B B A A B A C B B A B B C B A A B C B B A B C B                                         =   = −   =   +   +   +   =   +   +   +   =   +  +   +  16． , . ˆ ˆ ˆ (1 2 ) 2 2 2 dt d A dt t dA A t i e j k    已知 = + + − − ，求 解： t i e j k ti e j t t dt d dt dA 4 ˆ ˆ ] ˆ ˆ ˆ [(1 2 ) 2 − − = + + − = −  ti e j i e j t t dt d dt d A 4 ˆ ˆ ) 4 ˆ ˆ 2 ( 2 − − = − = +  17．已知 A e i t t j tk B t i tj t 4 ˆ 3 ˆ , ˆ ˆ (4 ) 3 ˆ 3 2 = − − + = + −   ， (A B) dt d   求  解： A B = AxBx + AyBy + AzBz    2 4 2 2 3 12 12 3 3 4 3 (4 ) t e t t e t t t t t t = − + = − − − − ( ) (12 12 3 ) 2 4 2 A B t e t t t dt d dt d  = − + −   t t e t t t 12(2 ) 48 6 2 3 = − − + − j i k j i k