S4.稳态电磁场的动量和角动量 ·617· §4.稳态电磁场的动量和角动量 与普通实物一样，作为一种特殊物质的电磁场也具有能量、能流、动量和 角动量，即使对稳态电磁场也不例外.在通常的电磁学教科书中，对稳态电磁 场的能量都作了充分的讨论，但对稳态电磁场也具有动量和角动量这一概念却 很少提及.R.P.Feynman在所著《费曼物理学讲义》[2]中首次提出了这一概 念，引起了普遍的关注.实际上，稳态电磁场具有动量和角动量是电磁场普遍 理论的重要结论，如果不理解这一结论，就很难解释许多电磁现象中出现的 “矛盾”。 为了能够具体地理解稳态电磁场具有动量这一概念，试举一例.如图11- 4-1所示，设空间有一导线环，在其附近某处放置一点电荷q,开始时两者 都静止不动，它们的总动量为零.今用电源在导线环 ●9 中建立恒定电流I,该电流将在空间激发磁场，在电 流从零增加到恒定值I的变化过程中，磁场将相应 地变化.磁场的变化必将在空间激发祸旋电场，该 祸旋电场使点电荷q受到一作用力.为了使点电荷q 图11-4-1 保持静止不动，外界必须对g施以机械作用力，且 使该力每时每刻都与祸旋电场力保持平衡.于是，在建立电流的整个过程中， 由导线环和点电荷构成的上述系统受到了外界一定的冲量作用，但系统仍保持 静止，总动量仍为零.根据动量定理，外界机械冲量的作用必然导致系统动量 的增加.这里显然存在表观上的矛盾，即出现了佯谬.注意到机械冲量作用的 过程也是建立磁场的过程，既然导线环和点电荷系统并未获得动量，那么一定 是电磁场获得了动量，该动量是从外界通过机械冲量的作用而获得的.由此可 见，只有在确立了稳态电磁场具有动量这一概念后，所产生的表观矛盾才得以 解决.以上只是对此例的定性分析，根据电动力学理论可以导出计算稳态电磁 场动量的严格公式.下面再举两个具体例子，并给出有关的公式，作定量的解 释 一、两个佯谬 当我们用一种方法从一个角度分析某一物理现象时会得出一个答案，而用 另一种方法从另一个角度分析同一现象时可能会得出另一个答案，如何取舍如
·618 第十一章电磁学教学中的一些疑难问题 何协调一致往往使我们陷于迷惑不解、左右为难的困境.由于这种矛盾常常是 表观的，故称为佯谬.实际上，在真实的物理世界中，同一物理过程只能有一 种结局，同一物理现象只能有一种正确的解释，同一物理问题只能有一个正确 的答案，佯谬的产生只能来自分析者本人在概念上的混乱，在抓住本质得到澄 清之后，将迎来协调一致的圆满解释.下面是两个例子 ⊙B -9 图11-4-2 [例1]文献[1]中举了一些例子，其中之一如图11-4一2所示.一个 静止的平板电容器，极板的面积为A,板距为L,两极板上分别带电±Q,在 电容器内部产生匀强电场E,又在整个空间存在垂直于电场的均匀恒定磁场 B.今用一根导线小心地在电容器内部与两极板相接触（所谓“小心”是指导线 与极板接触时不带任何动量).以电容器、内部的电磁场以及所加导线作为考 察对象，整个系统原先是静止的，电磁场又是恒定不变的，似乎总动量应为 零.但由于导线与两极板接触后，两极板通过导线放电，导线中出现了电流， 导线将受到Ampere力的作用，使导线产生向左的动量，系统的总动量不再等 于零.然而导线所受的Ampere力是内力，内力的作用不会使系统的总动量发 生改变，于是出现了矛盾.在上述分析中无疑漏掉了什么东西，这就是未考虑 稳态电磁场本身具有的动量，因而出现的矛盾是表观上的，这是一种佯谬 [例2]Feynman在《费曼物理学讲义》l2]中举了另一个例子.如图11 4一3所示，一个绝缘塑料薄圆盘被固定在 有光滑轴承的同心轴上，圆盘可绕轴自由 带电金属小球 转动.圆盘上固定一个同轴螺线管，用电 池提供恒定电流.在塑料圆盘的边缘处等 间隔地分布着一些金属小球，每个小球带 等量同号电荷q.上述各零件均固连在一 电池组 起，而且开始时静止不动.设法将螺线管 中的电流切断（切断电流的动作不致影响系 塑料盘 统原先的静止状态).切断电流后，圆盘是 否仍保持原来的静止状态呢？在电流未切 断前，螺线管内的电流产生磁场，有磁通 图11-4-3
§4.稳态电磁场的动量和角动量 ·619· 量通过圆盘面；在电流被切断后，磁场消失，磁通量变为零.在此过程中，因 磁场变化产生相应的涡旋电场，该涡旋电场沿圆盘边缘的切线方向，各带电金 属小球将受到切向涡旋电场力的作用，使圆盘产生转动.从另一角度分析，由 于整个圆盘系统在切断电流前后未受到任何外界机械力的干扰（作用），切断电 流前后系统的角动量应保持不变，始终为零，即切断电流后圆盘不会转动，如 果圆盘转动将违背角动量守恒规律.以上两种解释和论证，结果刚好相反，究 竟哪一种正确呢？这又是一个佯谬.Feynman在书中写道：“当你把它想出来 时，你已发现了一个重要的电磁学原理.” 普通的实物具有动量和角动量，同样，作为特殊物质的电磁场也具有动量 和角动量，只有掌握了这一电磁学基本原理后，以上两个佯谬（以及类似的其 他佯谬)才能得到协调一致的正确解释 根据Maxwell方程和Lorentz力公式可以证明，电磁场的能流密度(Poynt: ing矢量)S以及电磁场的动量密度g为 S=EXH (1) W-5 (2) 式中c为真空光速.以上两式可在任何一本电动力学教材中找到.值得注意的 是，以上两式是电磁场理论的普遍结论，对电磁场的类型未加任何限制，因 此，同样适用于稳态电磁场的情形 对于[例1]，由于电容器内部同时存在静电场和恒定磁场，根据公式(1)， 电容器内部存在能流，其方向是从电容器的右端流向左端（实际上是整个空间 中存在的能量环流的一部分)，其大小为 S=EH=.B e0μ0 QB E0ROA 式中A为电容器极板面积，Q为电容器极板上的电量.由公式(2)式，电容器 内的电磁动量密度为 S QB 二2 C-EOROA ÷RB A 上式中用到真空光速c=一1 故电容器两极板之间包含的总电磁动量为 V E0un G=gAU=QBL 电磁动量的时间变化率为
·620· 第十一章电磁学教学中的一些疑难问题 dG Bl dQ Bli d dt 式中i=就是当导线与两极板接触后在导线中产生的电流，B:则正好等于 dt 导线中有电流i时导线受到的Ampere力.上式表明，导线因受Ampere力而获 得的动量来源于电磁场的动量，这种动量转 移同样遵守动量守恒原理.至此，[例1]的 佯谬得到了正确的解释 在[例2]中，空间同时存在由带电小 球激发的电场E以及螺线管电流产生的磁场 B,因而空间存在能流S.如图11一4-4所 ⑧ 示，从图的上方看，能流逆时针流动.按公 式(2)，有能流也就有电磁动量，相应的电 磁角动量为沿轴线向上.故当螺线管中的电 ④ ⊕ 流未切断时，空间电磁场已具有了沿轴线向 上的角动量.当切断电流后，电磁场角动量 消失，转化为圆盘的同方向的机械角动量， 从图11-4-4的上方看，圆盘将作逆时针 图11-4-4 转动.由此可见，考虑了电磁场的角动量后，圆盘的转动并不违背角动量守恒 规律，恰恰相反，圆盘的转动正是角动量守恒的必然结果.这就是对[例2] 佯谬的定性解释，下面给出定量的论证. 二、稳态电磁场的动量和角动量 为了进一步计算[例2]中切断电流后圆盘所获得的角动量，只需计算通 电流时电磁场的总角动量即可，因为根据角动量守恒定律，两者是相同的.由 公式(2)，在真空情形，电磁场的动量密度为 g =E0MoS=EoMoEX H =eoE×B 在体积为V的空间内，电磁场的总动量为 G=gdV=eo(E×B)dV (3) 上式表明，电磁场的动量储存在E和B不为零的空间内.用(3)式计算电磁场 总动量G时，必须先求出E和B的空间分布，然后在整个空间积分，一般情 况下计算比较复杂.M.G.Calkin的文章3]给出了另一种等价的计算方法（也 可参看文献[4]) 磁场可用矢势A表示，并有
§4.稳态电磁场的动量和角动量 ·621· V·A=0 B=VXA 对稳态场又有 V×E=0 V·E=2 式中ρ为电荷体密度.(3)式中的被积函数可写成如下对称形式： EXB=EX(VXA)+A×(V×E) =V(E。·A)-(E·V)A+7(Ac·E)-(A·7)E 式中脚标c表示在进行微分运算时相应量当作常量.所以 E×B=V(E·A)-(E·V)A-(A·V)E (4)》 根据张量公式， V(g7)=(Vp)节+gV.节 式中T为张量，9为标量，利用上式，有① V.(IE·A)=7(EA)·i+(EA)7.i =V(E·A) 式中了为单位张量.又，由并失的散度公式，有 7(EA)=(7·E)A+(E·7)A V.(AE)=(V·A)E+(A·V)E =(A·V)E 所以 V(iEA-EA-AE)=V(E·A)-(V·E)A-(EV)A-(AV)E 利用上式，(4)式可写成 ①张量节的散度的定义为 .节=是T)+号)+最节) 式中i、、k为x、y、之轴方向的单位矢量，均为恒矢量.对单位张量了，有 v.扩=是T)+号T)+品T) 因任意矢量与单位张量点乘后得其自身，即 了=i,小扩=，k:了=k 所以 .了影+影+股=0
·622· 第十一章电磁学教学中的一些疑难问题 E×B=V·(TE·A-EA-AE)+(V·E)A =V.(TE.A-EA-AE)+A 于是(3)式可改写为 G eo (TE.A-EA-AE)dV+pAdv 令 T=TEA-EA-AE 则 G=e(.节)av+adV (5) 利用张量的下述积分变换式： dv(V.T)=o ds.T 式中S是包围体积V的封闭曲面，(5)式可写为 G=eo9ds·T+p4dV 上式右端第一项是在封闭曲面上的积分.因电磁场充满整个无穷大空间，当求 电磁场的总动量时，上述曲面S应扩展到无穷远，积分结果必为零（因场源均 在观察者所在的区域，在无穷远处场已衰减为零).故得出，电磁场的总动量为 G=pAdv (6a) 上面从电磁场的动量密度计算了稳态电磁场的总动量，下面进一步论证，该 动量来自建立电流一电荷系统时外界所施的冲量作用.为此，考虑如图11一4 5所示的系统：若干个导电环L1,L2,…和带电体Q,带电体的电荷密度为P, 上述系统始终保持静止不动.今在各导电环中建立恒定电流，则各电流环之间将 以Ampere力相互作用，为了使各导电环仍保持静 L 止，外界必须对各电流环施以一定的机械力.由于 各电流环之间的相互作用力是一对对的反平行力， 作用在各导电环上的合外力为零，对系统的动量不 产生影响.然而，在建立各电流的过程中，空间的磁 场发生了变化，因而要产生涡旋电场E祸旋，E祸熊 又作用于带电体上的电荷.由Maxwell方程的积分 形式， 图11-4-5
§4.稳态电磁场的动量和角动量 ·623· 中E涡旋·dl=- B·dS 7×A)·dS 根据Stokes定理，上式可改写为 手E预能dl=-品∮A·dl 故有 E祸旋- dt 带电体的体积元dV中的电荷所受涡旋电场力为 dAdv E祸炭pdV=-p 带电体Q受到的总作用力为 上述积分遍及全部带电体.为了维持力的平衡，确保静止，外界对带电体所施的 机械力应为 =4 JeAdv 根据动量定理，F机械的作用使上述电流一电荷系统的动量G发生变化，即 Fw-e-Mdv 注意到系统开始时的动量为零，故有 G=pAdV (6b) 上述结果表明，在导电环中建立电流的过程中，原来静止的系统从外界获得的动 量恰好等于电磁场具有的动量[比较(6a)和(6b)两式即可确定] 前面已经证明，在稳态条件下计算电磁场总动量的公式(3)和公式(6)是等 价的.(6)式表明，电磁场的动量储存在ρ≠0的地方，即动量体现在电荷上 这种情形是有例可循的，例如，在计算静电场的能量时，既可应用场能密度的 公式： W- 也可应用电荷相互作用能的公式：
·624· 第十一章电磁学教学中的一些疑难问题 W- 1 前者的观点是场能分布在整个场强E不为零的空间，后者的观点是场能集中 在电荷上.对磁场能量分布也有相仿的结果.根据(6)式，若电荷分布已知， 设法求出磁场的势矢A，就可以求出电磁场的总动量，计算起来要比用公式 (3)方便得多.对于点电荷q,若已知磁场的势矢A,由公式(6)，电磁场的总 动量为 G=gA(r) (7) 式中是点电荷的位矢.对于坐标原点的电磁场角动量为 L=rXG=rxgA(r) (8) 三、Feynman圆盘实验的解释 当切断Feynman圆盘实验中的线圈电流时，圆盘将获得机械角动量，它 是由电磁场角动量转换而来的，该电磁场角动量是当线圈中存在电流时本已在 空间中存在的，可以利用公式(8)来计算.在Feynman圆盘实验中，电量q的 分布是已知的，即圆盘边缘镶嵌的N个带电小球，每个小球的带电量为q, 可以看作点电荷；另外，A是中央线圈产生的磁场的势矢。计算任意线圈产 生的A是困难的，为此，一些作者对线圈产生的磁场作了不同的近似. 文献[4]假定线圈又短又小，在较远处可以把它看成是一个磁偶极子，其 磁矩为 m=nl:πa2k (9) 式中n为线圈的总圈数，α为其半径，I为线圈中的电流强度，k为圆盘面的 单位法向矢量.设圆盘的半径为R(即带电 小球到轴的距离)，并假定a《R,则线圈产 生的磁场的磁力线分布如图11-4-6所示. 由于磁力线的闭合性，通过圆盘面的磁通量 的大小应等于通过圆盘外平面的磁通量，但 符号相反.磁矩m在圆盘平面处产生的磁场 的磁感应强度为[5)] B=-0m 4r3 图11-4-6 式中为场点到圆盘中心的距离.故通过圆盘的磁通量为 = B·ds=- B·dS (圆盘平面) (盘外平面)
§4.稳态电磁场的动量和角动量 ·625· Lom dr 4x. 3 2 R =Lom 2R (10) 根据Stokes定理及B=V×A,有 fA·dl=(×a)ds=Bds= (11) 即 fA·dl=2R 20m 式中A为圆盘边缘处的势矢，它指向盘缘切向，且大小恒定（详见本节附录）， 故有 2πRA=0m 2R A=纪 (12) 以上用间接方法求出了小球所在处的势矢，也可以由A的定义式直接求出圆 电流环的势矢分布（详见本节附录）。圆电流环在远场点的势矢为 A(r)=tomxr 4πy3 由公式(7)，与第i个点电荷g相应的电磁场动量为 G;=gA =Komg 4πR2 由(8)式，对圆盘中心的电磁场角动量为 Li=RgA=2omg 4πR 或写成矢量式，为 b=最和 与N个点电荷相应的总电磁场角动量为 L=NLi =LoNg 4xR'm 把磁矩m的公式(9)代入，得 L=LoNngla2 4R 当切断线圈中的电流时，上述电磁场角动量消失，转换成圆盘的机械角动量
·626· 第十一章电磁学教学中的一些疑难问题 LM,由角动量守恒定律， LM =L LoNngla2 4R (13) 上述(13)式也可以用另一方法得到.当线圈电 流被切断后，在磁场消失的过程中，空间激发出涡 旋电场E满旋，它满足 手E我能·d山 dt 0 R 上式的线积分沿圆盘边缘，绕行方向如图11-4-7 所示.由上式可得 2πRE祸旋=-d地 0 dt 把(10)式代入， 图11-4-7 E祸旋三一 1dΦ_odm 2xR dt 4πR2dt 涡旋电场作用于第讠个小球上的力矩为 M,=RaEk=一景韶 =-Logna2dI, 4R dik 在电流消失过程中，在dt时间内涡旋电场作用在小球上的冲量矩为 Midt =-Logna2 4R dlk 由角动量定理，小球获得的角动量为 dL;=M:di=Logna2 4R dlk 在电流消失的全过程中，小球获得的角动量为 Li=M;dt = 09na28 4R k dI=Logna21 4R光 圆盘获得的总角动量为 L =NL,EoqNna21 4R (14) 此结果与(13)式相符. (13)式是先计算电磁场角动量，再由角动量守恒定律转换成圆盘的机械角 动量.(14)式是直接计算涡旋电场作用于小球（圆盘）所产生的角动量。两者的 一致表明，稳态电磁场确实具有角动量，并在角动量转换过程中遵循角动量守 恒定律 设圆盘系统的转动惯量为J，则在切断线圈中的电流时，圆盘获得的角速