西安电子科技大学：《大学物理》课程教学讲义（下）15-5 波函数与薛定谔方程

第3节波函数 薛定谔方程 一、波函数 经典粒子 (F,P) 光子 电磁波波函数E(?,) 实物粒子物质波波函数w(F,) 自由粒子 E=hv,p=h 单色平面波 (x,1)=Acos2x1-克 (x,)）=Ae2-》 w(x,t)=W -i2n-》 -2p w(x,t)=wo 方方 三维自由运动，wrG,0=W,ea- 二、波函数的统计解释 电子 波包观点 X 疏密波观点 ●●● 单个电子就具有波动性！ 1926年，玻恩：物质波是几率波 dw =v(r,t)'dv d =w(F,tw(F.n)dv, 几率密度：MG,=d形 dv 粒子性：集中的质量、电荷、 不能同时具有确定的坐标、 点粒子 动量，没有确定的运动轨道 波动性：干涉、衍射现象 几率波，波函数不是实在 满足波的迭加原理 的物理量，：几率密度 粒子性：集中的质量、电荷 波动性：微观粒子运动规律的统计性！ w(r,t) 电子 有些地方干涉几率加强，有些地方干涉几率相消 电子数较少时，屏上呈现散乱的斑点

1 第 3 节 波函数 薛定谔方程 一、波函数 经典粒子 （r ， ）  P  光 子 电磁波波函数 E(r,t)   实物粒子 物质波波函数 (r,t)   自由粒子 E  h ， 单色平面波  h P  ( , ) cos 2 ( )    x y x t  A t  2π( ) ( , )   x i t y x t Ae    2π( ) 0 ( , )     x i t x t e    ( ) 0 2π( ) 0 ( , ) Et Px i x h P t h E i x t e e           三维自由运动， ( ) 0 ( , ) Et P r i r t e          二、波函数的统计解释 电子 波包观点 疏密波观点 单个电子就具有波动性！ 1926 年，玻恩：物质波是几率波 z dW r t dV 2 ( , )    dV = (r,t) (r,t)dV ，      r 几率密度： dV dW r t  2 ( , )   x y 粒子性：集中的质量、电荷、 不能同时具有确定的坐标、 点粒子 动量，没有确定的运动轨道 波动性：干涉、衍射现象 几率波，波函数不是实在 满足波的迭加原理 的物理量， ：几率密度 2  粒子性：集中的质量、电荷 波动性：微观粒子运动规律的统计性！ (r,t)   电子 2  有些地方干涉几率加强，有些地方干涉几率相消 电子数较少时，屏上呈现散乱的斑点

电子数足够多时，屏上电子数的分布与几率分布趋于一致 屏上看到的是电子数的分布，反映的是几率分布 光子出现在空间某处的几率密度∝，不再解释为能量密度 三、波函数的标准条件和归一化条件 经典力学：某时刻质点在什么位置？动量是多少？轨迹方程？ 量子力学：微观粒子的波函数是什么？ 粒子出现在空间各点上的几率是多大？ 粒子动量取各种可能数值的几率是多大？ 某时刻粒子出现在空间各点上的几率是唯一的、完全确定的 波函数：单值函数 某时刻粒子出现在空间各点上的几率是有限的 波函数：有限的 粒子出现在空间各点上的几率分布及随时间的变化是连续的 波函数：连续的 单值、有限、连续 波函数的标准条件 ∫dw=jldw=l— 归一化条件 “相对几率分布” W(F,t)台Cw(行，)，C≠0：复常数 描写的是同一个几率波，粒子的同一个运动状态 n=心0，≠，构造：，0=，0 网aw=Jaw=l (了，)：归一化波函数， 京：归一化因子 四、薛定谔方程 质量为m的粒子在势能函数为V(x,y,z,)的外力场中运动 品气祭等兴+w一 薛定谔方程 i=√1：虚数单位 拉普拉斯算符：V-0 ，∂2 及 vu= 8w ow 8w r?+ 0y2+a2 G,)=、 w+Vw 2m 哈密顿算符： 户=-、 v+V,Aw=-Yv+Vy 2m 2m y=户：含时薛定谔方程 8t 2

2 电子数足够多时，屏上电子数的分布与几率分布趋于一致 屏上看到的是电子数的分布，反映的是几率分布 光子出现在空间某处的几率密度 ， 不再解释为能量密度 2 E   2 E  三、波函数的标准条件和归一化条件 经典力学：某时刻质点在什么位置？动量是多少？轨迹方程？ 量子力学：微观粒子的波函数是什么？ 粒子出现在空间各点上的几率是多大？ 粒子动量取各种可能数值的几率是多大？ 某时刻粒子出现在空间各点上的几率是唯一的、完全确定的 波函数：单值函数 某时刻粒子出现在空间各点上的几率是有限的 波函数：有限的 粒子出现在空间各点上的几率分布及随时间的变化是连续的 波函数：连续的 单值、有限、连续 波函数的标准条件 1 归一化条件 2     dW dV V  “相对几率分布” (r,t) ， ：复常数    C (r,t)   C  0 描写的是同一个几率波，粒子的同一个运动状态 ( 0, 1) ，构造： 2     dV A V  ( , ) 1 ( , ) r t A r t      1 2 1 2     dV A dV V V   (r,t) ：归一化波函数， ：归一化因子   A 1 四、薛定谔方程 质量为m 的粒子在势能函数为V (x, y,z,t) 的外力场中运动  薛定谔方程     V m x y z r t t i              ( ) 2 ( , ) 2 2 2 2 2 2 2    i  1：虚数单位 拉普拉斯算符： 2 2 2 2 2 2 2 x y z          2 2 2 2 2 2 2 x y z                V m r t t i       2 2 2 ( , )    哈密顿算符： V ， m H     2 2 2 ˆ    V m H     2 2 2 ˆ   ：含时薛定谔方程  H t i  ˆ   

五、定态薛定谔方程 粒子势能函数可划分为两大类： (1)势能函数中明显含有时间变量 如：V(x,y,2,)=A(x2+y2+z2)+Bsino (2)势能函数中不明显含有时间变量 如：V(x,y,,)=A(x2+y2+z2)V 如果V不显含1，则H也不显含1，含时薛定谔方程 ⊙业=户w可以用分离变量的方法求解 w(r,t)=w()f(t) wG).@=[iw行川fo dt 访1.01 [yw()】 f dt (F h.0-aw行】=E f dt v(r) Hw(r)=Ew(F) (1) h听0=j0: (2) dt →f)ea yG,=yG)e:定态波函数，定态 iyw(F)=Eyw():定态薛定谔方程 ():定态波函数 定态的性质： （1)定态几率波的振幅()不随时间变化 (2)(行，)=(F):粒子出现在空间各点上的几率密度恒定 (3)粒子能量E是一定值 一维运动（沿x轴），V(x)不显含1，一维定态问题 月=-是d+r闲) 2m dx2 足dP+V(x)w()=Ew) 2m dx d'w(x)2m dx2 E-V()=0 二阶线性常微分方程 3

3 五、定态薛定谔方程 粒子势能函数可划分为两大类： （1）势能函数中明显含有时间变量 如：V (x, y,z,t) A(x y z ) Bsint 2 2 2     （2）势能函数中不明显含有时间变量 如： ( , , , ) ( ) 2 2 2 V x y z t  A x  y  z 如果V 不显含t ，则 Hˆ 也不显含t ，含时薛定谔方程  可以用分离变量的方法求解  H t i  ˆ    (r,t) (r) f (t)     ( )] ( ) ˆ [ ( ) ( ) H r f t dt df t i r        ( )] ˆ [ ( ) 1 ( ) 1 H r dt r df t f i        [ ˆ ( )] = ( ) 1 ( ) 1 H r dt r df t f i        E Hˆ (r) E (r) （1）      ( ) ： （2） ( ) Ef t dt df t i  Et i f t e   ( ) ~ ：定态波函数，定态 Et i r t r e     ( , ) ( ) Hˆ (r) E (r) ：定态薛定谔方程      (r) ：定态波函数   定态的性质： （1）定态几率波的振幅 (r) 不随时间变化   （2） ：粒子出现在空间各点上的几率密度恒定 2 2 (r,t) (r)      （3）粒子能量 E 是一定值 一维运动（沿 x 轴），V (x)不显含t ，一维定态问题 ( ) 2 ˆ 2 2 2 V x dx d m H     ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 V x x E x dx d x m        [ ( )] ( ) 0 ( ) 2 2 2 2  E V x x  m dx d x    二阶线性常微分方程

第4节 一 维无限深势阱 质量为m的粒子，一维运动 势能函数 V(x)1 0 0a d'w(x)2mE dx2 =0,0a,w(x)=0 E:常数，粒子能量 2mE (x)=Asin( 方2x+),0a 数学上讲，n=0,±1，+2… n=0,(x)=0,无意义 n=1及n=-1,4,(x)与y(x)差一常数因子(-1) 4(x)与y1(x)描写粒子的同一个状态 所以只取n=1 A由归一化条件求出 4

4 第 4 节 一维无限深势阱 质量为m 的粒子，一维运动 势能函数 V (x)          x x a x a V x 0, 0 0 ( ) ( ) 0 ， O ( ) 2 2 2 2  x  mE dx d x    0  x  a a x x  0, x  a ，(x)  0 E ：常数，粒子能量 ) ， 2 ( ) sin( 2   x  mE x A  0  x  a 待定常数 A、 E 、 由波函数的标准条件和归一化条件确定 x  0处波函数的连续条件 0 (0)  Asin ， A  0 ，否则，(x)  0，没有意义 只有sin  0 ，  0 ) 2 ( ) sin( 2 x mE x A    x  a 处波函数的连续条件 ) ， 2 0 ( ) sin( 2 a mE a A    A  0 ) 0 2 sin( 2 a  mE  a n ， mE  2 2  n  1,2,3 2 ， 2 2 2 2ma n E    n  1,2,3 n 1， 2 ， ， 2 2 1 2ma E    n  2 2 E2  E1  2 ,En  E1  n 2 ,，粒子的定态能量是量子化的 粒子能量为 En 时，波函数为          x x a x a a n x A x n 0 0, sin 0 ( )   数学上讲，n  0,1,2 n  0，(x)  0，无意义 n  1及n  1， 1 (x) 与 1 (x) 差一常数因子（1）  1 (x) 与 1 (x) 描写粒子的同一个状态 所以只取n  1 A由归一化条件求出

y(x):粒子出现在x附近单位长度间隔中的几率 粒子出现在x~x+dk之间的几率dW=lw(x)d 1=(d=(ofd=sin a -4-as22-4x-n2 nx a 2nπ a a,4层 2 w.(x)=Va sin 0a n2π2h2 E= 2ma2’ n=1,2,3…:量子数 n=1的定态：基态，n>1的定态：激发态 E (x)↑ lw(x)f↑ M E3 n=3 E2 n=2 E n=1 a,x 0 a,x 0 驻波条件：a=二n,n=1,2,3… 2a hh A=44,p=m=n n λ2a p2 h2 E= 2m8.2n2三交h2 n很大，粒子在阱中的几率分布趋向均匀，回到经典情况 有限深势阱： V(x) 阶跃势垒：

5 ：粒子出现在 附近单位长度间隔中的几率 2 (x) x 粒子出现在 x ~ x  dx 之间的几率dW x dx 2  ( ) dx a n x x dx x dx A a a         0 2 2 0 2 2 1 ( ) ( ) sin    = 0 ) 2 sin 2 ( 2 1 ) 2 (1 cos 2 1 2 0 2 a a n x n a dx A x a n x A a        = A 2 a ， 2 1 a A 2            x x a x a a n x a x n 0 0, sin 0 2 ( )   2 ， ：量子数 2 2 2 2ma n En    n  1,2,3 n 1的定态：基态，n 1的定态：激发态 E (x) E3 n  3 E2 n  2 E1 n 1 0 a ， x 0 a ， x 0 a x 驻波条件：a n ， 2   n  1,2,3 ，n 2a   n a h h P 2    2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 2 n ma n ma h m P E      n 很大，粒子在阱中的几率分布趋向均匀，回到经典情况 有限深势阱： 阶跃势垒： V (x) V (x) V (x) 2 (x) E 2 (x) E 2 (x)