教学研究 特鲁顿-诺伯实验的解释 北京大学陈熙谋 在相对论建立之前，物理学家们相信麦克 来电容器为静止的参考系，电容器不会转动：对 斯韦电磁理论仅对于某一个参考系才成立，这 于一个看起来电容器为运动的参考系，电容器 个优越的参考系可以看成是绝对静止的参考 也不会转动，也就是说，平衡是洛伦兹变换下的 系，简称为绝对参考系。任何物体相对于绝对 不变性质，因此绝对参考系根本不存在。对于 参考系的速度叫做绝对速度。十九世纪后半叶 这样一个概括性的陈述显然不能令人满足，我 起寻找绝对参考系成为物理学家所热衷的课 们需要根据相对论，解释为什么电容器系统受 题。1902年特鲁顿(Trouton)设想了一个电磁 到力偶作用而不会有转动趋势（这一力偶是真 学实验，用来检测地球运动的绝对速度，他的依 实存在的，因为它可根据电磁理论得出，而电磁 据可简述如下。考虑地球上两个静止的点电 理论遵从相对论)。 荷，如栗地球为绝对参考系，则它们之间的相互 相对论的建立是物理学中的一场革命。它 作用力为库仑力，作用力的方向沿它们的联线， 带来一系列物理学中传统的经典概念的根本变 作用力对于这对电荷的系统不产生力矩，因而 革，例如同时性的相对性，长度收缩，时间延迟， 电荷系统不会转动。如果地球相对于绝对参考 物理作用的传递速度不大于光速℃，物体的质 系的速度为”，并且速度的方向与电荷联线的 量依赖于它的速度，质能关系等等。在解释特 方向不重合，则这两个电荷之间的相互作用力 鲁顿-诺伯实验中，还会涉及其他一些经典概念 除了电力之外还存在磁力，电力和磁力的合力 的扬弃。因此，通过对特鲁顿~诺伯实验的解 将不再沿电荷之间的联线，它们构成一对力偶， 释，可以使我们对相对论的革命变革有进一步 这对力偶将使电荷系统转动。当电荷同号时， 的认识。 转动使电荷的联线趋于平行运动方向，当电荷 下面让我们从几个方面来分析。 异号时，转动使电荷的联线趋于垂直运动方向。 测出电荷系统的转动效应，则可确定电荷的运 一、运动学方面的考查 动速度，从而确定地球的绝对速度，也就是说 让我们考虑在参考系S。中两个静止的等 确定了绝对参考系。1903年特鲁顿和诺伯 量异号点电荷，正电荷9固定在坐标原点，负电 (Noble)设计了一个精巧悬挂起来可自由转动 荷一q在(x,y),它们之间的距离为o= 的定向充电电容器作实验，实验中没有观察到 =Vx+y,它们之间的联线与xo轴之间的夹 电容器旋转的任何趋势。特鲁顿-诺伯实验后 角为aa、ya/x0=tan ao。由于它们是静止的， 来被托马谢克(Tomaschek,1925)和查斯(Ch 它们之间的相互吸引力大小为 asc,1926)进一步改进，所得的结果仍然是否 定的。 购香 特鲁顿-诺伯实验的否定结果与迈克耳孙一 方向沿联线方向，即作用力的方向与x。轴之间 莫雷实验的否定结果使得相对论建立以前的物 的夹角也是ao,f,/for=tan ao。电荷在此吸 理学家们大惑不解。然而在狭义相对论中，实 引力作用下的加速度也是沿联线方向，即加速 验的否定结果是可以理解的，它们恰恰说明电 度与x轴之间的夹角仍是a0,ao,/a。,=tango, 磁现象同样遵从相对性原理，即对于一个看起 因而在S。系中电荷系统不会转动。 。9。 C 1994-2011 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
特鲁顿 一 诺伯实验的解释 北京大 学 陈 熙 谋 在 相对论建立之 前 , 物理 学家们 相信麦克 斯 韦 电磁理 论仅 对 于某一 个参 考 系才成立 , 这 个 优越 的参考系可 以看成 是绝 对 静 止 的 参 考 系 , 简称 为绝对参 考 系 。 任何 物 体相 对于 绝对 参考系 的速度 叫做 绝对 速度 。 十九世纪后半叶 起寻 找绝 对参考 系成 为物理 学 家所 热 衷 的 课 题 。 ! 年特鲁顿 ∀# ∃% & ∋ % ( )设 想 # 一个 电磁 学实 验 , 用来 检测地 球 运动 的绝对速度 , 他的依 据可 简述如下 。 考虑 地 球上 两个静止 的 点 电 荷 , 如果地 球 为绝 对参 考系 , 则 它们之 间的相互 作 用力 为库仑 力 , 作用 力 的方 向沿 它们 的联线 , 作 用力 对于 这对 电荷的 系统不 产生 力矩 , 因而 电荷系 统不 会转 动 。 如果 地球 相对 于绝对参考 系的速 度为 秒 , 并且速度 的 方向与 电荷联线 的 方 向不 重合 , 则这 两个 电荷之 间 的相 互作 用力 除 了电力之 外还 存 在磁力 , 电力和 磁 力的合 力 将不 再沿 电荷之 间 的联 线 , 它们 构成一对力偶 , 这对 力偶 将使 电荷系统 转动 。 当电荷同号 时 , 转动 使 电荷 的联 线 趋于 平行 运动 方 向 ∗ , 当电荷 异号 时 , 转 动 使 电荷 的联 线趋 于 垂直 运动 方 向 。 测出 电荷系 统 的转 动效 应 , 则可 确 定 电荷的 运 动 速度 , 从 而 确定地球 的绝对速 度 , 也 就是说 确定 了绝对参 考系 。 + 年 特 鲁 顿 和 诺 伯 ∀, % −. /) 设 计 了一个精 巧 悬挂 起来 可 自由转 动 的 定 向充电 电容器作 实验 , 实 验 中没有 观察 到 电容器 旋转的任 何趋势 。 特 鲁顿 一 诺伯实 验 后 来被托 马谢 克 ∀# % 0 1 2/ 3 / 4 , ! 5 )和查斯 ∀6 3 7 12 / , ! 8) 进一步改进 , 所得 的结果仍 然是否 定 的 。 特 鲁顿 一 诺 伯实验的 否定 结果 与迈 克 耳孙 7 莫 雷实 验的否定 结果使得相对论 建立以前的物 理学 家们大 惑 不解 。 然 而在 狭义 相对论中 , 实 验的否定结 果是可 以理 解 的 , 它们恰 恰说 明 电 磁现 象 同样 遵从相对性原理 , 即 对于 一个看起 来 电容器 为静止 的 参考系 , 电容器不 会转 动 9 对 于 一个看起来 电容 器为 运动 的参考系 , 电容 器 也不 会转 动 , 也 就是 说 , 平衡是 洛 伦兹变换 下的 不变 性质 , 因 此绝 对参 考系根 本不 存在 。 对于 这样 一个 概 括性 的陈述 显然 不 能令人满 足 , 我 们 需要 根据相对论 , 解释 为什 么 电容器 系统 受 到 力偶 作用而 不会 有转 动趋势 ∀这一 力偶是 真 实 存在 的 , 因为它 可根 据电磁理 论得 出 , 而 电磁 理 论遵 从 相对论 少 。 相 对论 的建立是物 理 学中 的一场 革命 : 它 带 来一 系列 物理 学 中传统 的经 典概念的根本 变 革 , 例 如 同时 性 的相 对性 , 长度收 缩 , 时间延 迟 , 物 理作 用 的传递 速度 不大 于光速 。 , 物体 的质 量依 赖于 它的速 度 , 质能关系 等等 。 在解释特 鲁顿 一 诺 伯实 验 中 , 还 会涉及其 他一 些经典 概念 的扬 弃 。 因此 , 通过对特鲁顿 一 诺 伯 实 验 的 解 释 , 可 以使 我们对 相对 论 的革命 变革有进 一步 的认 识 。 下 面让 我们从 几个 方 而来分 析 。 一 、 运动学 方面 的 考查 让我们 考虑 在参 考 系 ; 。 中两 个静止 的 等 量 异号 点 电荷 , 正 电荷 ) , 它 们之 间 的 距 离 为 . 。? ? 杯可不灭 , 它们 之间的联 线与 二。 轴 之间的夹 角 为 1 。 , > ≅ = 。一 ∋1 ( 1 。。 由于 它们是 静 止 的 , 它 们之 间的相 互吸 引力 大小为 Α ( 二7 Β 工 兀泞 一 雾磊 方向沿联 线 方 向 , 即 作 用力的 方向与 , 。 轴之 间 的夹角 也是 口。, Α 。 扩Α 。 , 二 ∋1 ( 1 。。 电荷 在此 吸 引力作 用下 的加速度也是沿联 线方 向 , 即加 速 度与 二 。轴 之 间的夹 角仍 是 。。, 1 。 ,≅ 1% , 二 ∋1 血1 。, 因而 在 Χ 。 系 中电荷 系统 不会转动 。
现在考虑在相对于S,系以速度”沿x。轴 的方向相同，即从运动学的角度考查，电荷系统 负方向运动的参考系8中观察，则两个电荷都 不会发生转动。 以速度)沿x正方向运动。它们之间除了电力 这里，相对论力学与经典力学存在重要区 10 别。在相对论力学中，两个惯性系之间力的变 换公式与加速度的变换公式不同，因此从S。系 变换到S系，造成力的方向与加速度方向不同， 从而可以看出在S系中，虽然存在着力偶，但加 速度仍沿联线方向，整个系统不发生转动是很 自然的。 (a) (b) 图1 二、力方面的考查2幻 之外还存在磁的作用力。它们之间的相互作用 电荷系统在电磁力作用下不会转动，我们 力可以根据运动电荷的电磁场加以计算，也可 可以进一步予以考查。当我们考虑这一对正负 以根据相对论力变换公式进行计算，两者的结 电荷组成的电荷系统的转动问题时，应维持这 果是一致的。根据相对论中力的普遍变换公 一电荷系统稳定。为此，则需要用-一根不导电 式1门，在S系中电荷A受电荷B的作用力 的刚性杆将这一对电荷联接起来（在特鲁顿-诺 f,=fos (1) 伯实验中有固定电容器极板的装置)，并且为了 f,=是f,其中y= 1 V1-B2 讨论的方便，假定杆的+9端固定，杆的一9端 为活动端。考查这对电荷的转动问题，也就是 此力与x轴之间的夹角a,满足 考查刚性杆活动端在力的作用下绕固定端的转 f=g=Itan ao tan ai=fyfos y (2) 动。当作用在杆活动端的力沿径向，亦即沿活 即a1ao,如图1b所示。从图中可以看出这两 显然经典力学的刚体与相对论中物体作用的传 个电荷之间的相互作用力不沿它们的联线方 递速度不大于光速C是不相容的，因而是不存 向，它们构成一对力偶。然而，根据加速度的普 在的。相对论中只存在按洛伦兹收缩的刚体。 遍变换公式1口 于是上述联接电荷的刚性杆绕固定点转动时， a,= a 杆的长度要变化。长度为a的杆转到与运动方 (4) 1 向平行时，收缩为aV1一B2,即杆的活动端将 0y= 描出半长轴为a、半短轴为aV1一B2的椭圆， 加速度与x轴之间的夹角a2满足 如图2所示。 tand,y tan =tana 现在我们考虑活动端的一9电荷受到的电 (5) 磁力。根据运动电荷产生的标势和矢势以及洛 则 伦兹力公式，求得电荷一q所受的电磁力合力f a=a 可表示为3即 这表示电荷A的加速度方向与AB联线的方向 相同：同样电荷B的加速度方向也与AB联线 f=V,的=（二） (6) 4xe08 、10· C 1994-2011 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
现 在考虑 在相 对于 召。系 以速度 。 沿 二 。 轴 负 方 向运动 的参考系 ; 中观察 , 则 两个电荷都 以速度 。 沿 劣 正方 向运 动 。 它们 之 间除了 电力 凭 石 “声尸了 : 口 : : : : ‘: : : : 7 : , 二 的 方 向相同 , 即从运 动学的 角度考查 , 电荷系统 不会发 生转动 。 这里 , 相 对 论力 学与经典力学存在重要 区 别 。 在相 对 论力 学 中 , 两 个惯 性系 之间力 的变 换公式与加速度 的变换公 式不同 , 因此从 泞。系 变换 到 召 系 , , 造成力 的方 向与加速度 方 向不 同 , 从而可 以看 出在 召 系 中 , 虽 然存在着 力 偶 , 但加 速度 仍沿联线 方 向 , 整 个 系统 不发生转 动是 很 自然 的 。 ∀ 1 ) ∀ − ) 图 . 之外 还存在 磁 的作用 力 。 它们 之 间的 相互作 用 ’ 力可 以根 据运 动电荷的 电磁场加 以计算 , 也 可 以 根据相对 论 力变换 公式 进行计算 , 两者 的结 果是 一致 的 。 根 据相对 论中力 的普 遍 变 换 公 式 〔, 〕, 在 ; 系 中电荷 Δ 受 电荷 Ε 的作 用力 Α , ? Α 。二 、中, 一尘二 Φ 丫 一 岁 乙 , ∀ ) Α , 牛了 此 力与 二 轴 之 间的夹 角 1 , 满足 ∋ 1 ( 。 一 分 一 念 7 ∋ 1 ( 1 % ∀! ) 即 1 , Γ 1 。, 如 图 . − 所示 。 而此时 电荷之间的 联 线与 , 轴之 间的夹 角 1 满足 > ∋ 1 ( 1 ? , 吮, ? 劣 > % 二。杯Η 一 刀, ? 夕∋1 ( 1 % ∀+ ) 即1 Ι 口 。, 如 图 . − 所 示 。 从 图中可 以 看出 这两 个 电荷之间的相 互作用 力不 沿它 们 的 联 线 方 向 , 它们 构成一 对力偶 。 然而 , 根 据加速度 的普 遍 变换公式 〔曰 ϑ , ? 7 Κ 二 1 : : Κ Κ ‘ > 7 “ , ? 砰1% ΛΦ ∀Β ) 加速 度 与 二 轴之 间的夹角 1 9 满 足 Μ , Ν 1 。 7 .1 ( 1 Ο 二 一 ? 一 ? 梦 ∋ 1 ( 1 ( ? ∋ 1 . Μ 1 盆 口 。 , ∀5 ) 1 Ο ? 口 二 、 力方 面 的考查Π! 〕 : 电荷系统 在 电磁力 作用 下不 会转动 , 我们 可 以 进一 步予以考查 。 当我 们考 虑这 一对 正负 电荷组成 的 电荷系 统 的转动 问题时 , 应维 持这 一 电荷 系统稳定 。 为此 , 则 需要 用一 根不 导 电 的刚性杆 将这一对 电荷联接起来 ∀在特 鲁顿 一 诺 伯 实验中 有固 定 电容 器极板的装 置) , 并且为 了 讨论 的方便 , 假定杆的 十 <’端 固定 , 杆 的 一 < 端 为活 动端 。 考 查这 对 电荷 的转 动问题 , 也 就是 考查 刚性 杆活 动端 在 力的作用下 绕 固定 端的转 动 。 当作 用在 杆活 动端 的 力沿径 向 , 亦 即沿活 动端轨迹的法 向时 , 杆 不会 转 动 。 只 有 当作 用 力具有 轨迹的切 向分量时 , 杆才会转动 。 然而 , 经 典力学的刚 体是指刚 体上 任意 两点 的距 离 固 定 不变 , 因此 刚体上所 有 各点必 定与 外 力作用 点 同时运动 , 这意 味着 力 的作用是瞬时 传递 的 显 然经 典力学的 刚体 与相对 论 中物体作 用的 传 递 速度 不 大于光速 。 是 不 相容 的 , 因而是 不 存 在 的 。 相 对论 中只存 在按洛伦 兹收 缩 的刚体 。 于是上述 联接 电荷的 刚性 杆绕 固定 点转 动时 , 杆 的长度 要变 化 。 长度 为 1 的 杆转 到与运动 方 向平行 时 , 收 缩为 1 侧丁二万 : , 即杆 的活动 端将 描 出半长轴为 1 、 半短轴为 1 杯丁二蔺了 的椭圆 , 如 图 ! 所示 。 现在 我们 考虑 活 动端 的 一 < 电荷 受到 的 电 磁力 。 根据运 动 电荷产生 的标势和 矢势以及 洛 伦 兹力公 式 , 求得电荷 一< 所受 的电磁力合 力 , 可 表示为Θ+ 〕 这 表示 电荷Δ 的加速度 方 向与 Δ Ε 联线 的方 向 相同 ∗ 同样 电苛 Ε 的加速 度 方 向也 与 Δ Ε 联 线 , ? Ν 价 , 功二 < Ο ∀ ’ 一 刀! ) Β 汀 君。一吕 ∀8 )
其中 则在杆上有均匀的能流密度s=∫)cosa1/a, 8=Vx2+(1+B2)(y2+2), (7) 于是杆中相应地有附加的均匀动量，动量密度 这表明中起着一种“势”的作用，称为“运流势” j=8/c2。整个杆中的附加动量为J=lσj= (convection potential)。运流势的等势面由 Ifu cos a1/c2。 “8=常数”确定。电荷所受的电磁力f则垂直 角动量的普遍定义为 运流势的等势面。 由(7)式可以写出运流势等势面方程 L=J∫xian 当动量分布恒定时，角动量的时间变化率为 (1-B巧+y2+22=常数 x2 (8) 品-引x=部×0=pxJ 可见运流势的等势面 为一回转椭球面，若 于是 沿垂直运动方向的y 张=o×J1=sina-f。 c-cos aisina 或2方向的半长轴为 =∫lB2cosa1sina① (9) a,则沿运动方向的 半短轴为aV1-B2, 这表明在应力作用下运动的弹性联杆中存在附 加的动量，从而即使联杆作稳定的平动，其角动 这里我们看到运流势 量的变化率也不为零。 的等势面与上面考虑 按洛伦兹收缩的刚性 图2 另一方面，电荷之间相互作用力的力偶矩 杆活动端描绘的椭圆是一致的，也就是说杆的 为 M=fl sin(a-a)=fl(sin a cos a- 活动端始终在运流势的等势面上。由于活动端 cos a sin a) (10) 电荷所受的力垂直于运流势的等势面，亦即不 存在使得杆转动的切向分量，因而杆不会转 由于(2)式和(3)式 1 动。 tan a=- tan ao=tan a 在这里相对论力学与经典力学之间存在另 即 一个重要区别，在相对论力学中不存在经典意 义下的刚体。刚体在力作用下是否转动的问题， sin a=1-月2)sina cos a cos a 则是需要考查作用力是否存在切向分量。如果 或 作用力沿法向，不存在切向分量，虽有力矩也不 sin a cos a=(1-B2)sin a cos a 会转动。 代入(10)式则得 M=fl[sin a cos a-(1- 三、能流方面的考查[幻 B2)sin a cos a]=fl82 sin a cos a 电荷系统受到力偶作用不会转动仍作稳定 (11) 的平动，还可以如下来认识。电荷A、B以速度 (11)与(9)式两者结果相同，说明力偶矩刚好产 )平行x轴运动。设A、B间有联接杆1。在 生由(9)式给出的角动量变化率。 A端的力f作正功（见图1b),单位时间所作的 在这里相对论力学与经典力学之间显示出 功（功率）为f·p=∫cos a1。在B端的力作负 又一重要区别。在相对论力学中，一个应力作 功，单位时间所作的功为一f·D=一f)cosa1。 用的物体处于沿直线运动的稳态，其中存在能 这表明单位时间有∫cos a1的能量自A端输 入，有相同的能量自B端输出，因此沿着杆自·A ①这里导出的结果在形式上与Becker书上的(91,8)式 有所不同。应该注意光式中各量是S系中观案的量.而Beck- 到B有能量的流动。设联接杆的截面积为σ， r书给出的是8。系中观察的量，可以证明两者是一致的， 。11。 1994-2011 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
其中 吕 二 杯 二 ! Ρ ∀Η 一 刀! )∀> Ο Ρ 9 ! ) · ∀Σ ) 这表明 砂起 着一 种 “ 势 ” 的作 用 , 称为 “ 运流势 ” ∀ 。% 。 , / Π Τ￡% ( 尹% ∋ / ( ∃Υ 1 .) 。 运 流 势 的等势 面 由 、 一 常数 ” 确定 。 电荷 所受 的 电磁 力 Α 则垂 直 运流势的等势面 。 由∀Σ) 式可 以写 出运 流势等势面 方程 则在杆 上有均 匀的 能流密 度 ∗ Κ 了 。 Π %2 1 9 ≅ 1 , 于 是杆 中相 应地 有附加的均 匀 动量 , 动量 密度 ς? Χ ≅ 沪 。 整个 杆 中的附加动 量 为 Ω 二 . % ς Κ .Α % / % 2 1 , ≅ / Ο 。 角 动量 的普遍 定义为 9 一 丁一 ςΞ , 石蔫呵 十 , ! Ρ 一常 数 ‘Χ , 当动 量分布恒 定时 , 角动量 的时 间变化率 为 可见运 流 势 的等 势 面 为一 回转椭球 面 , 若 沿垂 直运 动方 向 的 > 或 9 方 向的半 长轴 为 1 , 则沿 运 动方 向的 半短 轴 为1 丫丁二万了 。 这 里我 们看 到运 流势 的等 势面与 上 面考虑 按洛 伦兹收 缩 的刚性 Ξ Θ Ξ ∃ : , ∃Ξ ∃ Κ 万丁? 丽Ω ∃ Ψ 了1 ” ? Ω不 = Ω “ ” ? 口 = Ω 于是 Ξ Θ Ξ ∋ Φ 。 Ψ Ω Ζ 二 。 Ω 2 Υ ( 1 二 Α .沪 / ! 6ϑ ; 口 5 口 杆活 动端描绘 的椭圆是 一致的 , 也就 是 说杆 的 活动 端始终 在运 流 势 的等势面上 。 由于 活动 端 电荷 所受 的 力垂直 于运 流势 的等 势 面 , 亦 即不 存在 使 得杆转 动 的切向分量 , 因而 杆 不 会 转 动 。 在 这里 相对论力 学与经 典力 学之间存 在 另 一个重 要 区别 , 在相 对论力 学 中不 存 在经典意 义 下 的刚体 。 刚 体在 力作 用下 是否 转 动的 问题 , 则是 需要 考查 作用 力是 否存 在切 向分 量 。 如果 作 用 力沿 法 向 , 不 存在切 向分量 , 虽有 力 矩也 不 会转 动 。 二 Α .刀Ο/ % 2 1 ∗ 2 Υ ( 1 ! 这 表 明在应 力 作用 下运动的弹 性联 杆中存在附 加 的动量 , 从而 即使 联 杆作稳 定 的平动 , 其 角动 量 的变化 率 也不 为零 。 另一方 面 , 电荷之 间相 互作用力 的力偶矩 为 ∀ 二 # ∃ %& ∋ ( 一( ) ! ∗ # ) % & ∋ ( + , % + , % ( % & ∋ ( − ! ( ) 一 ∃. ! 由于 /! 式和 0! 式 1( ∋ ( 2 ∃ , 3 二 二二 — 1 往∃ 口 。 一 与 ( 。 。 丫 2 4) ) ( 盛 5 6 4 口 ∃ 二 ) 一 刀/ ! 4 )∋ ( 56 4 口 三 、 能 流方 面 的考查 〔们 电荷 系统 受 到 力偶作 用不 会转 动 仍作稳 定 的平动 , 还可 以如下来 认识 。 电荷 7 、 8 以速 度 。 平行 二 轴 运动 。 设 7 、 8 间有联接杆 ) 。 在 7 端 的力 # 作正 功 见 图 ) 9 ! , 单位 时 间所 作的 功 功 率 ! 为 ,: 。 ∗ # , ; ,% ( , 。 在 8 端的力作 负 功 , 单 位 时间 所作 的功 为 了 · 。 二 一 了 ” ; ,% 口 , 。 这表 明单 位时 间有 # , ;, % ( : 的能量 自 7 端 输 人 , 有 相 同的能 量 自8 端 输出 , 因 此沿 着杆 自7 到 8 有 能量 的流 动 。 设联接杆的截 面积为 。 , 或 % & ∋ ( , + , % ( ∗ ) 一 刀/ ! %& ∋ ( + , % ( ) 代人 ∃.! 式 则 得 ∀ ∗ # ) +? 书上的 ∃ : ≅! 式 有所不同 。 应该注 意 此式中 各 量是 4 系 中观寮的 量 : 而 8+; > 2 。 ? 书给出 的是 4 。 系 中观 察的1 , 可 以 证 明两者是 一致 的 。