静电场边值问题的 唯一性定理 典型的静电问题 给定导体系中各导体的电量或电势以及各导体 的形状、相对位置（统称边界条件），求空间 电场分布，即在一定边界条件下求解。该类问 题称为称为静电场的边值问题
静电场边值问题的 唯一性定理 典型的静电问题 给定导体系中各导体的电量或电势以及各导体 的形状、相对位置（统称边界条件），求空间 电场分布，即在一定边界条件下求解。该类问 题称为称为静电场的边值问题
Q+q 唯一性定理 对于静电场，给定一组边界条件， 空间能否 存在不同的恒定电场分布？—回答：否！ 边界条件可将空间里电场的分布唯一地确定 下来 该定理对包括静电屏蔽在内的许多静电问题 的正确解释至关重要 ■论证分三步：引理 叠加原理 一证明
唯一性定理 对于静电场，给定一组边界条件，空间能否 存在不同的恒定电场分布？——回答：否！ 边界条件可将空间里电场的分布唯一地确定 下来 该定理对包括静电屏蔽在内的许多静电问题 的正确解释至关重要 论证分三步：引理——叠加原理——证明
极大 几个引理 极小 引理一：在无电荷的空间里电势不可能 有极大值和极小值 ·证明（反证）若有极大，则 V指向P点，E=-VU背离P点 更。=月E·S>0,但面内无电荷矛盾 S 若有极小，同样证明
几个引理 引理一：在无电荷的空间里电势不可能 有极大值和极小值 证明（反证）若有极大，则 极大 极小 若有极小，同样证明
引理二：若所有导体的电势 即意味着空间 为0，则导体以外空间的电 电势有极大值， 违背引理一 势处处为0 ■证明（反证） 若→0 在无电荷空间里电势分布连续 变化，若空间有电势大于0 巧 (或小于0)的点，而边界上 电势又处处等于零 必出现 极大值或极小值— 矛盾 U2=0 推广：若完全由导体所包围的空间里各导体 的电势都相等（设为U),则空间电势等于 常量U0
引理二：若所有导体的电势 为0，则导体以外空间的电 势处处为0 即意味着空间 电势有极大值， 违背引理一 证明（反证） 在无电荷空间里电势分布连续 变化，若空间有电势大于0 （或小于0）的点，而边界上 电势又处处等于零——必出现 极大值或极小值——矛盾 推广：若完全由导体所包围的空间里各导体 的电势都相等（设为U0），则空间电势等于 常量U0
引理三：若所有导体都不带电， 则各导体的电势都相等 证明（反证) 若不相等，必有一个最高， 如图设U1>U2、U3, 体1是电场线的起点—其 表面只有正电荷 导体1 上的总电量不为0 与前 提矛盾 ■引理二(+)引理三可推论：所有导体都不带电的 情况下空间各处的电势也和导体一样，等于同一常 量
引理三：若所有导体都不带电， 则各导体的电势都相等 证明（反证） 若不相等，必有一个最高， 如图设U1>U2、U3，——导 体1是电场线的起点——其 表面只有正电荷——导体1 上的总电量不为0——与前 提矛盾 引理二 ( ＋)引理三可推论：所有导体都不带电的 情况下空间各处的电势也和导体一样，等于同一常 量
叠加原理 在给定各带电导体的几何形状、相对位置后，赋予 两组边界条件： ■1： 给定每个导体的电势U1k (或总电量2Ik) 2:给定每个导体的电势Uk(或总电量0) 设U八Uπ满足上述两条件，则它们的线性组合 U=0U+bU必满足条件3： 3: 给定每个导体的电势Uk=uUI+bUIk (或总电量2k=2IkMk十b2Ik) 特例：取UTk=Unk,则U=Ur一Un(=1,b=-1)对应 的边界条件为，每个导体的电势为0
叠加原理 在给定各带电导体的几何形状、相对位置后，赋予 两组边界条件： 1：给定每个导体的电势UⅠk（或总电量QⅠk） 2：给定每个导体的电势UⅡk（或总电量QⅡk ) 设UⅠ、 UⅡ满足上述两条件，则它们的线性组合 U=a UⅠ+b UⅡ必满足条件3: 3：给定每个导体的电势Uk =a UⅠk+b UⅡ k （或总电量Qk= QⅠk a k+b QⅡ k） 特例 ： 取UⅠk＝ UⅡ k，则U=UⅠ－UⅡ (a=1, b=-1) 对应 的边界条件为，每个导体的电势为0
唯一性定理 相当于所有导 给定每个导体电势的情形 体上电势为0时 的恒定电势分 设对应同一组边值U(k=2) 布 有两种恒定的电势分布U,和Um 0 U1-Um==0 -0 U,=Um 每一个导体上电势是给定的 由引理2 →E1=Eu 说明场分布是唯一的
唯一性定理 给定每个导体电势的情形 设对应同一组边值 I II I II E E U U U (k 1,2) k 有两种恒定的电势分布 UI 和UII 相当于所有导 体上电势为0时 的恒定电势分 布 说明场分布是唯一的
给定每个导体上总电量的情形 ■第k个导体上的电量 设对 同 e和小小 dS Sk SK Sk 边有种定势 值两恒电分 Up 2 e L 相当于所有导 U-U1 Uu 体都不带电 S=0→U=U,-UM=常量→EEn Sk On 说明场分布是唯一的
I II I II S dS U U U E E n U k 0 0 常 量 给定每个导体上总电量的情形 第k个导体上的电量 dS n U Q dS E dS Sk Sk Sk k e n 0 0 设对 应同 一组 边值 有两 种恒 定电 势分 布 说明场分布是唯一的
解释静电屏蔽 唯一性定理表明：一旦找到某种电荷分布，既不 违背导体平衡特性，又是物理实在，则这种电荷 分布就是唯一可能的分布。 E=0 a b 图中是根据导体内场强处处为零判断存在两种实 在的电荷分布的迭加就是唯一的分布
解释静电屏蔽 唯一性定理表明：一旦找到某种电荷分布，既不 违背导体平衡特性，又是物理实在，则这种电荷 分布就是唯一可能的分布。 图中是根据导体内场强处处为零判断存在两种实 在的电荷分布的迭加就是唯一的分布