第二章基本知识小结 2.11质点运动学方程为：(1)F=(3+21)i+5j (2)F=(2-3)i+(41-1)j,求质点轨迹并用图表示. 解：(1)x=3+2t,y=5,轨迹方程为y=5的直线。 (2)x=2-3t,y=4t-1,消去参数t得轨迹方程4x+3y-5=0 53 5/4 2.1.2质点运动学方程为F=e2i+e2j+2k.(1)求质点轨迹：(2)求自t=-1到=1质点的位移。 解：（①）由运动学方程可知：x=e2,y=e2,z=2,xy=1,所以，质点是在=2平面内的第一像限 的一条双曲线上运动。 (2)△r-r-F(-10=(e2-e2)i+(e2-e2)j =-7.2537i+7.2537j。所以，位移大小： 1△r卡V(△x)2+(4y)2=V（-7.2537)2+7.25372=7.2537√2， 与x轴夹角 a=arccos Ax =arcos(-Y5)=1350 I△F 与y轴夹角B=arccos Ay arccos(- 2)=45° △F 与z轴夹角y=arccos. △z △F ,=arccos0=90° 2.1.3质点运动学方程为F=41分+(2t+3)j.(1)求质点轨迹：(2)求质点自=0至=1的位移. 解：()x=412,y=21+3,消去参数t得：x=(y-3)2 (2)△r=F1)-r(0)=4i+5j-3j=4i+2j
第二章基本知识小结 2.1.1 质点运动学方程为： r t i j ˆ 5 ˆ = (3 + 2 ) + ⑴ r t i t j ˆ (4 1) ˆ = (2 − 3 ) + − ⑵ ,求质点轨迹并用图表示. 解：⑴ x = 3 + 2t, y = 5, 轨迹方程为 y = 5 的直线. ⑵ x = 2 − 3t, y = 4t −1 ，消去参数 t 得轨迹方程 4x + 3y − 5 = 0 2.1.2 质点运动学方程为 r e i e j k t t ˆ ˆ ˆ 2 2 2 = + + − .⑴求质点轨迹；⑵求自 t= -1 到 t=1 质点的位移。 解：⑴由运动学方程可知： , , 2, 1 2 2 = = = = − x e y e z xy t t ，所以，质点是在 z=2 平面内的第一像限 的一条双曲线上运动。 ⑵ r r r e e i e e j ˆ ( ) ˆ (1) ( 1) ( ) −2 2 2 −2 = − − = − + − i j 2537 ˆ 7. 2537 ˆ = −7. + 。所以，位移大小： = = = = = = = − = = = + = − + = arccos 0 90 | | z arccos ) 45 2 2 arccos( | | y arccos ) 135 2 2 arccos( | | x arccos | | ( ) ( ) ( 7.2537) 7.2537 7.2537 2, 2 2 2 2 r z r y r x r x y 与 轴夹角 与 轴夹角 与 轴夹角 2.1.3 质点运动学方程为 r t i t j ˆ (2 3) 4 ˆ 2 = + + . ⑴求质点轨迹；⑵求质点自 t=0 至 t=1 的位移. 解：⑴ 4 , 2 3 2 x = t y = t + ，消去参数 t 得： 2 x = ( y − 3) ⑵ r r r i j j i j 4 ˆ 5 ˆ 3 ˆ 4 ˆ 2 ˆ = (1) − (0) = + − = + x y 5 x y 5/3 5/4
2.2.1雷达站于某瞬时测得飞机位置为R=4100m,91=33.7° 0.75s后测得R,=4240m,0,=29.3°，R1,R2均在铅直面内，求飞机瞬时速率的近似值和飞行方向（a角) 0 R R2 02 01 解：下≈市=见-R-△顷 在图示的矢量三角形中，应用余弦定理，可求得： △1 △t AR=R+R2-2RR,cos(0-0, =V41002+42402-2×4100×4200c0s4.4° =349.58m v≈币=△R/△f=349.58/0.75≈465.8m/s 据正弦定理：△R/sm(0-02)=R2/sn(180°-8-) sim(180°-9-a)=R2sin(0,-02)/△R=4240sin4.4°/349.58 ≈0.931,180°-0-a≈111.41°，∴.a=34.89° 2.2.2一圆柱体沿抛物线轨道运动，抛物线轨道 为y=x200(长度：毫米)。第一次观 察到圆柱体在x=249mm处，经过时间2ms后，圆柱 体移到x=234mm处。求圆柱体瞬时 速度的近似值。 △F 解：由于△t很小，所以，下≈下= △t 0X1X2 其中，△1=2m5,△=△xi+△7，△x=x2-x1=234-249=-15 △y=y2-y1=(x22-x12)/200=(2342-2492)/200=-36.2 .≈（△x/△）i+(△y/△t)j=-7.5i-18.1j。其大小 |v=V(-7.5)2+(18.1)2=19.6mm/ms:与x轴夹角 a=ac0os￥=ac0s75=arc0s-0.38265)=-112.50 19.6 2.2.3一人在北京音乐厅内听音乐，离演奏者17m:另一人在广州听同一演奏的转播，广州离北京 2320km,收听者离收音机2m,问谁先听到声音？声速为340ms,电磁波传播的速率为3.0×10°m/s
2.2.1 雷达站于某瞬时测得飞机位置为 = 4100 , = 33.7 R1 m 1 0.75s 后测得 = 4240 , = 29.3 R2 m 2 ，R1,R2 均在铅直面内，求飞机瞬时速率的近似值和飞行方向（α角） 解： t R t R R v v = − = 2 1 ，在图示的矢量三角形中，应用余弦定理，可求得： m R R R R R 349.58 4100 4240 2 4100 4200cos 4.4 2 cos( ) 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 = = + − = + − − v v = R/t = 349.58/0.75 465.8m/s 据正弦定理： /sin( ) /sin(180 ) R 1 − 2 = R2 −1 − − − = − − = − = 0.931, 180 111.41 , 34.89 sin(180 ) sin( )/ 4240sin 4.4 / 349.58 1 1 2 1 2 R R 2.2.2 一圆柱体沿抛物线轨道运动，抛物线轨道 为 y=x2 /200(长度：毫米)。第一次观 察到圆柱体在 x=249mm 处，经过时间 2ms 后，圆柱 体移到 x=234mm 处。求圆柱体瞬时 速度的近似值。 解：由于Δt 很小，所以， t r v v = ， 其中， t = 2ms,r = xi ˆ + y ˆ j,x = x2 − x1 = 234 − 249 = −15 ( )/ 200 (234 249 )/ 200 36.2 2 2 2 1 2 y = y2 − y1 = x2 − x = − = − v x t i y t j i j 1 ˆ 18. 5 ˆ 7. ˆ ( / ) ˆ ( / ) + = − − 。其大小 | v | ( 7.5) (18.1) 19.6mm/ ms 2 2 = − + = ；与 x 轴夹角 = − = − − = = arccos( 0.38265) 112.5 19.6 7.5 arccos arccos v vx 2.2.3 一人在北京音乐厅内听音乐，离演奏者 17m；另一人在广州听同一演奏的转播，广州离北京 2320km，收听者离收音机 2m，问谁先听到声音？声速为 340m/s，电磁波传播的速率为 3.0×108m/s. y x 0 x1 x2 R θ θ1 R1 R2 ΔR θ1 θ2 α
解：声音传播情况如图所示， 北京人听到演奏声音所需时间： 17m 340m/s t1=17/340=0.05s 广州人听到演奏声音所需时间： 2320km,3×108m/s 2320×103.2 340m/s 2= 30×10+340 ≈0.0136s 2m 2.2.5火车进入弯道时减速，最初列车向正北以90km/h速率行驶，3min后以70km/h速率向北偏西30° 方向行驶，求列车的平均加速度。 北 L30 解：a=2-亚-△ V2 △t△t △V V1=90km/h 对矢量三角形应用余弦定理： v2=70kmh西 Av=Vy,2+y22-2y,y2c0s30°=V902+702-90×70√5 =45.69km/h=12.69m/s a=4=12.69 △13×60 =0.07m/s2,由正弦定理：=△v sina sin30° sima=y2sn30°/△v=70×0.5/45.69≈0.766，a≈50° 2.2.6(I)产=Rcosti+Rsin tj+2tk,R为正常数，求t=0,π2时的速度和加速度。(2) F=3ti-4.5t2j+6t3k,求1=0,1时的速度和加速度（写出正交分解式）。 解：()i=di/d=-Rsin ti+Rcostj+2R a=dv/dt =-Rcosti-Rsin fj.:.=Rj+2k,almo=-Ri, (2) lims12=-Ri+2k,alm12=-Rj 币=d/d=3i-90+18t2k,ā=d1dt=-9j+36tk: limo=3i,alr-o=-9j,lm=3i-9j+18k,al=-9j+36k 2.3.1图中a、b和c表示质 x(m) 点沿直线运动三种不同情况下的x-t 图像，试说明每种运动的特点 (即速度，计时起点时质点的位置坐 b 标，质点位于坐标原点的时刻) 30 解：质点直线运动的速度 10 30 020 人45° 0 30 t(s) -10 -20十
解：声音传播情况如图所示， 北京人听到演奏声音所需时间： t 17/340 0.05s 1 = = 广州人听到演奏声音所需时间： t 0.0136s 340 2 3.0 10 2320 10 8 3 2 + = 2.2.5 火车进入弯道时减速，最初列车向正北以 90km/h 速率行驶，3min 后以 70km/h 速率向北偏西 30° 方向行驶，求列车的平均加速度。 解： t v t v v a = − = 2 1 对矢量三角形应用余弦定理： k m h m s v v v v v 45.69 / 12.69 / 2 cos30 90 70 90 70 3 2 2 1 2 2 2 2 1 = = = + − = + − 2 0.07 / 3 60 12.69 m s t v a = = = ，由正弦定理： = sin sin 30 2 v v sin = sin 30/ = 700.5/ 45.69 0.766, 50 v2 v 2.2.6 ⑴ r R t i R tj tk ˆ = cos ˆ + sin ˆ + 2 ， R 为正常数，求 t=0, π /2 时 的 速 度 和 加 速 度 。 ⑵ r t i t j t k ˆ 3 ˆ 4.5 ˆ 6 2 3 = − + ，求 t=0,1 时的速度和加速度（写出正交分解式）。 解：⑴ v dr dt R t i R tj k ˆ = / = − sin ˆ + cos ˆ + 2 v Ri k a R j a dv dt R t i R tj v R j k a Ri t t t t ˆ , | ˆ | ˆ 2 , ˆ , | ˆ / cos ˆ sin ˆ. | ˆ 2 / 2 / 2 0 0 = − + = − = = − − = + = − = = = = ⑵ v dr dt i tj t k a dv dt j tk ˆ , / 9 ˆ 36 ˆ / 3 ˆ 9 ˆ 18 2 = = − + = = − + ； v i a j v i j k a j k t t t t ˆ , | 9 ˆ 36 ˆ | =0= 3 ˆ , | =0= −9 ˆ , | =1= 3 ˆ −9 ˆ +18 =1= − + 2.3.1 图中 a、b 和 c 表示质 点沿直线运动三种不同情况下的 x-t 图像，试说明每种运动的特点 （即速度，计时起点时质点的位置坐 标，质点位于坐标原点的时刻） 解：质点直线运动的速度 17m 340m/s 2320km,3×108m/s 340m/s 2m α v2 30° v1=90km/h v2=70km/h Δv 西 北 10 20 30 10 20 30° 120° 45° -10 -20 0 x(m) t(s) a b c
v=dk/dt,在xt图像中为曲线斜率。由于三种图像都是直线，因此三种运动都是匀速直线运动，设直线 与x轴正向夹角为a,则速度v=g=△x/△t 对于a种运动： v=1g120=-3m/s,x0=20m,t lm0=201g30=11.55s 对于b种运动： v=g30°=V3/3ms,xlo=10m,tlo=-10/tg30°≈-17.32s 对于c种运动： v=tg45°=1ms,tlk=0=25s,xl,-0=-25tg45°=-25m 2.3.2质点直线运动的运动学方程为x=Qcos1,a为正常数，求质点速度和加速度，并讨论运动特点（有 无周期性，运动范围，速度变化情况等) 解：x=acost,Vx=dk/dl=-asin t,a=dh/d=-acost 显然，质点随时间按余弦规律作周期性运动，运动范围： -a≤x≤a,-a≤vx≤a,-a≤ax≤a 233既伞运动员的定度为=B片V铅直向下，B日为正常量，求共加速度，时论时同足等长 时（即t→∞）速度、加速度的变化趋势。 解： =Bd 1-e dt M'+e） =p0+e")9e-1-e"X-9e9)-2Bqey (1+e-9r)2 (1+e-r)2 因为v>0,a心0，所以，跳伞员做加速直线运动，但当t→∞时，v→B,a一0，说明经过较长时间后， 跳伞员将做匀速直线运动。 2.3.4直线运行的高速列车在电↑v(km/h) 子计算机控制下减速进站。列车原 运行速率为vo=l80kam/h,其速率变化v0 V=Vocos x/5 规律如图所示。求列车行至 x=l.5km时的加速度。 解 1.5 x(km) v='ocos(πx/5),w/d=-号vosn号x. a=密·需=v密=-bπ，2sin号0，将vo=l80km/hx=l.5km代入 a=-t×3.14×1802.sin108°=-9676km/h2=-0.75m/s2
v = dx / dt ，在 x-t 图像中为曲线斜率。由于三种图像都是直线，因此三种运动都是匀速直线运动，设直线 与 x 轴正向夹角为α，则速度 v = tg = x / t 对于 a 种运动： v tg m s x m t tg s = 120 = − 3 / , | t=0= 20 , | x=0= 20 30 =11.55 对于 b 种运动： v tg ms x m t tg s 30 3 / 3 , | t 0 10 , | x 0 10/ 30 17.32 1 = = = = = = − − − 对于 c 种运动： v tg45 1ms ,t | x 0 25s, x | t 0 25tg45 25m 1 = = = = = = − = − − 2.3.2 质点直线运动的运动学方程为 x=acost,a 为正常数，求质点速度和加速度，并讨论运动特点（有 无周期性，运动范围，速度变化情况等） 解： x a t v dx dt a t a dv dt a t x x x = cos , = / = − sin , = / = − cos 显然，质点随时间按余弦规律作周期性运动，运动范围： − a x a, − a vx a, − a ax a 2.3.3 跳伞运动员的速度为 qt qt e e v − − + − = 1 1 ，v 铅直向下，β,q 为正常量，求其加速度，讨论时间足够长 时（即 t→∞）速度、加速度的变化趋势。 解： 2 2 (1 ) 2 (1 ) (1 ) (1 )( ) ) 1 1 ( q t q t q t q t q t qtt q t q t q t e qe e e qe e qe e e dt d dt dv a − − − − − − − − − + = + + − − − = + − = = 因为 v>0，a>0，所以，跳伞员做加速直线运动，但当 t→∞时，v→β，a→0，说明经过较长时间后， 跳伞员将做匀速直线运动。 2.3.4 直线运行的高速列车在电 子计算机控制下减速进站。列车原 运行速率为 v0=180km/h，其速率变化 规 律 如 图 所 示 。 求 列 车 行 至 x=1.5km 时的加速度。 解 ： cos( / 5), / sin . 0 5 0 5 v v x dv dx v x = = − dx dv dt dx dx dv a = = v v x 5 2 2 10 0 1 = − sin ，将 v0=180km/h,x=1.5km 代入 2 2 2 1 0 1 a = − 3.14180 sin 108 = −9676k m/ h = −0.75m /s v(km/h) v=v0cosπx/5 x(km) 1.5 v0
2.3.5在水平桌面上放置A、B两物体，用一根不可伸长的绳索按图示的装置把它们连接起来，C点与 桌面固定，己知物体A的加速度aA=0.5g,求物体B的加速度。 0.5g 0 X 解：设整个绳长为L,取图示坐标o-x,则3xA+(-4xB)=L 对时间求两次导数，3aA=4aB,所以aB=3aA/4=3X0.5g4=3g/8 2.3.6质点沿直线的运动学方程为x=10t+3t2.(1)将坐标原点沿0-x正方向移动2m,运动学方程如何？ 初速度有无变化？(2)将计时起点前移1$，运动学方程如何？初始坐标和初速度发生怎样的变化？加速度变 不变？ 解：x=10t+3t2,v=dx/dt=10+6t,=dv/d=6,t=0时，x=0,v=10 (1)将坐标原点向x轴正向移动2m,即令x=x-2,x=x'+2,则运动学方程为：x-10t+3t2-2,. v'=dx'/dt=10+6t,..v'=v (2)将计时起点前移1s,即令t=t+1,tt-1,则运动学方程变为：x=10(t-1)+3(代-1=10t-10+3t2-6t +3=4t+3t2-7 v=dx/dt=4+6t,t=0时，x=-7,v=4,加速度a不变。 2.4.1质点从坐标原点出发时开始计时，沿x轴运动，其加速度k=2t(cs2),求在下列两种情况下质 点的运动学方程，出发后6s时质点的位置、在此期间所走过的位移及路程。(I)初速度Vo=0:(2)初速度0 的大小为9cm/s,方向与加速度方向相反。 解：dm,=a,di=21dh,了dw=2j1d山，y,=o+r2 dx=v,dt =(vo+12)dt,fdx vofdt+ft'dt,x=vot+ 0 0 (1)v。=0时，y=t2,x=t3;x(6)=号×62=72cm x=x(6-x(0)=72m路程S=x=72cm (2)o=-9时，yx=t2-9,x=}t3-9 x=x(6)-x(0)=18cm 令Vx=0,由速度表达式可求出对应时刻=3，由于3秒前质点沿x轴反向运动，3秒后质点沿x轴正 向运动，所以路程： Sx(3)-x(0)川+|x(6)-x(3)=x(6)-2x(3) =18-2(3×33-9×3)=18+36=54cm
2.3.5 在水平桌面上放置 A、B 两物体，用一根不可伸长的绳索按图示的装置把它们连接起来，C 点与 桌面固定，已知物体 A 的加速度 aA=0.5g，求物体 B 的加速度。 解：设整个绳长为 L，取图示坐标 o-x，则 3xA+(-4xB) = L 对时间求两次导数，3aA=4aB，所以 aB = 3aA/4=3×0.5g/4 = 3g/8 2.3.6 质点沿直线的运动学方程为 x=10t+3t2 . ⑴将坐标原点沿 o-x 正方向移动 2m，运动学方程如何？ 初速度有无变化？⑵将计时起点前移 1s，运动学方程如何？初始坐标和初速度发生怎样的变化？加速度变 不变？ 解：x=10t+3t2，v=dx/dt=10+6t，a=dv/dt=6，t=0 时，x=0,v=10 ⑴将坐标原点向 x 轴正向移动 2m，即令 x'=x-2，x=x'+2，则运动学方程为：x'=10t+3t2 -2，∵ v'=dx'/dt=10+6t，∴v'=v ⑵将计时起点前移 1s，即令 t'=t+1，t=t'-1，则运动学方程变为：x = 10(t'-1) + 3(t'-1)2 = 10t' – 10 + 3t'2 - 6t' + 3 = 4t' + 3t'2 – 7 v'=dx/dt'=4+6t'，t'=0 时，x= -7，v'=4，加速度 a 不变。 2.4.1 质点从坐标原点出发时开始计时，沿 x 轴运动，其加速度 ax = 2t (cms-2 )，求在下列两种情况下质 点的运动学方程，出发后 6s 时质点的位置、在此期间所走过的位移及路程。⑴初速度 v0=0；⑵初速度 v0 的大小为 9cm/s，方向与加速度方向相反。 解： 2 0 0 2 , 2 , 0 dv a dt tdt dv tdt v v t x v t v x x x x = = = = + 3 3 1 0 0 2 0 0 0 2 0 dx v dt (v t )dt, dx v dt t dt, x v t t x t t = x = + = + = + ⑴ v 0 vx t , x t ; x(6) 6 72cm 2 3 3 1 3 2 1 0 = 时， = = = = x = x(6) − x(0) = 72m 路程S = x = 72cm ⑵ v v t x t t 9 x 9, 9 3 3 2 1 0 = − 时， = − = − x = x(6) − x(0) = 18cm 令 vx=0，由速度表达式可求出对应时刻 t=3，由于 3 秒前质点沿 x 轴反向运动，3 秒后质点沿 x 轴正 向运动，所以路程： cm S x x x x x x 18 2( 3 9 3) 18 36 54 | (3) (0) | | (6) (3) | (6) 2 (3) 3 3 1 = − − = + = = − + − = − A B aA 0.5g 0 x
2.4.2质点直线运动瞬时速度的变化规律为：vx=-3sint,求t1=3至t=5时间内的位移。 解：dk=y,dh=-3sin1d,了dk=-3 jsin tdt 4r=x-x3=3(Cos5-Cos3)=3.82m 2.4.3一质点作直线运动，其瞬时加速度的变化规律为 ar=-A @'cos w1.在1=0时，=0，x=A,其中A,o均为正常数。求此质点的运动学方程。 解 a,=dv,/dt=-Ao2cosot,dy,=-A@2 cos@tdt d水，=-Acosod=-Aosd() v,=-Aosin ot=dx/dt,dx =-Aosin @tdt dx=-Ao[sin otdi=-Afsin otd(@t) x-A=Acos@t=A(cos@t-1),x=Acos@t 2.4.4飞机着陆时为尽快停止采用降落伞制动，刚着陆时，=0时速度为Vo,且坐标x=0,假设其加速 度为ax=-bvx2,b=常量，求飞机速度和坐标随时间的变化规律。 解：d=a,l=-bm2d,∫yx2,=-bd,-yg=-b 0 L-1=-加，1=L+b,1+,y Vo Vx Vx Vo Vo 14如 ==中达-新 01+vobt bo 1+vobt x=21+,b0） 2.4.5在195m长的坡道上，一人骑自行车以18km/h的速度和-20cm/s2的加速度上坡，另一自行车同时 以5.4kmh的初速度和0.2m/s2的加速度下坡，问：(1)经多长时间两人相遇？(2)两人相遇时各走过多长的路 程？ 解：以上坡者出发点为原点沿其前进方向建立坐标。-X,用脚标1表示上坡者，用脚标2表示下坡者。 两人的加速度实际上是相同的：a1=a,=-0.2m/s2 初始条件：1=0时，x1=x10=0,x2=x20=195 y=1o=18km/h=5m/s,'2=v2o=-5.4km/h=-1.5m/s X 195 0一 2
2.4.2 质点直线运动瞬时速度的变化规律为：vx = -3 sint，求 t1=3 至 t2=5 时间内的位移。 解： = = − = − 5 3 3sin , 3 sin 5 3 dx v dt tdt dx tdt x x x x = x5 − x3 = 3(cos5 − cos3) = 3.82m 2.4.3 一质点作直线运动，其瞬时加速度的变化规律为 ax= -Aω2 cosωt.在 t=0 时，vx=0,x=A，其中 A,ω均为正常数。求此质点的运动学方程。 解 ： a dv dt A t dv A tdt x x / cos , x cos 2 2 = = − = − ， = − = − v t t x dv A tdt A td t x 0 0 0 2 cos cos ( ) x A A t A t x A t dx A tdt A td t v A t dx dt dx A tdt t x t t A x cos | (cos 1), cos sin sin ( ) sin / , sin 0 0 0 − = = − = = − = − = − = = − 2.4.4 飞机着陆时为尽快停止采用降落伞制动，刚着陆时，t=0 时速度为 v0，且坐标 x=0，假设其加速 度为 ax = - bvx 2，b=常量，求飞机速度和坐标随时间的变化规律。 解： dv a dt bv dt v dv b dt v bt x x v x v v t v x = x = − x x x = − − = − − − 0 0 , , | 1 0 2 2 v bt v v v v bt bt v bt v v x x vx 0 0 0 0 0 0 1 , 1 , 1 1 , 1 1 + = + − = − = + ln(1 ) 1 , 1 1 (1 ) 1 , 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 v bt b x v bt d v bt v bt b v dt dx v bt v dt dx v dt x t t x = + + + = + = + = = 2.4.5 在 195m 长的坡道上，一人骑自行车以 18km/h 的速度和-20cm/s2 的加速度上坡，另一自行车同时 以 5.4km/h 的初速度和 0.2m/s2 的加速度下坡，问：⑴经多长时间两人相遇？⑵两人相遇时各走过多长的路 程？ 解：以上坡者出发点为原点沿其前进方向建立坐标 o-x，用脚标 1 表示上坡者，用脚标 2 表示下坡者。 两人的加速度实际上是相同的： 2 1 2 a = a = −0.2m/s v v k m h m s v v k m h m s t x x x x 18 / 5 / , 5.4 / 1.5 / 0 0, 195 1 10 2 20 1 10 2 20 = = = = = − = − 初始条件： = 时， = = = = x 0 195 a1 a2 v10 v20
根据匀变速直线运动公式： x1=y1ol+at2=51-0.112 x2=195+v2o1+a2t2=195-1.51-0.112 (1)令x1=x2,可求得相遇时间：5t=195-1.5t,=195/6.5=30s (2)对于上坡者，在相遇期间做的不一定是单方向直线运动，据上坡者的速度表达式：V1=5-02t,令V1=0, 求得对应时刻=25s,所以，上坡者在25s前是在上坡，但25s后却再下坡。因此，上坡者在30s内走过的 路程： S1x(25)-x(0)1+|x(30)-x(25)=2x(25)-x(30) =2(5×25-0.1×252)-(5×30-0.1×302)=65m 对于下坡者，因为做单方向直线运动，所以30s内走过的路程： S2x2(30)-x2(0)=x2(0)-x2(30)=195-60=135m 2.4.6站台上送行的人，在火车开动时站在第一节车厢的最前面，火车开动后经过△=24s,火车第一 节车厢的末尾从此人的前面通过，问第七节车厢驶过他面前需要多长时间？火车做匀加速运动。 解：设每节车厢长为L,以地为参考系，以人所在点为原点建立图示坐标0-X,以第一节车厢的前端 点为研究对象，=0时，前端点 1 的坐标x=0,速度v=0,据匀加速运 动公式： ● ●● x=}at2,令x=L,求得： a=2L-2L 424京 x=Lt2/242 令x=6L,可求得第6节车厢尾端通过人时所需时间t6: 6L=Lr2/242,t2=6×242,t=t。=24W6 令x=7L,可求得第7节车厢尾端通过人时所需时间t: 7L=L12/242,t2=7×242,t=t7=24V7 因此，第7节车厢通过人所需时间： △t=t,-t。=24(V7-V6)=4.71s 2.4.7在同一铅直线上相隔h的两点以同样速率0 上抛二石子，但在高处的石子早o秒被 抛出，求此二石子何时何处相遇？ 解：以地为参考系，建立图示坐标0-y。据题意， 设1=0时，上面石子坐标y1=h,速度 v以=vo:1=0时，下面石子坐标y2=0,2=v0 解法1：根据匀变速直线运动的规律，可知
根据匀变速直线运动公式： 2 2 2 2 1 2 20 2 2 2 1 1 1 10 195 195 1.5 0.1 5 0.1 x v t a t t t x v t a t t t = + + = − − = + = − ⑴令 x1=x2，可求得相遇时间：5t=195-1.5t, t=195/6.5=30s ⑵对于上坡者，在相遇期间做的不一定是单方向直线运动，据上坡者的速度表达式：v1=5-0.2t，令 v1=0， 求得对应时刻 t=25s，所以，上坡者在 25s 前是在上坡，但 25s 后却再下坡。因此，上坡者在 30s 内走过的 路程： m S x x x x x x 2(5 25 0.1 25 ) (5 30 0.1 30 ) 65 | (25) (0) | | (30) (25) | 2 (25) (30) 2 2 1 1 1 1 1 1 1 = − − − = = − + − = − 对于下坡者，因为做单方向直线运动，所以 30s 内走过的路程： S2 =| x2 (30) − x2 (0)|= x2 (0) − x2 (30) =195−60 =135m 2.4.6 站台上送行的人，在火车开动时站在第一节车厢的最前面，火车开动后经过Δt=24s，火车第一 节车厢的末尾从此人的前面通过，问第七节车厢驶过他面前需要多长时间?火车做匀加速运动。 解：设每节车厢长为 L，以地为参考系，以人所在点为原点建立图示坐标 o-x，以第一节车厢的前端 点为研究对象，t=0 时，前端点 的坐标 x=0，速度 v=0，据匀加速运 动公式： 2 2 24 2 ( ) 2 L t L a = = ， ∴ 2 2 1 x = at ，令 x=L，求得： 2 2 x = Lt / 24 令 x=6L，可求得第 6 节车厢尾端通过人时所需时间 t6： 6 / 24 , 6 24 , 6 24 6 2 2 2 2 L = Lt t = t = t = 令 x=7L，可求得第 7 节车厢尾端通过人时所需时间 t7： 7 / 24 , 7 24 , 7 24 7 2 2 2 2 L = Lt t = t = t = 因此，第 7 节车厢通过人所需时间： t t t 24( 7 6) 4.71s = 7 − 6 = − = 2.4.7 在同一铅直线上相隔 h 的两点以同样速率 v0 上抛二石子，但在高处的石子早 t0 秒被 抛出，求此二石子何时何处相遇？ 解：以地为参考系，建立图示坐标 o-y。据题意， 设 t=0 时，上面石子坐标 y1=h,速度 v1=v0；t=t0 时，下面石子坐标 y2=0，v2=v0 解法 1：根据匀变速直线运动的规律，可知 2 1 0 x y h 0
片=h+v1-g12(1)y2=vo(1-o)-gt-1o)2(2) 令y1=2,有h+vo1-g12=(1-o)-支g(1-16)2 求得相遇时间1=h++名，代入或2中，可求得 8082 相遇时石子坐标y=h+_及1。 88,48,1 解法2：可根据速度、加速度的导数定义和初始条件，通过积分得到(1)、(2)，然后求解。 2.4.8电梯以1.0m/s的匀速率下降，小孩在电梯中跳离地板0.50m高，问当小孩再次落到地板上时， 电梯下降了多长距离？ 解：以电梯为参考系，小孩相对电梯做竖直上抛运动，他从起跳到再次落到地板所需时间，是他从最 高处自由下落到地板所需时间的2倍。由自由落体运动公式：=g,可求得从最高出落到地板所需时 间：t=√2g/h=√2×9.8/0.5≈0.32s,所以小孩做竖直上抛所需时间为0.64s,在此时间内电梯对地 下落距离： L=1.0×0.64=0.64m 2.5.1质点在o-xy平面内运动，其加速度为a=-costi-sintj,位置和速度的初始条件为：t=0时， 下=，下=i,求质点的运动学方程并画出轨迹。 解： 布=ad=(←cosi-sin列)d,了本=-jcos1d-jjsn1d =j-sin ti+(cost-1)j=-sin ti+cost di=下d=(-snii+cosj)dh,∫d而=-ijsn1dl+汀costdr =+(cost-1)i+sin tj=costi +sin tj .∴.x=C0st,y=smt x2+y2=1 2.5.2在同一竖直面内的同一水平线上A、B两点分别以30°、60°为发射角同时抛出两球，欲使两小 球相遇时都在自己的轨道的最高点，求A、B两点间的距离。己知小球在A点的发射速度v4=9.8米/秒。 解：以A点为原点建立图示坐标系，取发射时刻为计时起点，两点间距离为S,初始条件如图所示。 据斜抛规律有： X=V4o COS301 (1)=VBo COS601+S (2) V=V4osin30°-gt(3)V=Vo0sin60°-gt (4) 满足题中条件，在最高点相遇，必有=vB=O,xA=xB
] 4 1 [ 2 1 2 , ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 2 2 0 0 0 0 2 2 0 1 0 0 2 2 1 1 2 0 2 2 0 1 2 0 0 2 2 1 1 0 gt gt h g v y h t g v gt h t y y h v t gt v t t g t t y h v t gt y v t t g t t = + − − = + + = + − = − − − = + − = − − − 相遇时石子坐标 求得相遇时间 ，代入⑴或⑵中，可求得 令 有 ⑴ ⑵ 解法 2：可根据速度、加速度的导数定义和初始条件，通过积分得到⑴、⑵，然后求解。 2.4.8 电梯以 1.0m/s 的匀速率下降，小孩在电梯中跳离地板 0.50m 高，问当小孩再次落到地板上时， 电梯下降了多长距离？ 解：以电梯为参考系，小孩相对电梯做竖直上抛运动，他从起跳到再次落到地板所需时间，是他从最 高处自由下落到地板所需时间的 2 倍。由自由落体运动公式： 2 2 1 h = gt ，可求得从最高出落到地板所需时 间： t = 2g / h = 29.8/ 0.5 0.32s ，所以小孩做竖直上抛所需时间为 0.64s，在此时间内电梯对地 下落距离： L = 1.0×0.64 = 0.64 m 2.5.1 质点在 o-xy 平面内运动,其加速度为 a t i t j ˆ = −cos ˆ − sin ，位置和速度的初始条件为：t=0 时， v j r i ˆ , = ˆ = ，求质点的运动学方程并画出轨迹。 解： r i t i tj ti tj dr vdt ti tj dt dr i tdt j tdt v j ti t j ti tj dv adt ti tj dt dv i tdt j tdt r t t i v t t j ˆ ˆ (cos 1) ˆ sin ˆ cos ˆ sin cos ˆ ( sin ˆ cos ˆ) , ˆ sin ˆ cos ˆ ˆ sin ˆ (cos 1) ˆ sin ( cos ˆ sin ˆ) , ˆ cos ˆ sin ˆ 0 0 ˆ 0 0 = + − + = + = = − + = − + = − + − = − + = = − − = − − 1 cos , sin 2 2 + = = = x y x t y t 2.5.2 在同一竖直面内的同一水平线上 A、B 两点分别以 30º、60º为发射角同时抛出两球，欲使两小 球相遇时都在自己的轨道的最高点，求 A、B 两点间的距离。已知小球在 A 点的发射速度 vA=9.8 米/秒。 解：以 A 点为原点建立图示坐标系，取发射时刻为计时起点，两点间距离为 S，初始条件如图所示。 据斜抛规律有： ⑶ ⑷ ⑴ ⑵ v v gt v v gt x v t x v t S Ay AO By BO A AO B BO = − = − = = + sin 30 sin 60 cos30 cos60 满足题中条件，在最高点相遇，必有 vAy=vBy=0,xA=xB Y vAO vBO 30º 60º A S B x x y
令(3)，(4)=0，t=V4osin30/g(⑤)，vo=V4osin30°/sin60°(6) 令(1)=(2)，得S=(V4ocos30°-VBo COS601(7) 把(5)，(6)代入(7)中得：S='40(cos30°-0.5c1g60°)=2.83m 2g 2.5.3迫击炮的发射角为60°发射速率150ms,炮弹击中倾角为30°的山坡上的目标，发射点正在山 脚，求弹着点到发射点的距离OA 解：以发射点为原点，建立图示坐标 o-x,斜抛物体的轨迹方程为（见教 材)： Vo 8 y=xtga- 2vocos-a 土60°30° X 本题，a=60°，Vo=150m/s,A点坐标XAyA 应满足轨迹方程，所以： yA=x4g60°- 2v2cos260 x2=5x,-2x20 另外，根据图中几何关系，可知：x4=OAcos.30°=5OA y4=OAsn30°=OA,代入①中，有： 01=0A-380,0A=2-2x1502 ≈1531m 2 3g3×9.8 2.5.4轰炸机沿与铅直方向成53°俯冲时，在763m的高度投放炸弹，炸弹在离开飞机5.0s时击中目 标，不计空气阻力：(1)轰炸机的速率是多少？(2)炸弹在飞行中通过的水平距离是多少？(3)炸弹击中目标前 一瞬间的速度沿水平和铅直方向的分量是多少？ 解：以投放点为原点，建立图示坐标0-xy, 设炸弹初速度（即轰炸机速度）为 X vo.由于炸弹在飞行过程中的加速度ā=g, 539 所以炸弹在X方向做匀速直线运动， 在y方向做竖直下抛运动，有 vx=Vo Sin53°① y,=Vo COS53°+g1 ② x=vsin531③y=vcos531+gt2④ (1)令=5.0s,y=763m,由④可求得轰炸机的速率： ,=y-058-763-0.5×9.8×52 ≈212.86m/s cos531 0.6081×5 (2)将Vo代入①中，可求得炸弹击中目标时速度的水平分量： y=212.86sin53°=170m/s 令仁5，由②可求得炸弹击中目标时速度的竖直分量：
ctg m g v S S v v t t v g v v AO AO BO AO BO AO (cos30 0.5 60 ) 2.83 2 , ( cos30 cos60 ) , 0, sin 30 / , sin 30 /sin 60 2 = − = = = − = = = 把⑸ ⑹代入⑺中得： 令⑴ ⑵，得 ⑺ 令⑶ ⑷ ⑸ ⑹ 2.5.3 迫击炮的发射角为 60°发射速率 150m/s，炮弹击中倾角为 30°的山坡上的目标，发射点正在山 脚，求弹着点到发射点的距离 OA. 解：以发射点为原点，建立图示坐标 o-x，斜抛物体的轨迹方程为（见教 材）： 2 2 2 0 2 cos x v g y xtg = − 本题，α=60°，v0=150m/s，A 点坐标 xA,yA 应满足轨迹方程，所以： 2 2 0 2 2 2 0 2 3 2 cos 60 A A 60 A A A x v g x x v g y x tg = − = − ① 另外，根据图中几何关系，可知： xA OA 2 OA 3 = cos30 = yA OA 2 OA 1 = sin 30 = ，代入①中，有： m g v OA OA v g OA OA 1531 3 9.8 2 150 3 2 , 2 3 2 2 0 2 2 0 2 3 2 1 = − = = 2.5.4 轰炸机沿与铅直方向成 53°俯冲时，在 763m 的高度投放炸弹，炸弹在离开飞机 5.0s 时击中目 标，不计空气阻力：⑴轰炸机的速率是多少？⑵炸弹在飞行中通过的水平距离是多少？⑶炸弹击中目标前 一瞬间的速度沿水平和铅直方向的分量是多少？ 解：以投放点为原点，建立图示坐标 o-xy, 设炸弹初速度（即轰炸机速度）为 v0. 由于炸弹在飞行过程中的加速度 a gj = ˆ ， 所以炸弹在x方向做匀速直线运动， 在 y 方向做竖直下抛运动，有 ③ ④ ① ② 2 2 1 0 0 0 0 sin 53 cos53 sin 53 cos53 x v t y v t gt v v v v gt x y = = + = = + ⑴令 t=5.0s，y=763m，由④可求得轰炸机的速率： m s t y gt v 212.86 / 0.6081 5 763 0.5 9.8 5 cos53 0.5 2 2 0 − = − = ⑵将 v0 代入①中，可求得炸弹击中目标时速度的水平分量： v m s x = 212.86sin 53 =170 / 令 t=5，由②可求得炸弹击中目标时速度的竖直分量： x y A 60° 30° v0 x y 0 v0 53°
v,=212.86cos53°+9.8×5=177.1m/s 2.5.5雷达监测员正在监视一越来越近的抛射体，在某一时刻，他给出这样的信息：(1)抛射体达到最大 高度且正以速率ⅴ沿水平方向运动：(2)观测员到抛射体的直线距离是1：(3)观测员观测抛体的视线与水平 方向成日角。问：(I)抛射体命中点到观测者的距离D等于多少？(2)何种情况下抛体飞越观察员的头顶以后 才命中目标？何种情况下抛体在未 达到观察员以前就命中目标？ 解：以抛体所达最大高度处为 0 计时起点和坐标原点，建立图示坐标 o-xy,抛体以速度v做平抛运动. 设命中时间为t1,由自由落体公式： 女 Isin 0=igtt =21sin 0/g 点 命中点x坐标为： x1=vt=v√21s0/g,由图中几何 关系，观测者的x坐标：x2=lC0s0。所以，观测者与命中点间的距离： D=x2-xHIcos0-v21sin 0/g 当x1x2,即v√2lsn0/gx2,即v>Icos0, 。8。时，则抛体在飞越观察员后才命中目标。 V2Isin e 2.61列车在圆弧形轨道上自东转向北行驶，在我们所讨论的时间范围内，其运动学方程为S=80t-t已 (m,s),=0时，列车在图中0点，此圆弧形轨道的半径=1500m,求列车驶过0点以后前进至1200m处 的速率及加速度。 解：S=80t-t2①v=dS/dt=80-2t② 北t 令S=1200,由①可求得对应时间： t2-801+1200=0,求得1=60s,20s 将=60代入②中，v=-40,不合题意， 舍去：将=20代入②中，v=40m/s, 此即列车前进到1200m处的速率。 a,=d/d=-2m/s2,an=v2/r=402/1500=1.067m/s2 a=Va,2+an2=V-2)2+1.067-2.267m/s2 1.067 a所成夹角：a=arctg a=actg( )≈152° a. -2 2.6.2火车以200米/小时的速度驶入圆形轨道，其半径为300米。司机一进入圆弧形轨道立即减速， 减速度为2g。求火车在何处的加速度最大？最大加速度是多少？ 解：沿火车运动的圆形轨道建立弧坐标o-s,1=0时，s=0,v=vo=200k/h=55.56m/小。据题意a,=-2g, v=o+a1=0-2g,am=v/R=o-2g到2/R。:a=a.2+an3P=4g2+m-2g到R72,显然，1=0时，a最大
v m s y = 212.86cos53 + 9.85 = 177.1 / 2.5.5 雷达监测员正在监视一越来越近的抛射体，在某一时刻，他给出这样的信息：⑴抛射体达到最大 高度且正以速率 v 沿水平方向运动；⑵观测员到抛射体的直线距离是 l；⑶观测员观测抛体的视线与水平 方向成θ角。问：⑴抛射体命中点到观测者的距离 D 等于多少？⑵何种情况下抛体飞越观察员的头顶以后 才命中目标？何种情况下抛体在未 达到观察员以前就命中目标？ 解：以抛体所达最大高度处为 计时起点和坐标原点，建立图示坐标 o-xy，抛体以速度 v 做平抛运动. 设命中时间为 t1，由自由落体公式： lsin gt ,t 1 2lsin / g 2 2 1 1 = = 命中点 x 坐标为： x1 = vt1 = v 2lsin / g ，由图中几何 关系，观测者的 x 坐标： x2 = l cos 。所以，观测者与命中点间的距离： | | | cos 2 sin / | D = x2 − x1 = l − v l g 当 x1x2，即 2 sin cos l g v l 时，则抛体在飞越观察员后才命中目标。 2.6.1 列车在圆弧形轨道上自东转向北行驶，在我们所讨论的时间范围内，其运动学方程为 S=80t-t 2 （m,s），t=0 时，列车在图中 O 点，此圆弧形轨道的半径 r=1500m，求列车驶过 O 点以后前进至 1200m 处 的速率及加速度。 解：S=80t-t 2 ① v=dS/dt=80-2t ② 令 S=1200，由①可求得对应时间： t 80t 1200 0, t 60s,20s 2 − + = 求得 = 将 t=60 代入②中，v=-40，不合题意， 舍去；将 t=20 代入②中，v=40m/s， 此即列车前进到 1200m 处的速率。 − = = = + = − + = = = − = = = ) 152 2 1.067 ( ( 2) 1.067 2.267 / / 2 / , / 40 /1500 1.067 / 2 2 2 2 2 2 2 2 2 arctg a a a v arctg a a a m s a dv dt m s a v r m s n n n 与 所成夹角： 2.6.2 火车以 200 米/小时的速度驶入圆形轨道，其半径为 300 米。司机一进入圆弧形轨道立即减速， 减速度为 2g。求火车在何处的加速度最大？最大加速度是多少？ 解：沿火车运动的圆形轨道建立弧坐标 o-s，t=0 时，s=0,v=v0=200km/h=55.56m/s。据题意 aτ= -2g， v=v0+aτt=v0 -2g t，an=v2 /R=(v0 –2gt)2 /R。∴a=(aτ 2+an 2 ) 1/2=[4g2+(v0 –2gt)4 /R2 ] 1/2，显然，t=0 时，a 最大， x y o θ v l 命 中 点 观 测 者 x2 x1 东 北 O S τ aτ an a v α