第6章万有引力定律习题解答 42 第6章万有引力定律习题解答 第六章基本知识小结 6.1.1设某行星绕中心天体以公转周期T沿圆轨道运行，试用开 普勒第三定律证明：一个物体由此轨道自静止而自由下落至中心天 1.开普勒定律 (1)行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于一个焦点上 体所需的时间为1=左 (2)行星位矢在相等时间内扫过相等面积 证明：物体自由下落的加速度就是在行星上绕中心天体公转的 (3)行星周期平方与半长轴立方成正比T2a3=C 向心加速度： 2.万有引力定律∫=G“” 2 a= R 2π迟2.1=4x2R/T2 3.引力势能E,r)=-G4" 4.三个宇宙速度 由自由落体公式：R=ar2,1=V2R/ā=左 环绕速度V=√Rg=7.9kmls (此题原来答案是：1=石，这里的更正与解答仅供参考) 脱离速度Y2=√2y,=1l.2kms 6.2.1土星质量为5.7×10kg,太阳质量为2.0×103kg,两者 的平均距离是1.4×102m.(1)太阳对土星的引力有多大？(2)设土星沿 逃逸速度3=16.7km/s 园轨道运行，求它的轨道速度。 解：(1)据万有引力定律，太阳与土星之间的引力 f=GMm=6.51X1rX2.0X1030X5.7X102/1.4X102 ≈3.8X1022N (2)选择日心恒星参考系，对土星应用牛顿第二定律：f=斤 v=√f1m=V3.8×102×1.4×02/5.7×1026≈9.7×103m15 6.2.3(1)一个球形物体以角速度ω转动，如果仅有引力阻碍球的 离心分解，此物体的最小密度是多少？由此估算巨蟹座中转数为每 秒30转的脉冲星的最小密度。这脉冲星是我国在1054年就观察到 的超新星爆的结果。(2)如果脉冲星的质量与太阳的质量相当（≈2X 1030kg或3×105M,M为地球质量)，此脉冲星的最大可能半径是 多少？(3)若脉冲星的密度与核物质相当，它的半径是多少？核密度 约为1.2×107kg/m3
第6章万有引力定律习题解答 42 第6章万有引力定律习题解答 第六章基本知识小结 ⒈ 开普勒定律 ⑴ 行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于一个焦点上 ⑵ 行星位矢在相等时间内扫过相等面积 ⑶ 行星周期平方与半长轴立方成正比 T 2 /a3=C ⒉ 万有引力定律 2 r M m f = G ⒊ 引力势能 r M m Ep (r) = −G ⒋ 三个宇宙速度 环绕速度 V Rg 7.9km/s 1 = = 脱离速度 V2 = 2V1 = 11.2 km/s 逃逸速度 V3 = 16.7 km/s. 6.1.1 设某行星绕中心天体以公转周期 T 沿圆轨道运行，试用开 普勒第三定律证明：一个物体由此轨道自静止而自由下落至中心天 体所需的时间为 2 T t = 证明：物体自由下落的加速度就是在行星上绕中心天体公转的 向心加速度： 2 2 2 2 4 / 1 ) 2 ( R T T R R R v a = = = 由自由落体公式： 2 2 2 1 , 2 / T R = at t = R a = （此题原来答案是： 4 2 T t = ，这里的更正与解答仅供参考） 6.2.1 土星质量为 5.7×10 26kg，太阳质量为 2.0×1030kg，两者 的平均距离是 1.4×1012m.⑴太阳对土星的引力有多大？⑵设土星沿 圆轨道运行，求它的轨道速度。 解：⑴据万有引力定律，太阳与土星之间的引力 f =GMm/r2=6.51×10-11×2.0×1030×5.7×1026/(1.4×1012) 2 ≈3.8×1022N ⑵选择日心恒星参考系，对土星应用牛顿第二定律：f=mv2 /r v f r/ m 3.8 10 1.4 0 / 5.7 10 9.7 10 m /s 2 2 1 2 2 6 3 = = 6.2.3 ⑴一个球形物体以角速度ω转动，如果仅有引力阻碍球的 离心分解，此物体的最小密度是多少？由此估算巨蟹座中转数为每 秒 30 转的脉冲星的最小密度。这脉冲星是我国在 1054 年就观察到 的超新星爆的结果。⑵如果脉冲星的质量与太阳的质量相当（≈2× 1030kg 或 3×105Me，Me 为地球质量），此脉冲星的最大可能半径是 多少？⑶若脉冲星的密度与核物质相当，它的半径是多少？核密度 约为 1.2×1017kg/m3
第6章万有引力定律习题解答 43 第6章万有引力定律习题解答 解：(I)设此球体半径为R质量为m考虑球体赤道上的质元△m, 它所受到的离心惯性力最大∫=△m0R,若不被分解，它所受到的 解：角动量守恒a=,b(1) 引力至少等于离心惯性力，即Gm4mR=4mw2R.m=w2R3/G, 能量守恒m2-G=支m,2-G② 而m=4πRpB,代如上式，可求得，p= 牛二定律G票=m号 (3) 脉冲星的最小密度p=部13x104kg/m2 (1),(2),(3)联立，解得a=3×108km (2)据密度公式，m=pV=4πR3p/3,.R3=3m/4πp 6.2.6一匀质细杆长L,质量为M求距其一端为d处单位质量质 R=V3×2×1030/(4×3.14×1.3×104)=1.5×102km 点受到的引力（亦称引力场强度）。 解：选图示坐标0-x,单位质 (3)R=/3×2×100/(4×3.14×1.2×1017)=16km 量质点在坐标原点处，在杆上取 质元dm=dxML,其坐标为x,它对 6.2.4距银河系中心约25000光年的太阳约以170000000年的周 期在一园周上运动。地球距太阳8光分。设太阳受到的引力近似为 原点处质点的引力为：=G=兴告，由于各质元对质点的引 银河系质量集中在其中心对太阳的引力。试求以太阳质量为单位银 力方向均沿x轴正向，.杆对质点的引力方向沿x轴正向，大小为 河系的质量。 解：设银河系、太阳、地球的质量分别为M、m、m':太阳距 x2水=坐=学(-)=0 d+L 银河系中心的距离为=2.5×10光年=2.5×10×365×24×60光分 =1.31×10°光分，绕银河系中心公转角速度为w=108X2π/1.7年： 62.7半径为R的细半圆环线密度为入，求位于圆心处单位质量 地球距太阳的距离为=8光分，绕太阳公转角速度为ω=2π/年 质点受到的引力（引力场强度） 分别对地球和太阳应用万有引力定律和牛顿第二定律： 解：由对称性分析可知，引力场强度 Gmm'/r'2=m'02r (1)GMm/r2=m02r (2) 的x分量等于零。 由(1)可得G=w2m,代入(2)中，可求得 质元dm=入Rd8所受引力的y分量为 M=(号)P(华)'m=(oP(0)Pm=1.53x10m df =-GIxdm. R2sin 0= G -sin 0do R 6.2.5某彗星围绕太阳运动，远日点的速度为10k/s,近日点的 sin 0de=Gi cos R R 速度为80kms。若地球在半径为1.5×10km圆周轨道上绕日运动， 速度为30km/s。求此彗星的远日点距离。 =-2G1/R
第6章万有引力定律习题解答 43 第6章万有引力定律习题解答 解：⑴设此球体半径为 R,质量为 m.考虑球体赤道上的质元Δm, 它所受到的离心惯性力最大 f *=Δmω2R，若不被分解，它所受到的 引力至少等于离心惯性力,即 GmΔm/R2=Δmω2R ∴ m=ω2R 3 /G ， 而 m=4πR 3ρ/3，代如上式，可求得， G 4 3 2 = 脉冲星的最小密度 14 3 4 6.51 10 3 (30 2 ) 1.3 10 / 1 1 2 = − kg m ⑵据密度公式，m =ρV=4πR 3ρ/3 ,∴R 3=3m/(4πρ) R k m 3 30 14 2 = 3 210 /(43.141.310 ) = 1.510 ⑶ R 3 3 2 10 /(4 3.14 1.2 10 ) 16k m 30 17 = = 6.2.4 距银河系中心约 25000 光年的太阳约以 170000000 年的周 期在一圆周上运动。地球距太阳 8 光分。设太阳受到的引力近似为 银河系质量集中在其中心对太阳的引力。试求以太阳质量为单位银 河系的质量。 解：设银河系、太阳、地球的质量分别为 M、m、m'；太阳距 银河系中心的距离为 r=2.5×104 光年=2.5×104×365×24×60 光分 =1.31×106 光分，绕银河系中心公转角速度为ω=10-8×2π/1.7 年； 地球距太阳的距离为 r'=8 光分，绕太阳公转角速度为ω'=2π/年 分别对地球和太阳应用万有引力定律和牛顿第二定律： Gmm'/ r' 2 = m'ω' 2 r' （1） GMm / r2 = mω2 r (2) 由（1）可得 G=ω' 2 r' 3 /m，代入（2）中，可求得 M r r m m m 3 11 8 2 1.31 10 1.7 10 3 1 ' 2 ' ( ) ( ) ( ) ( ) 1.53 10 6 = = 8 = 6.2.5 某彗星围绕太阳运动，远日点的速度为 10km/s，近日点的 速度为 80km/s。若地球在半径为 1.5×108km 圆周轨道上绕日运动， 速度为 30km/s。求此彗星的远日点距离。 解：角动量守恒 mv1a = mv2b ⑴ 能量守恒 b M m a M m mv −G = mv −G 2 2 2 1 2 2 1 1 ⑵ 牛二定律 R v R M m G m 2 2 ' ' = ⑶ ⑴,⑵,⑶联立，解得 a = 3×108 km 6.2.6 一匀质细杆长 L，质量为 M.求距其一端为 d 处单位质量质 点受到的引力（亦称引力场强度）。 解：选图示坐标 0-x,单位质 x dx o 量质点在坐标原点处，在杆上取 质元 dm=dxM/L,其坐标为 x,它对 原点处质点的引力为： 2 2 1 x dx L GM x G dm df = = ,由于各质元对质点的引 力方向均沿 x 轴正向，∴杆对质点的引力方向沿 x 轴正向，大小为 ( ) 2 1 1 1 | ( ) d d L GM L d d L GM d d L L x GM d L d L GM f x dx + + + + − = = = − = 6.2.7 半径为 R 的细半圆环线密度为λ，求位于圆心处单位质量 质点受到的引力（引力场强度） 解：由对称性分析可知，引力场强度 的 x 分量等于零。 质元 dm=λRdθ所受引力的 y 分量为 d R G R dm df y G sin sin 1 2 = − = − G R R G d R G f y 2 / sin cos | 0 0 = − = − = L d x y R θ Rdθ
第6章万有引力定律习题解答 44 第6章万有引力定律习题解答 63.1考虑一转动的球形行星，赤道上各点的速度为V,赤道上 1 的加速度是极点上的一半，求此行星极点处的粒子的逃逸速度。 2mw2-GMm=0v2=2G4/R。画 解：设行星半径为R,质量为M,粒子m在极点处脱离行星所 R 需的速度为"，在无穷远处的速度、引力势能为零，由机械能守恒定 将Mm=0.0123Me,Rm=0.27R代入(1)中，有 律有 v2=0.091GM./R. (2) 3m2-GR=0即v2=2GM1R(0 以球形行星为参考系（匀速转动参考系），设粒子m在赤道上和 由牛二定律GMm/R2=mg,∴.GM.IR.=R8 极点上的加速度分别为a和ae 粒子m在赤道上除受引力作用外还受离心惯性力作用，由牛二 代入(2)中，有v2=0.091R.g 定律有G伽、P2 -m。=ma1即GM-RV2=a,R2(2) ∴.v=√0.091×9.8×4×10/2π=2.38(ms1) R 粒子m在极点上只受引力作用，由牛二定律有 GMr=ma,即GM=a,R2③ R2 已知a2=2a1(40 由(2)、(3)、(4)可求得GM1R=2V2代入(1)中，得 v2=4W2.v=2W 6.3.2已知地球表面的重力加速度为9.8ms2,围绕地球的大圆周 长为4×10m,月球与地球的直径及质量之比分别是 Dm/D.=0.27和Mm/M。=0.0123.试计算从月球表面逃离月球 引力场所必需的最小速度。 解：设质点m脱离月球的速度为"，在距月球无穷远处的速度、 引力势能为零，由机械能守恒定律，有
第6章万有引力定律习题解答 44 第6章万有引力定律习题解答 6.3.1 考虑一转动的球形行星，赤道上各点的速度为 V，赤道上 的加速度是极点上的一半，求此行星极点处的粒子的逃逸速度。 解： 设行星半径为 R，质量为 M，粒子 m 在极点处脱离行星所 需的速度为 v，在无穷远处的速度、引力势能为零，由机械能守恒定 律有 0 2 2 1 − = R M m mv G 即 v 2GM / R 2 = ⑴ 以球形行星为参考系（匀速转动参考系），设粒子 m 在赤道上和 极点上的加速度分别为 a1 和 a2。 粒子 m 在赤道上除受引力作用外还受离心惯性力作用，由牛二 定律有 2 1 2 1 2 2 ma GM RV a R R V m R Mm G − = 即 − = ⑵ 粒子 m 在极点上只受引力作用，由牛二定律有 2 2 ma2 GM a2R R Mm G = 即 = ⑶ 已知 a2 = 2a1 ⑷ 由⑵、⑶、⑷可求得 2 GM / R = 2V 代入⑴中，得 v 4V v 2V 2 2 = = 6.3.2 已知地球表面的重力加速度为 9.8ms-2，围绕地球的大圆周 长为 4×107m，月球与地球的直径及质量之比分别是 / = 0.27 / = 0.0123. Dm De 和Mm Me 试计算从月球表面逃离月球 引力场所必需的最小速度。 解： 设质点 m 脱离月球的速度为 v，在距月球无穷远处的速度、 引力势能为零，由机械能守恒定律，有 m m m m v GM R R M m mv G 0 2 / 2 1 2 2 − = = ⑴ 将 Mm=0.0123Me，Rm=0.27Re 代入⑴中，有 GMe Re v 0.091 / 2 = ⑵ 由牛二定律 GMem/ Re = mg, GMe / Re = Reg 2 代入⑵中，有 v 0.091Re g 2 = 0.091 9.8 4 10 / 2 2.38 ( ) 7 −1 v = = ms