西安电子科技大学：《大学物理》课程习题解答（力学）第11章流体力学习题解答.doc_大学文库

第11章流体力学习题解答 75 第11章流体力学习题解答第十一章流体力学基本知识小结 112.1若被测容器A内水的压强比大气压大很多时，可用图中的水银压强计。(1)此压强计的优点是什么？（②）如何读出压强？设 1理想流体就是不可压缩、无粘性的流体：稳定流动（或称定 h1=50cm,h2=45cm,h=60cm,h=30cm,求容器内的压强是多少大气常流动)就是空间各点流速不变的流动。压？ 2静止流体内的压强分布解：()优点：可以测很高的压强，而压强计的高度不用很大相对地球静止：中=一Pg少，P,-P2=pg劝(h两点间高度) (2)设界面处压强由右向左分别为p0, p1,P2,p,水和水银的密度分别用p,p'表相对非惯性系静止：先找出等压面，再采用与惯性系相同的方示，据压强公式，有：法分析。 3连续性方程：当不可压缩流体做稳定流动时，沿一流管，流 P-Po P'gh,P-P2 Pghz, P3 -P2=p'ghs,P-P3=pgh 量守恒，即Q=y△s,=V2△2=恒量 .P=pgha +Ps pgha +p'ghs +p 4伯努力方程：当理想流体稳定流动时，沿一流线， pgh pghs -pgh2 +p p+Pgh+pv2=恒量 =pgha +pghs-pgh +pgh +Po =p8(ha -h)+pg(h+hs)+Po 5.粘性定律：流体内面元两侧相互作用的粘性力与面元的面积、用大气压表示：速度梯度成正比，即∫=刀需△s.刀为粘性系数，与物质、温度、 p4=1+-+么+6=1+30-45+50+60 2.43atm 压强有关。 13.6×7676 13.6×7676 6雷诺数及其应用 R.=Pv 1为物体某一特征长度 11.2.2A,B两容器内的压强都很大，现刀欲测它们之间的压强差，可用图中装置， (I)层流、湍流的判据：R。R,湍流 △h=50cm,求A,B内的压强差是多少厘米水银柱高？这个压强计的优点是什么？ (2)流体相似律：若两种流体边界条件相似，雷诺数相同，则两种流体具有相同的动力学特征。解：由压强公式：P4-P1=P 7泊肃叶公式：粘性流体在水平园管中分层流动时，距管轴 P-P2 =PgAh,P8-P2=p8(Ah+h2) 处的流速)=二(R2-r2) 4n1 P-P8=(p+pgh)-(p2 +pgh +p8Ah) (P-P2)+pg(h-h -Ah)=p'gAh-pgAh

第 11 章流体力学习题解答 75 第 11 章流体力学习题解答第十一章流体力学基本知识小结 ⒈理想流体就是不可压缩、无粘性的流体；稳定流动（或称定常流动）就是空间各点流速不变的流动。 ⒉静止流体内的压强分布相对地球静止： dp = − gdy, p1 − p2 = gh （h 两点间高度）相对非惯性系静止：先找出等压面，再采用与惯性系相同的方法分析。 ⒊连续性方程：当不可压缩流体做稳定流动时，沿一流管，流量守恒，即 Q = v1s1 = v2s2 = 恒量 ⒋伯努力方程：当理想流体稳定流动时，沿一流线， + + = 2 2 1 p  gh  v 恒量 ⒌粘性定律：流体内面元两侧相互作用的粘性力与面元的面积、速度梯度成正比，即 f  dy s.  dv =  为粘性系数，与物质、温度、压强有关。 ⒍雷诺数及其应用 l vl Re ,   = 为物体某一特征长度 ⑴层流、湍流的判据： Re  R e临，层流；Re  R e临，湍流 ⑵流体相似律：若两种流体边界条件相似，雷诺数相同，则两种流体具有相同的动力学特征。 ⒎泊肃叶公式：粘性流体在水平圆管中分层流动时，距管轴 r 处的流速 ( ) 4 ( ) 1 2 2 2 R r l p p v r − − =  11.2.1 若被测容器 A 内水的压强比大气压大很多时，可用图中的水银压强计。⑴此压强计的优点是什么？⑵如何读出压强？设 h1=50cm,h2=45cm,h3=60cm,h4=30cm，求容器内的压强是多少大气压？解：⑴优点：可以测很高的压强，而压强计的高度不用很大 ⑵设界面处压强由右向左分别为 p0, p1,p2,p3，水和水银的密度分别用ρ,ρ'表示，据压强公式，有： 3 2 3 3 4 1 0 1 1 2 2 ' , ' , , p p gh p p gh p p gh p p gh  A    − = − = − = − = 4 2 1 3 0 4 3 2 1 0 4 3 2 1 4 3 4 3 2 ( ) ' ( ) ' ' ' ' g h h g h h p gh gh gh gh p gh gh gh p pA gh p gh gh p = − + + + = + − + + = + − +  = + = + +             用大气压表示： atm h h h h pA 2.43 76 50 60 13.6 76 30 45 1 13.6 76 76 1 4 2 1 3  + +  − = + + +  − = + 11.2.2 A,B 两容器内的压强都很大，现欲测它们之间的压强差，可用图中装置， Δh=50cm，求 A,B 内的压强差是多少厘米水银柱高？这个压强计的优点是什么？解：由压强公式： pA − p1 =  gh1 ' , ( ) p1 − p2 =  gh pB − p2 =  g h + h2 p p g h h h g h g h pA pB p gh p gh g h − + − −  =  −  − = + − + +        ( ) ( ) ' ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 2 2 A B h1 h2 A h h1 2 h3 h4

第 11 章流体力学习题解答 76 第 11 章流体力学习题解答用厘米水银柱高表示： pA − pB = h −h/13.6 = 50 −50/13.6 = 46.3cmHg 也可以忽略管中水的重量，近似认为压强差为 50cmHg 优点：车高雅差方便，压强计的高度不需太大。 11.2.3 游泳池长 50m，宽 25m，设各处水深相等且等于 1.50m，求游泳池各侧壁上的总压力，不考虑大气压。解：设游泳池长 a=50m，宽 b=25m，水深 c=1.50m。如图所示，在 h 深处，绕游泳池侧壁取高为 dh 的面元，其面积为 ds = 2(a + b)dh. ∵h 深处压强 p p gh, = o +  不计大气压， p =  gh ∴此面元所受压力： dF =  gh2(a + b)dh = 2(a + b) ghdh . 游泳池侧壁受的总压力 3 2 6 2 0 (50 25) 10 9.8 1.5 1.65 10 2( ) ( ) = +    =  = + = +  F a b g hdh a b gc c   11.2.4 所谓流体的真空度，指该流体内的压强与大气压的差数，水银真空计如图所示，设 h=50cm，问容器 B 内的真空度是多少 N/m2？解： 3 2 4 2 0 p − pB = gh =13.610 9.85010 = 6.66410 N / m −  11.2.5 ⑴海水的密度为ρ=1.03g/cm3，求海平面以下 300m 处的压强。⑵求海平面以上 10km 高处的压强。解：⑴ pa p p gh 5 3 6 0 = 1.01310 +1.0310 9.8300 = 3.1310 = +  ⑵ p p e p km y g , 0.117 / 0 0 = 0 = = −    ，所以，海平面以上 10km 处的压强： pa p e 5 0.117 10 5 = 1.01310 = 0.31410 −  11.2.6 ⑴盛有液体的容器以重力加速度自由下落，求液体内各点的压强；⑵若容器以竖直向上的加速度 a 上升，求液体内压强随深度的分布；⑶若容器以竖直向下的加速度 a（<g）下落，求液体内压强随深度的分布。解：以容器为参考系，设它相对地的加速度为 a0. 在水深 h 处取一体元，上、下底面积为 ds，高为 dh，质量 dm =ρdsdh .受力情况如图所示，其中， dma0 为惯性力. 规定向上为正，由力的平衡方程，有 ( p + dp)ds − pds − dm(g + a0 ) = 0,dp =  (g + a0 )dh dp g a dh p p g a h p h p ( ) , ( ) 0 0 0 0 0 = + = + +     ⑴容器自由下落， 0 0 a = −g, p = p ⑵容器加速上升， a0 = a, p = p0 +  (g + a)h h pds dh (p+dp)ds a0 dm(g+a0) B P0 dh h a b c

第 11 章流体力学习题解答 77 第 11 章流体力学习题解答 ⑶容器加速下降， a0 = −a, p = p0 + (g − a)h 11.2.7 河床的一部分为长度等于 b 半径为 a 的四分之一柱面，柱面的上沿深度为 h，求水作用于柱面的总压力的大小、方向和在柱面上的作用点。解：取图示 dθ对应的柱面，其面积为 badθ，所受压力 dF = [ p0 +  g(h + asin]bad 方向如图示，取图示坐标 o-xy,         [ ( sin )] sin [ ( sin )] cos 0 0 dF p g h a bad dF p g h a bad y x = + + = + + ( ) ] 0 / 2 sin | 0 / 2 [( )sin | [( ) cos sin sin ] 2 1 0 2 2 1 0 / 2 0 / 2 0 0 ab p gh ga ab p gh ga Fx ab p gh d ga d                 = + + = + + = + +   ( ) ] 0 / 2 sin 2 | / 2 0 [( ) cos | [( ) sin (1 cos 2 ) 0 4 4 1 0 4 / 2 0 2 1 / 2 0 0 ab p gh ga ab p gh ga ga Fy ab p gh d ga d                    = + + = + + − = + + −   （在上面积分中，运用了三角函数公式：sin2θ=(1-cos2θ)/2 ）总压力大小： 2 2 F = Fx + Fy 方向：总压力作用线过坐标原点，与柱面垂直，且与 x 轴夹角 p gh ga p gh ga tg F F tg x y       2 1 0 1 1 0 4 + + + + = = − − 总压力作用点：总压力作用线与柱面的交点。 11.2.8 船的底舱处开一窗，可藉此观察鱼群，窗为长 1m 半径 R=0.6m 的四分之一圆柱面，水面距窗的上沿 h=0.5m，求水作用于窗面上的总压力的大小、方向和作用点。解：此题与 11.2.7 题解法相同，由 11.2.7 题解答可知： ( ), ( ) 2 0 4 1 Fx ab p0  gh  ga Fy ab p  gh  ga  = − + + = − + + 这里，b=1m,a=R=0.6m,h=0.5m，代入数据： N F N F y x 4 4 5 3 3.14 4 5 3 6.649 10 0.6 1 [1.013 10 1 10 9.8(0.5 0.6)] 6.548 10 0.6 1 [1.013 10 1 10 9.8(0.5 0.6 / 2)] = −  = −    +   +  = −  = −    +   + 1.015 45 26' 9.332 10 2 2 4 = = =  = + =  arctg arctg F F F N x y F F x y  11.2.9 一船质量为 m，使船发生一初始下沉，然后沿竖直方向振动，设船在吃水线附近的截面积为 s，海水比重为γ，证明船做简谐振动，并求周期.不计阻力。证明：以地为参考系，选水面上一点为原点，建立图示坐标 o-x.船静止时，浮力与重力大小相等，方向相反，合力为零。当船发生一位移 x 时，所受合力为 F = -γsx，为线性恢复力。 x a θ dFx dθ dF dFy a y o s x h a x y R h

第 11 章流体力学习题解答 78 第 11 章流体力学习题解答由牛顿二定律： , 0 2 2 2 2 = − + x = m s dt d x sx dt d x m   所以船作简谐振动， s m m s T   0 = , = 2 11.2.10 根据新数据，布达拉宫的海拔高度为 3756.5m，试求该处的大气压强，为海平面大气压的几分之几？解： a y p p e e p 5 0.117 3.7565 5 = 0 = 1.01310  = 0.65310 − −  5 64% 5 0 1.013 10 0.653 10 =    p p 11.4.1 容器内水的高度为 H，水自离自由表面 h 深的小孔流出. ⑴求水流达到地面的水平射程 x，⑵在水面以下多深的地方另开一孔可使水流的水平射程与前者相等？解：⑴此问题可近似看作理想流体做稳定流动。从水面至小孔取一流线，设水面流速为零，小孔流速为 v，由伯努利方程，有 p gh p v , v 2gh 2 2 1 0 +  = 0 +   = 水在小孔处以速度 v 作平抛运动，由平抛公式，有 (1) 2 (2) 2 2 1 H − h = gt x = vt = gh t 由⑴求得 t = 2(H − h)/ g , 代入⑵中得 x = 2 h(H − h) ⑵设在水面下 h’处开一小孔，与 h 处小孔水平射程相等，即 2 h'(H − h') = 2 h(H − h), h'(H − h') = h(H − h) ( ' ) ' ( ' )( ' ) 2 2 H h −h = h −h = h +h h −h ，∵ h' h,h' = H − h 11.4.2 参阅 11.4.1 题图，水的深度为 H.⑴在多深的地方开孔，可使水流具有最大的水平射程？⑵最大的水平射程等于多少？解：⑴由 11.4.1 题解得，水平射程 x = 2 h(H − h) ，显然， x =x(h)，为求极大值点，令 2 ( ) ( 2 ) 0 2 1/ 2 2 1 =  − − = − Hh h H h dh dx ， ∴ H − 2h = 0, h = 1 2 H 时水平射程最大。 ⑵将 h = H/2 代入水平射程表达式得： xmax = H 11.4.3 关于流动流体的吸力的研究，若在管中细颈处开一小孔，用细管接入容器 A 中液内，流动液体不但不漏出，而且 A 中液体可以被吸上去。为研究此原理，作如下计算：设左上方容器很大，流体流动时，液面无显著下降，液面与出液孔高差为 h，S1,S2 表示管横截面，用ρ表示液体密度，液体为理想流体，试证明： (1 / ) 0 2 1 2 p1 − p0 =  gh − S2 S  ，即 S1 处有一定的真空度，因此可将 A 内液体吸入。解：选图示流线，由伯努利方程，有 2 2 2 1 0 2 2 1 1 0 1 p +  gh = p +  v = p + v h H x P0 h P1,S1 P0,S2 A B

第 11 章流体力学习题解答 79 第 11 章流体力学习题解答由连续性方程，有， 1 1 2 2 S v = s v 可解得： v gh v v gh S S S S 2 , 2 1 2 1 2 2 = 1 = 2 = ( ) (1 / ) 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 p1 − p0 =  v − v =  gh − S S , (1 / ) 0 2 1 2 S1  S2  p1 − p0 =  gh − S2 S  11.4.4 容器 A 和 B 中装有同种液体，可视为理想流体，水平管横截面 SD=2SC，容器 A 的横截面 SA>>SB，求 E 管中的液柱高度（ρ液>>ρ空气）。解：顺管子选取一条流线，由伯努利方程，有 ① 2 2 1 0 2 2 1 0 2 1 ( ) D C C p v p g h h p v    = + + − = + 由连续性方程， SC vC = SD vD ,SD = 2SC ,vC = 2vD ② 由①可求得： 2 ( ), 2 2 ( ) 2 1 g h2 h1 v g h h v D = − C = − ， 3 ( ) [2 ( ) 8 ( )] 0 2 1 2 2 1 2 1 1 0 2 2 1 2 2 1 0 p g h h pC p vD vC p g h h g h h = − − = + − = + − − −     对于 E 管， , 3( ) 2 1 0 0 3 3 h h g p p p p gh h C C = − − = + =   11.4.5 装置如图所示，出水口堵塞时，竖直管内和容器内的水面在同一高度，打开塞子后，水即流出，视水为理想流体，等截面的水平管直径比筒径小很多，求直管内的液面高度。解：据题意，可把实际问题近似看作理想流体稳定流动。如图所示，取过 1、2、3、4 点的流线，由伯努利方程，有 2 2 4 1 0 2 2 3 1 3 2 2 2 1 0 1 2 p +  gh = p +  v = p +  v = p +  v 由连续性方程，有 2 3 4 sv = sv = sv ，即 2 3 4 v = v = v  p2 = p3 = p0 由静止液体压强公式； 2 0 2 3 0 3 p − p =  gh , p − p =  gh  p2 = p3 = p0 , h2 = h3 = 0 11.5.1 研究射流对挡壁的压力，射流流速为 v，流量为 Q，流体密度等于ρ，求图中(a),(b)两种情况下射流作用于挡壁的压力解：(a)以射流为研究对象，据题意，射流撞到挡壁后速度变为零，由动量定理： F t Q t v F Qv      = (  )(0− ), = − 由牛顿第三定律，射流作用于挡壁的力 F F Qv    ' = − =  1 h1 h2 h3 2 3 4 A B h1 h2 h3 C D E v (a) (b) α

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