西安电子科技大学：《大学物理》课程习题解答（力学）第8章弹性体的应力和应变习题解答.doc_大学文库

第8章弹性体的应力和应变习题解答 56 第8章弹性体的应力和应变习题解答第八章基本知识小结 8.1.1一钢杆的截面积为5.0X10m,所受轴向外力如图所示，试计算A、B,B、C和C、D之间的应力。 1弹性体力学研究力与形变的规律：弹性体的基本形变有拉伸 F=6×104N,F2=8×104N,F3=5×10N,F4=3×104N 压缩形变和剪切形变，弯曲形变是由程度不同的拉伸压缩形变组成，扭转形变是由程度不同的剪切形变组成。解： E G H 一E2E4 2应力就是单位面积上作用的内力：如果内力与面元垂直就叫正应力，用0表示：如果内力方向在面元内，就叫切应力，用τ表根据杆的受力情况，可知杆处于平衡状态。分别在AB之间E 示。处，BC之间G处，CD之间H处作垂直杆的假想截面S。 3应变就是相对形变：在拉压形变中的应变就是线应变，如果隔离AE段，由平衡条件，E处S面上的内力F=F1,A、B之 6表示原长，△I表示绝对伸长或绝对压缩，则线应变e=△W6:在剪切形变中的应变就是切应变，用切变角中表示。间的应力。=F1S=F1S=0g=12×103N1m 隔离AG段，由平衡条件，G处S面上的内力F=F2-F1,∴.B、C 4力与形变的基本规律是胡克定律，即应力与应变成正比。之间压应力g=-5-五=-g-6g=-0.4×10N1m2 在拉压形变中表示为σ=Ye,Y是由材料性质决定的杨氏模量， 5.0x104 在剪切形变中表示为τ=N中，N是由材料性质决定的切变模量。隔离HD段，由平衡条件，H处S面上的内力FF4,∴C、D之 5.发生形变的弹性体具有形变势能：间的应力g=F1S=F1S=0C=0.6x10'N/m 拉压形变的形变势能密度 E,°=Ye2, 8.1.2利用直径为0.02m的剪切形变的形变势能密度 Ep°=Ny2. 钢杆CD固定刚性杆AB.若CD杆内的应力不得超过0max=16×10P. 0.8m 6梁弯曲的曲率与力偶矩的关系k=127 .问B处最多能悬挂多大重量？： Ybhs 解：隔离AB,以A点为轴， -1.0m0.6m 由力矩平衡条件，有 7杆的扭转角与力偶矩的关系t=C0,C=NR 21 T×s×1.0=W×(1.0+0.6)W=0.397 隔离CD,杆CD应力o=TS,.T=oS=oπ(D/2P.杆能承受的最大拉力Tmx=号omm=×3.14×0.022×16×10'=5.02×10N

第 8 章弹性体的应力和应变习题解答 56 第 8 章弹性体的应力和应变习题解答第八章基本知识小结 ⒈弹性体力学研究力与形变的规律；弹性体的基本形变有拉伸压缩形变和剪切形变，弯曲形变是由程度不同的拉伸压缩形变组成，扭转形变是由程度不同的剪切形变组成。 ⒉应力就是单位面积上作用的内力；如果内力与面元垂直就叫正应力，用σ表示；如果内力方向在面元内，就叫切应力，用τ表示。 ⒊应变就是相对形变；在拉压形变中的应变就是线应变，如果 l0 表示原长，Δl 表示绝对伸长或绝对压缩，则线应变ε= Δl/l0；在剪切形变中的应变就是切应变，用切变角ψ表示。 ⒋力与形变的基本规律是胡克定律，即应力与应变成正比。在拉压形变中表示为 σ= Yε，Y 是由材料性质决定的杨氏模量，在剪切形变中表示为 τ= Nψ，N 是由材料性质决定的切变模量。 ⒌发生形变的弹性体具有形变势能：拉压形变的形变势能密度 2 2 1 0 E Y p = ，剪切形变的形变势能密度 2 2 1 0 Ep = N 。 ⒍梁弯曲的曲率与力偶矩的关系 3 12 Ybh k  = ⒎杆的扭转角与力偶矩的关系 l NR C C 2 , 4   =  = 8.1.1 一钢杆的截面积为 5.0×10-4m2，所受轴向外力如图所示，试计算 A、B，B、C 和 C、D 之间的应力。 F N F N F N F N 4 4 4 3 4 2 4 1 = 610 , = 810 , = 510 , = 310 解： E G H F1 F2 F3 F4 A B C D 根据杆的受力情况，可知杆处于平衡状态。分别在 AB 之间 E 处，BC 之间 G 处，CD 之间 H 处作垂直杆的假想截面 S。隔离 AE 段，由平衡条件，E 处 S 面上的内力 F=F1,∴A、B 之间的应力 8 2 5.0 10 6 10 1 / / 1.2 10 / 4 4 = F S = F S = − =  N m    隔离 AG 段，由平衡条件，G 处 S 面上的内力 F=F2-F1,∴B、C 之间压应力 8 2 5.0 10 (8 6) 10 0.4 10 / 4 4 2 s 1 N m F F = − = − − = −   − −   隔离 HD 段，由平衡条件，H 处 S 面上的内力 F=F4,∴C、D 之间的应力 8 2 5.0 10 3 10 4 / / 0.6 10 / 4 4 = F S = F S = − =  N m    8.1.2 利用直径为 0.02m 的 C 钢杆 CD 固定刚性杆 AB.若 CD 杆内的应力不得超过σmax=16×107Pa T .问 B 处最多能悬挂多大重量？ A D B 解：隔离 AB，以 A 点为轴，由力矩平衡条件，有 T 2 2 1.0 W (1.0 0.6) W 0.39T 1.0 0.8 0.8   =  +  = + 隔离 CD，杆 CD 应力σ=T/S,∴T=σS=σπ(D/2)2 .杆能承受的最大拉力 2 7 4 4 1 max 4 max 3.14 0.02 16 10 5.02 10 2 =  =     =  D T N 0.8m 1.0m 0.6m W

第8章弹性体的应力和应变习题解答 57 第8章弹性体的应力和应变习题解答 B处能悬挂的最大重量Wmx=0.39Tm=1.96×104N 应力仅为允许应力的70%，若电梯向上的最大加速度为g5,求钢索直径为多少？将钢索看作圆柱体，且不计其自重，取钢的允许应力为6.0X108P. TTT 8.1.3图中上半段为横截面等于4.0×10~m2 解：设每根钢索承受拉力为工，电梯自重为且杨氏模量为6.9×1010P.的铝制杆，下半段为横 W=mg,负荷为W=m'g由牛顿第二定律，截面等于1.0×10m2且杨氏模量为19.6×101P. 3T-W-W"=(m+m)a=0.2(m+m)g 的钢杆，又知铝杆内允许最大应力为7.8×10P T=W+W+0.2(m+m)g] 钢杆内允许最大应力为13.7×10P.不计杆的自重，求杆下端所能承担的最大负荷以及在此负荷 =(1.2mg+1.2W')=0.4(mg+W) 下杆的总伸长量。 =0.4×(500×9.8+5.5×103)=4.16×103N 解：设铝杆与钢杆的长度、横截面、杨氏模量、应力分别为：设钢索直径为D,每根钢索的应力O= 山、S、Y1、01,h、S2、Y2、02,显然，01=F/S,02=FS. (0.5D所设铝杆和钢杆所能承担的最大负荷分别为F1m,F2m,则 ∴.D=2√Tπo)=2V4.16×103/3.14×0.7×6.0×10) m=01mS1=7.8×107×4.0×10=3.12×101N =6.15×10-3m=6.15mm F2m=021mxS2=13.7×107×1.0×10=1.37×104N 8.1.5(1)矩形横截面杆在轴向拉力作用下拉伸应变为，此材料整个杆的最大负荷应取钢杆的最大负荷：F=1.37×10N 的泊松系数为H,求证杆体积的相对改变为(VVo)/Vo=e(1-2μ)， Vo表示原体即，V表示形变后体积.(2)上式是否适用于压缩？(3)低根据拉伸形变的胡克定律，对于铝杆譬=Y兰，所以，碳钢杨氏模量为Y=19.6×1010P.,泊松系数μ=0.3，受到的拉应力为 o=1.37Pa,求杆件体积的相对改变。 △=常：对于钢杆，同样有△山，=念.整个杆的伸长量是：解：(1)设杆原长为lo,矩形截面两边原长分别为ao和b加，据线应变定义：轴向应变6=÷，横向应变6，=会=之，所以： =1+2=F(÷+会) 1=(1+s)l。,a=(1+6)ao,b=(1+E)b,由泊松系数定义 =1.37x10'(aa是ag+i9ao9mao)=2.89x10-3m 4兰|，拉伸时，e>0,e1<0,∴.e1=-ue 8.1.4电梯用不在一条直线上的三根钢索悬挂。电梯质量为 500kg。最大负载极限5.5kN。每根钢索都能独立承担总负载，且其

第 8 章弹性体的应力和应变习题解答 57 第 8 章弹性体的应力和应变习题解答 B 处能悬挂的最大重量 W T N 4 max = 0.39 max = 1.9610 8.1.3 图中上半段为横截面等于 4.0×10-4m2 且杨氏模量为 6.9×1010Pa的铝制杆，下半段为横截面等于 1.0×10-4m2 且杨氏模量为 19.6×1010Pa 的钢杆，又知铝杆内允许最大应力为 7.8×107Pa, 钢杆内允许最大应力为 13.7×107Pa.不计杆的自重，求杆下端所能承担的最大负荷以及在此负荷下杆的总伸长量。 F 解：设铝杆与钢杆的长度、横截面、杨氏模量、应力分别为： l1、S1、Y1、σ1，l2、S2、Y2、σ2., 显然，σ1=F/S1，σ2=F/S2. 设铝杆和钢杆所能承担的最大负荷分别为 F1max，F2max，则 F S N 7 4 4 1max = 1max 1 = 7.810  4.010 = 3.1210 −  F S N 7 4 4 2max = 21max 2 = 13.710 1.010 = 1.3710 −  整个杆的最大负荷应取钢杆的最大负荷： F N 4 max = 1.37 10 根据拉伸形变的胡克定律，对于铝杆 1 1 1 max l l S F Y  = ，所以， 1 1 max 1 1 Y S F l l = ；对于钢杆，同样有 2 2 max 2 2 Y S F l l = . 整个杆的伸长量是： ( 1 2 Fmax l = l + l = + 1 1 1 Y S l ) 2 2 2 Y S l m 3 19.6 10 1.0 10 2.0 6.9 10 4.0 10 4 3.0 1.37 10 ( 1 0 4 1 0 4 ) 2.89 10−       =  − + − =  8.1.4 电梯用不在一条直线上的三根钢索悬挂。电梯质量为 500kg。最大负载极限 5.5kN。每根钢索都能独立承担总负载，且其应力仅为允许应力的 70%，若电梯向上的最大加速度为 g/5,求钢索直径为多少？将钢索看作圆柱体，且不计其自重，取钢的允许应力为 6.0×108Pa. T T T 解：设每根钢索承受拉力为 T,电梯自重为 W=mg,负荷为 W'=m'g.由牛顿第二定律， N mg W mg W T W W m m g T W W m m a m m g 3 3 3 1 3 1 0.4 (500 9.8 5.5 10 ) 4.16 10 (1.2 1.2 ') 0.4( ') [ ' 0.2( ') ] 3 ' ( ') 0.2( ') =   +  =  = + = + = + + + − − = + = + 设钢索直径为 D，每根钢索的应力 2 (0.5D) T   = m mm D T 6.15 10 6.15 2 /( ) 2 4.16 10 /(3.14 0.7 6.0 10 ) 3 3 8 =  =  = =     −   8.1.5 ⑴矩形横截面杆在轴向拉力作用下拉伸应变为ε，此材料的泊松系数为μ，求证杆体积的相对改变为 (V-V0)/V0=ε(1-2μ)， V0 表示原体即，V 表示形变后体积. ⑵上式是否适用于压缩？⑶低碳钢杨氏模量为 Y=19.6×1010Pa，泊松系数μ=0.3，受到的拉应力为 σ=1.37Pa，求杆件体积的相对改变。解：⑴设杆原长为 l0，矩形截面两边原长分别为 a0 和 b0，据线应变定义：轴向应变 0 0 l l−l  = ，横向应变 0 0 0 0 1 a a a b b−b −  = = ，所以： 0 1 0 1 0 l = (1+ )l , a = (1+  )a , b = (1+  )b ，由泊松系数定义 | | 1    = ，拉伸时，ε>0, ε1<0, ∴ε1=-με 3m 2m a W’ W

第8章弹性体的应力和应变习题解答 58 第8章弹性体的应力和应变习题解答 V-Vo abl-aobolo (1+E)ao(1+E)bo(1+E)lo-aobolo 8.2.1在剪切材料时，由于刀口不快，没有切断，该钢板发生了 V。 abolo apbolo 切变。钢板的横截面积为S=90cm2.两刀口间的垂直距离为d-0.5cm 当剪切力为F=7×10N时，求：(1)钢板中的 =(1+6)2(1+)-1=(1-48)2(1+8)-1 切应力，(2)钢板的切应变，(3)与刀口相齐的 =(1-248+Ⅲ282)1+)-1=ε(1-2Ⅲ（略去高级小项）两个截面所发生的相对滑移。已知钢的剪切 (2)对于压缩，e0.仍有e=.μe成立，因此上式对压模量N=8×1010P. 缩情况仍然适用解：a据切应力定义t=专==7.78×10'N1m2 (3)据胡克定律G=Y8,ε=o/Y V-=o1-29_1.370-2×03》≈28×10- ②据胡克定律，t=Nww=京==9.7x10-ad 19.6×1010 3).w=△W/d.∴△1=dw=0.5×9.7×104=4.85×10cm 8.1.6(1)杆受轴向拉力F,其横截面为S,材料的重度（单位 8.3.1一铝管直径为4cm,壁厚1mm,长10m,一端固定，而另体积物质的重量)为Y,试证明考虑材料的重量时，横截面内的应一端作用一力矩50Nm,求铝管的扭转角8：对同样尺寸的钢管再计力为 σ(x)=+x。(②)杆内应力如上式，试证明杆的总伸长量算一遍，已知铝的剪切模量N=2.63×1010P,钢的剪切模量为 8.0×1010Pa W=号+号解：设管的半径为R管壁厚d,管长为1，外力矩为M,由于d<<R,可认为管壁截面上各处的切应证明：(I)建立图示坐标o-x,在坐标x处取力大小相等，设为T,在平衡状态下，内、外力矩相一截面S,隔离0、x段杆，由平衡条件，截面等：M=t(2πRd)RT=M/(2πR2d) S上的内力F'=F+YSx,据应力定义 o=5=g=5+yx M 据剪切形变的胡克定律：T=Ny,"= N2 NR'd (②)考虑x处的线元d,该线元在重力作用下的绝对伸长为d山，据胡克定律，o=Ydl/dk,dl=odt/Y=[FS)+yx/Y门d 0=业l MI 50×10 R2πNRd2×3.14×2.65×1010x0.023×0.001 积分：∫广d=(货+xdW=兴+号 ≈0.376rad 对于钢管：

第 8 章弹性体的应力和应变习题解答 58 第 8 章弹性体的应力和应变习题解答 (1 2 )(1 ) 1 (1 2 )( ) (1 ) (1 ) 1 (1 ) (1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) 2 2 2 2 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0        略去高级小项         = − + + − = − = + + − = − + − + + + − = − = − a b l a b l a b l a b l abl a b l V V V ⑵对于压缩，ε0, 仍有ε1=-με成立，因此上式对压缩情况仍然适用 ⑶据胡克定律  = Y,  =  /Y 12 10 0 0 2.8 10 19.6 10 (1 2 ) 1.37(1 2 0.3) −    −  = − = − V Y V V   8.1.6 ⑴杆受轴向拉力 F，其横截面为 S，材料的重度（单位体积物质的重量）为γ，试证明考虑材料的重量时，横截面内的应力为 x x S F ( ) = +  。⑵杆内应力如上式，试证明杆的总伸长量 Y l S Y F l l 2 2   = + x 证明：⑴建立图示坐标 o-x，在坐标 x 处取一截面 S，隔离 o、x 段杆，由平衡条件，截面 x dx S 上的内力 F’=F+γSx ，据应力定义 x S F S F S x S F    = = = + ' + F ⑵考虑 x 处的线元 dx，该线元在重力作用下的绝对伸长为 dl, 据胡克定律，  = Ydl / dx ,dl = dx /Y = [F /(YS) +  x /Y]dx 积分：   = +  = + ' 2 0 2 ( ) l l Y l Y S F l l YS Y F dl x dx l   8.2.1 在剪切材料时，由于刀口不快，没有切断，该钢板发生了切变。钢板的横截面积为 S=90cm2 .两刀口间的垂直距离为 d=0.5cm. 当剪切力为 F=7×105N 时，求：⑴钢板中的 d 切应力，⑵钢板的切应变，⑶与刀口相齐的两个截面所发生的相对滑移。已知钢的剪切模量 N=8×1010Pa。解：⑴据切应力定义 7 2 90 10 7 10 7.78 10 / 4 5 = F S = − =  N m    ⑵据胡克定律， N rad N 4 8 10 7.78 10 1 0 9.7 10 7 −   =  = = =      ⑶ l d l d cm 4 4 / 0.5 9.7 10 4.85 10 − −  =   =  =   =  8.3.1 一铝管直径为 4cm，壁厚 1mm，长 10m，一端固定，而另一端作用一力矩 50Nm，求铝管的扭转角θ；对同样尺寸的钢管再计算一遍，已知铝的剪切模量 N=2.63×1010Pa，钢的剪切模量为 8.0×1010Pa 解：设管的半径为 R, 管壁厚 d，管长为 l, 外力矩为 M，由于 d<<R，可认为管壁截面上各处的切应力大小相等，设为τ，在平衡状态下，内、外力矩相等： (2 ) , /(2 ) 2 M =   Rd R  = M  R d 据剪切形变的胡克定律： NR d M N N 2 2 ,    =   = = rad NR d Ml R l 0.376 2 3.14 2.65 10 0.02 0.001 50 10 2 3 1 0 3        = = =    对于钢管： o ψ θ

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