第4章动能和势能习题解答 32 第4章动能和势能习题解答 Am=·mg门-cos30=·013,AF=FIsn30=2J,由质点系动能定 解：运动员在整Ap 理，有Am+As=m2+m22=号m,(.2+,2)+m2y 个运动过程中，只有重 力做功，故机械能守恒， 25n =.2[m,1+g230)+m2].yx2=2(41+As)售m1+m2) 取B点为势能零点。 '.mgH mvg2/2 代入数据，2=4.3，u,2=(vg302=1.44∴.v(v.2+）12=2.4ms yg=√2g=V2×9.8×25=22.1m/s 运动员由B到C作斜抛运动，据题意，C点即为最高点。由斜 4.4.1两个仅可压缩的弹簧组成一可变劲度系数的弹簧组，弹簧 抛运动规律可知，=sc0s30°=19.1m/s 1和弹簧2的劲度系数各为k1,k2,它们自由伸展的长度相差1，坐标 ,mwa22=mve22+mgh.h=va2-ye2/2g=6.3m:由竖直方向 原点置于弹簧2自由伸展处，求弹簧组在0≤x≤1和x<0时弹性势 的速度公式可求跨越时间：，0=vgsin.30”-g对，t=vB/2g=1.13s,由 能的表达式。 水平方向的位移公式可求得跨越距离d=v'Bcos30°t=21.6m 解：规定两个弹簧处在坐标原点时的弹性 势能为零：弹簧2的势能表达式显然为： Ep2=kx2,x≤0：弹簧1的势能： wW 4.5.2装置如图所示，球的质量为5kg,杆AB长1m,AC长0.1m, k20 A点距o点0.5m,弹簧的劲度系数为800N/m,杆AB在水平位置时 恰为弹簧自由状态，此时释放小球，小球由静止开始运动，求小球 Ep=-kiJ(I-x)dx=kiJ(I-x)d(I-x)=tk(I-x) 到铅垂位置时的速度，不计弹簧质量及杆的质量，不计摩擦。 解：取小球在水平位置时，势能为零， =k[0-x)2-1P]=kx2-kk,(x≤0 A 小球运动到竖直位置时的速度为，弹簧原 当0≤x≤1时，E。=Ep1=kx2-k 长：。=V0.52+0.12=0.51,在小球从 当x<0时，E。=En+Ep2=(k1+k)x2-kbx 水平位置运动到竖直位置的过程中，只有保 B 守内力做功，因而机械能守恒： 0=m2-mgAB+k(OA+AC-)2,可求得： 4.5.1滑雪运动员自A自由下落，经B越过宽为d的横沟到达 平台C时，其速度刚好在水平方向，已知A、B两点的垂直距离 v=2gAB-k(OA+AC-lo)/m 为25m.坡道在B点的切线方向与水平面成30°角，不计摩擦，求： (1)运动员离开B处的速率va:(2)B、C的垂直高度差h及沟宽d:(3) =V2×9.8×1-800(0.5+0.1-0.51)2/5=4.28m/s 运动员到达平台时的速率。第4章动能和势能习题解答 32 第4 章动能和势能习题解答 AW1= - m1gl(1-cos30º)= - 0.13J, AF = F l sin30º= 2J,由质点系动能定 理，有 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 ( ) W F x y x A + A = m v + m v = m v + v + m v [ (1 30 ) ] 2( )/( ) 3 1 2 4 1 2 2 1 2 1 2 2 1 = 1 v x m + tg  + m v x = AW + AF m + m 代入数据,v1x2=4.3, v1y2=(v1xtg30º) 2=1.44∴v1=(v1x2+v1y2 ) 1/2=2.4m/s. 4.4.1 两个仅可压缩的弹簧组成一可变劲度系数的弹簧组，弹簧 1 和弹簧 2 的劲度系数各为 k1,k2，它们自由伸展的长度相差 l，坐标 原点置于弹簧 2 自由伸展处，求弹簧组在 0≤x≤l 和 x<0 时弹性势 能的表达式。 解：规定两个弹簧处在坐标原点时的弹性 势能为零；弹簧 2 的势能表达式显然为： , 0 2 2 2 1 Ep2 = k x x  ；弹簧 1 的势能： [( ) ] , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 0 2 2 1 1 0 1 0 1 1 k l x l k x k lx x l E k l x dx k l x d l x k l x x x x p = − − = −  = −  − =  − − = − 当 0≤x≤l 时， E E k x k lx p p 1 2 2 1 1 = 1 = − 当 x<0 时， E E E k k x k lx p p p 1 2 2 1 2 1 1 2 = + = ( + ) − 4.5.1 滑雪运动员自 A 自由下落，经 B 越过宽为 d 的横沟到达 平台 C 时，其速度 vc刚好在水平方向，已知 A、B 两点的垂直距离 为 25m.坡道在 B 点的切线方向与水平面成 30º角，不计摩擦，求： ⑴运动员离开 B 处的速率 vB；⑵B、C 的垂直高度差 h 及沟宽 d；⑶ 运动员到达平台时的速率 vc. 解：运动员在整 个运动过程中,只有重 力做功,故机械能守恒， 取 B 点为势能零点。 ∵mgH = mvB 2 /2 ∴ v gH m s B = 2 = 29.825 = 22.1 / 运动员由 B 到 C 作斜抛运动，据题意，C 点即为最高点。由斜 抛运动规律可知，vc = vB cos30º = 19.1m/s ∵mvB 2 /2 = m vc 2 /2+mgh ∴h = (vB 2 -vc 2 )/2g = 6.3m；由竖直方向 的速度公式可求跨越时间：∵0 = vBsin30º-gt ∴t = vB /2g =1.13s，由 水平方向的位移公式可求得跨越距离 d = vB cos30ºt = 21.6m. 4.5.2 装置如图所示，球的质量为 5kg，杆 AB 长 1m，AC 长 0.1m， A 点距 o 点 0.5m，弹簧的劲度系数为 800N/m，杆 AB 在水平位置时 恰为弹簧自由状态，此时释放小球，小球由静止开始运动，求小球 到铅垂位置时的速度，不计弹簧质量及杆的质量，不计摩擦。 解：取小球在水平位置时，势能为零， 小球运动到竖直位置时的速度为 v，弹簧原 长： 0.5 0.1 0.51 2 2 l 0 = + = ，在小球从 水平位置运动到竖直位置的过程中，只有保 守内力做功，因而机械能守恒： 2 2 0 2 1 2 1 0 = mv − mgAB + k(OA + AC −l ) ，可求得： m s v g AB k OA AC l m 2 9.8 1 800(0.5 0.1 0.51) / 5 4.28 / 2 ( ) / 2 2 0 =   − + − = = − + − H=25m h d vB vc A 30º o x l k1 k2 B C A o