第4章动能和势能习题解答 33 第4章动能和势能习题解答 4.5.3物体O与一劲度系数为24Nm的橡皮筋连接，并在一水 4.6.2m为静止车厢的质量，质量为M的机车在水平轨道上自 平（光滑）圆环轨道上运动，物体Q在A处的速度为1.0m/s,已知圆 右方以速率v滑行并与m碰撞挂钩.挂钩后前进了距离s然后静止。 环的半径为0.24m,物体Q的质量为5kg,由橡皮筋固定端至B为0.16m, 求轨道作用于车的阻力。 恰等于橡皮筋的自由长度求：(1)物体Q的最大速度：(2)物体Q能否达 解：整个过程可分为两个阶段： 到D点，并求出在此点的速度 第一阶段，机车与车厢发生完全非 m M T● 解：物体Q在整个运动过程中，只有弹簧的弹力做功，所以机 弹性碰撞而获得共同速度v',由于 械能守恒.总能量E=mA2+VR2+(R+l)2-l 轨道阻力远小于冲力，可认为质点 系动量守恒，=(M+mp,v'=/M+m) 代入数据，求得E=3.63J 第二阶段，机车与车厢挂钩后，在摩擦阻力的作用下向前移动 (I)在B点，弹簧的势能全部转 了s,速度由v'变为零，由动能定理，有-=0-M+mv22, 化为动能，所以，在该点速度最大 mVg'2=E,Va (2E/m)n =1.2m/s 将代入，可求得f= (②)在D点的弹性势能， E=k(2R2/2=2kR2=2×24×0.242=2.76 4.63两球具有相同的质量和半径，悬挂于同一高度.静止时， ,Ep<E.物体Q能达到D点.mD/2=E-Ep,D=2E-Epm2 两球恰能接触且悬线平行.碰撞的恢复系数为©.若球A自高度加释 代入数据，求得o=0.58m/s 放，求该球弹回后能达到的高度。又问若二球发生完全弹性碰撞， 会发生什么现象，试描述之。 4.6.1卢瑟福在一篇文章中写道：可以预言，当α粒子和氢原 解：设两球质量均为m,球 子相碰时，可使之迅速运动起来.按正碰考虑很容易证明，氢原子速度 A由1高处运动到水平位置获得 可达a粒子碰撞前速度的1.6倍，即占入射a粒子能量的64%.试证明 的速度A,可由能量守恒方程求 此结论（碰撞是完全弹性的，且α粒子质量接近氢原子质量的四倍）. 证明：设氢原子质量为m碰前速度为零，碰后速度H,a粒子质 出：mgh1=n22∴m=√2gh 量为4m,碰前速度为v,碰后速度为v,'根据完全弹性碰撞基本公式： 设A,B两球碰后速度分别为 4m,=4m,+ma即，4。三4。vg'0 v和阳，根据非完全弹性碰撞的基 Va =VH'-Va' Va=VH-V (2) 本公式，有 (1)+(2)X4,得8v=5m,.8v/5=1.6v。 m=mw+mg'即，V4='vg Va-v'=ev ev=V8-VA 冬=器==0.64第4章动能和势能习题解答 33 第4 章动能和势能习题解答 C 4.5.3 物体 Q 与一劲度系数为 24N/m 的橡皮筋连接，并在一水 平(光滑)圆环轨道上运动，物体 Q 在 A 处的速度为 1.0m/s，已知圆 环的半径为0.24m,物体Q的质量为5kg,由橡皮筋固定端至B为0.16m, 恰等于橡皮筋的自由长度.求:⑴物体Q的最大速度; ⑵物体Q能否达 到 D 点，并求出在此点的速度. 解: 物体 Q 在整个运动过程中，只有弹簧的弹力做功，所以机 械能守恒.总能量 E= 2 0 2 0 2 2 1 2 2 1 mv k[ R (R l ) l ] A + + + − 代入数据，求得 E=3.63J Q A ⑴在 B 点, 弹簧的势能全部转 化为动能，所以, 在该点速度最大. mVB 2 /2 = E, vB = (2E/m)1/2 = 1.2m/s B D ⑵在 D 点的弹性势能， Ep=k(2R)2 /2=2kR2=2×24×0.242=2.76 ∵Ep<E ∴物体 Q 能达到 D 点. m vD 2 /2=E-Ep , vD=[2(E-Ep)/m] 1/2 代入数据，求得 vD=0.58m/s 4.6.1 卢瑟福在一篇文章中写道：可以预言，当α粒子和氢原 子相碰时，可使之迅速运动起来.按正碰考虑很容易证明,氢原子速度 可达α粒子碰撞前速度的 1.6 倍,即占入射α粒子能量的 64%.试证明 此结论(碰撞是完全弹性的,且α粒子质量接近氢原子质量的四倍). 证明: 设氢原子质量为 m,碰前速度为零,碰后速度 vH',α粒子质 量为 4m,碰前速度为 vα,碰后速度为 vα'.根据完全弹性碰撞基本公式：    = − = + ' ' 4 4 ' '     v v v mv mv mv H H 即 ， ' ' (2) 4 4 ' ' (1)     v v v v v v H H = − = + ⑴＋⑵×4，得 8 vα= 5vH', ∴ vH'= 8 vα/5 = 1.6 vα 2 0.64 2 2 2 4 (1.6 ) 4 / 2 ' / 2 = = =     v v m v m v E EH H 4.6.2 m 为静止车厢的质量，质量为 M 的机车在水平轨道上自 右方以速率 v 滑行并与 m 碰撞挂钩.挂钩后前进了距离 s 然后静止。 求轨道作用于车的阻力。 v 解：整个过程可分为两个阶段： 第一阶段，机车与车厢发生完全非 弹性碰撞而获得共同速度 v’，由于 轨道阻力远小于冲力，可认为质点 v’ 系动量守恒，Mv=(M+m)v’,v’=Mv/(M+m) f 第二阶段，机车与车厢挂钩后，在摩擦阻力的作用下向前移动 了 s，速度由 v’变为零，由动能定理，有 – fs = 0 - (M+m) v’ 2 /2, 将 v’代入，可求得 2 ( ) 2 2 s M m M v f + = 4.6.3 两球具有相同的质量和半径，悬挂于同一高度.静止时, 两球恰能接触且悬线平行.碰撞的恢复系数为 e.若球 A 自高度 h1 释 放，求该球弹回后能达到的高度。又问若二球发生完全弹性碰撞， 会发生什么现象，试描述之。 解：设两球质量均为 m，球 A 由 h1 高处运动到水平位置获得 的速度 vA，可由能量守恒方程求 出：mgh1=mvA 2 /2∴vA= 2gh1 设 A,B 两球碰后速度分别为 vA'和 vB'，根据非完全弹性碰撞的基 本公式，有    − = = + B A A A A B v v ev mv mv mv ' ' ' ' 即， ' ' ' ' A B A A A B ev v v v v v = − = + m M h1 A B x