第3期 何华灿，等：无穷概念的重新统一 ·203· 明了ZF公理集合论与CH相容.1963年柯亨(P.J. 而推翻了欧几里德(M.Eukleides)整体一定大于部 Choen)用他创立的力迫法证明ZF系统与CH相容 分的看法.在微积分理论的萌芽时期，曾经采取过纯 所以用数学公理方法不能解决CH问题，CH的真伪 粹的实无穷观，把无穷小量(infinitesimal)看成是一 至今没有结论2.但是，这些证明都是在承认①，> 个确定的特殊数.在柯西(A.L.Cauchy)和魏尔斯特 w,的基础上去证明CH是否正确，没有人怀疑w1> 拉斯(K.Weierstrass)建立了严格的极限理论后，无 o的正确性.现在，在o1>o的基础上已经形成了 穷小量概念被抛弃，实无穷观被绝对地排斥，整个 许多自圆其说的“理论”，它们妨碍了后人对实无穷 19世纪几乎完全被潜无穷观统治2.直到19世纪 问题的继续探索.我们将直接证明①，>①，本身是 末康托尔创立集合论，才使实无穷规重新回到数学 不正确的，CH当然就不成立， 的视野，不过他建立的却是介乎潜无穷和实无穷之 笔者认为，所谓建立统一的实无穷概念就是要定 间的第3种无穷观，称为层次实无穷观(layered in- 义一个特殊的数∞，它在运算中必须满足2个条件： nity).为了与康托尔的实无穷观相区别，以后在称 1)0比任何有限数都大：2)不存在比如更大的数.康 他之前的实无穷规为统一实无穷观.概括起来看这 托尔规定正整数集的势为①，满足了对实无穷的条 3种无穷观的主张分别是： 件1)，他用一一对应方法来确定2个无穷集之间的 1)潜无穷观：认为无穷是一个永无终止的增长 等势关系，已成功地证明对任意正整数n∈N,,n+ 过程，它不是数，不能参加运算，也就是说无穷只是 o=n×,=()”=w,成立.只是由于没有找到 一种说话方式，它表示对任何一个整数，都能找到一 证明2=o的合适方法，才最后放弃了对统一实无 个比它更大的数，但决不可能穷举所有的整数. 穷概念的追求，转而提出了相对实无穷概念.我们根 2)统一实无穷观：认为无穷是一个惟一存在的 据无穷编码的不变性(infinite coding invariance,ICI 特殊数，它不仅比任何有限数都大，而且不存在比无 原理)进一步证明2=w,说明⊙，能够满足实无穷 穷更大的数.也就是说无穷的任何运算结果都不会 的条件2)，所以o,就是统一的实无穷∞，又由于∞ 大于无穷，无穷是能够包容一切增长过程的极限， 比任何有限数都大，其中已经包含了潜无穷的思想， 3)层次实无穷观：层次无穷观是现行的无穷 所以∞也是统一的无穷概念 观，它认为实无穷有不同的层次，最低的实无穷是可 数无穷oo,由于有性质n∈N,,n+oo=n×o0= 1 研究背景 (⊙，)”=0的保证，①，是一个相对稳定的特殊数； 1.1数的发展简史 更高一级的实无穷是不可数无穷①1,2=①1，其他 人类认识数至少已有30万年的历史，到19世 以此类推.这就像原子的能级结构一样，电子平常稳 纪实数概念已基本形成，其间经历了自然数、分数、 定在一个较低的能级上旋转，只有吸收到足够的能 数字“0”、负数和无理数等5个主要认识阶段，近 量后，才会上升到更高的能级.可见，在层次无穷观 100多年来对数的深入认识主要表现在2个方面： 中使用的是相对实无穷概念，而在实无穷观中使用 一是继续探索实无穷概念，以最终完成对实数性质 的是统一实无穷概念 的认识；二是通过对实数的组合运用，形成更复杂的 这3种无穷观都承认无穷是一个永无终止的增长 数，如复数（加入虚数）、狭义数（加入超复数）和广 过程，差别仅仅是无穷是否是数以及有多少个无穷. 义数（加入向量、张量、矩阵等）[31. 本文的论证目标是利用①的相对稳定性（即 1.23种无穷观 n∈N+,n+o0=nXo=(w)”=o)来直接证 在历史上关于无穷曾经出现过2种完全不同的 明2=①。成立，即证明更高一级的无穷0，根本不 观念：一种是潜无穷观(potential infinity),它认为无 存在，统一实无穷观是惟一正确的无穷观.为此首先 穷是一个永无终止的增长过程，它不是数；另一种是 介绍康托尔的层次实无穷观，并且分析他的成功和 实无穷观(actual infinity),它认为无穷是一个有确 不足 定含义的特殊数.亚里士多德(Aristotle)是历史上明 1.3可数集和不可数集 确区分实无穷和潜无穷的第一人，他的老师柏拉图 为了说明相对实无穷概念，康托尔把正整数集 (Plato)则是持实无穷观的最早代表.伽利略(G. N,定义为可数集(denumerable set)的基准，规定 Galilei)最先发现一个无穷集可与自己的真子集等 N,的势是最小的无穷①o·然后用一一对应方法来 势，他用一一对应的方法证明了自然数集{0,1,2， 确定一个无穷集A是否与N,等势(equinumerous), 3,4,…与平方数集{0,1,4,9,16，…等势，从 如果等势则A也可数；否则A不可数(uncountable)