·204 智能系统学报 第5卷 具有比N,更大的势.他已经成功地证明了整数 推论1可数集与有限集的并集是可数集；反 N,×N、有理数和代数数都可数.还证明了单位区 之，可数集可分解为一个有限集和可数集的并集. 间实数集和实数集等势，这反映在下面的一些重要 推论22个不同可数集的并集是可数集；反 定理中山，45] 之，可数集可分解为2个不同可数集的并集。 本文直接使用了朴素集合论中的许多基本概 推论3至多可数个不同可数集的并集是可数 念，如：“具有某种特定性质的事物的全体称之为集 集；反之，可数集可分解为至多可数个不同可数集的 合，组成集合的每一个事物称为该集合的元素”、 并集 “不含元素的集合称为空集”、“集合中的元素必 推论4对于任何n∈N+,可数集的势w具有 须具有确定性、互异性和无序性”、集合S中元素的 以下运算性质：n+o=n×=（oo)”=o 个数叫S的基数(cardinal number)或势(cardinali- 1.4实数不可数定理和连续统假设 y),用IS1表示. 在自然数的运算中，加法是最小的基本增值运 定义1如能在2个集合A、B的元素之间建立 算，其次是乘法和乘方，最大的基本增值运算是幂 对应关系，则称这2个集合等势，用1A1=|B1 乘.康托尔已经证明n+o=n×o=(o)”=, 表示 只要他能够进一步证明2=①0，统一实无穷的概 定义2如果1个集合能够和它的真子集等 念就成立了.遗憾的是由于康托尔始终没有找到证 势，则叫无穷集，否则叫有限集 明实数可数的一一对应方法，而在1874年得出了实 定义3正整数集N,={1,2,3,4,…是可 数不可数、20=o,>o0的结论，并根据这个结论在 数集，它的势是最小的实无穷，用超限基数⊙。表示. 1878年提出了连续统假设和层次无穷观.1874年康 由于有限集不能和自己的真子集等势，所以有 托尔证明实数不可数定理的过程十分复杂，对角论 限集之间等势关系的确定与元素之间的对应方式无 法是他3年后提出的另一个比较简单的证法[6.该 关.而无穷集可与自己的真子集等势，所以必须有如 方法用反证法证明单位区间的实数集R,是不可数 下定义4. 集合，下面用二进制数模仿康托尔的对角线法来进 定义4只要能找到1种方法证明无穷集A与 行实数不可数定理的证明（见图1） 正整数集N,等势，则称A为可数集；反之，只有所 RN 2 3 4 有的方法都不能证明A与N,等势时，才能称A为 X 0. a14 不可数集，不可数集的势大于可数集的势 0.aa a34 au 康托尔根据上述定义已经证明了下述结论： 0.a1 0.a4t A2 定理1单位区间实数集R,和任意有限区间 实数集R等势. 0.d4 定理2单位区间实数集R,和无限区间实数 集R等势。 定理3单位区间实数集R和正整数集N,的 0.6,bbb,…b,… 幂集p(N,)等势. 图1康托尔的对角线法 定理4自然数集N={0,1,2,3,4,…是可数集 Fig.1 Cantor's diagonal method 定理5正整数集N,的直积N,×N,是可数集， 伪定理1（实数不可数定理）单位区间实数集 定理6整数集Z={…,-4,-3,-2,-1,0, R1是不可数集，2=o1>o 1,2,3,4,…}是可数集， 证明用反证法证： 定理7奇数集0={…，-7，-5，-3，-1， 1)设R,是可数集，它必然与正整数集N,= 1,3,5,7,…}是可数集. {1,2,3,4,…,i,…}等势，可表示成R1={1,为， 定理8偶数集E={…,-8,-6,-4,-2, 3,x4,…,x,…},二者在i和(i=1,2,3,4,…之 0,2,4,6,8,…}是可数集， 间存在一一对应关系； 定理9有理数集Q={x|x=p/q,p,9∈Z, 2)将每一个单位区间实数都以无穷小数的全 q≠0，P,9间没有公因子}是可数集. 码形式x:=0.aaaadaa,4…a…表达，即保留二进制 定理10代数数集A={x|x是整系数代数方 编码中全部无效位和有效位，且不允许有近似性的 程的根}是可数集。 舍入出现（例如严格区分0.011…1和0.1000是2