第3期 何华灿，等：无穷概念的重新统一 ·205· 个完全不同的数)： 1级保级函数无(o1)=n+o1=0+01=1, 3)规定实数集{x1,x2,x3,x4,…,,…}中的顺 f方(o1）=n×01=ww1=01和f方(01）=（⊙1)”= 序是随机排列的； ®，；用类似的方法还可证明这3个保级函数能推广 4)将每个x:=0.aa2aaa4…am…中am的值改 到任意级.由伪定理1知，康托尔已经发现的升级 变为{0,1}中的另一个值b: 函数只有g(ω：)=2=ω+1 5)这样就可得到单位区间中的一个新实数y= 由此可见，康托尔提出的相对实无穷不是统一 0.b,b2b3b4…b:…,由于y中至少有b:与x中的a 实无穷，因为它不是惟一存在的特殊数；但也不是潜 不相同，所以y生{1，x2,3,4,“,x,…; 无穷，因为它是特殊的数，有相对确定的大小，在各 6)由于x1,出2，x3,x4,…,龙，…的顺序是随机排 种保级函数的保护下具有相对的稳定性，只有在遇 列的，可以任意改变，a:的值也是随机出现的，可以 到升级函数作用时，才会改变它的大小.所以康托尔 任意改变，所以上述几，点已经一般性地证明了实数 的无穷观是层次实无穷观，他使用的是相对实无穷 集R,是可数集合的前提假设不成立： 概念.下面给出严格的数学描述， 7)根据定义4，实数集R1是不可数集合，其势 定义6如果存在一个超限基数∞，它对任意 IRI>0o; 正整数neN,满足：l)n<o;2)对任意基本增值函 8)由于实数x:=0.aa2a3a4a#…中每位都 数f代x)有f(o)≤o,则称o为统一实无穷. 有0、1两种取值的可能性，实数集R,的势RI= 定义7如果存在一个无限增大的超限基数序列： 2,所以有20=o1>00成立 ,①1,2，…（0+1=2，i=0,1,2,…),其中的任意 根据伪定理1（后面将用伪定理2证明它的错 o都满足：n∈N+,1)n<ω：；2)存在保级函数f(ω：)= 误)，康托尔认为潜无穷观和统一实无穷观都不正 0:(如n+=n×==ω)；3)存在升级函数 确，他提出了著名的连续统假设和超限基数假设，形 g(ω：)=2=0+1，则称ω：为相对实无穷 成了他自己的层次实无穷观. 假设1（连续统假设CH)在o,和w,之间没 概括起来说，康托尔的层次实无穷观有以下要点： 1)不存在一个统一的实无穷∞； 有其他的超限基数存在。 假设2（超限基数假设）实无穷不是一个惟一 2)存在无穷多个大小不同的相对实无穷o: 确定的特殊数，而是一个可无限增大的超限基数序 (①：+1=2，i=0,1,2,…); 列：00,01,02，（0+1=2，i=0,1,2,3,…). 3)正整数集的势是最小实无穷w,的典型代 康托尔曾经多次声称要给出连续统假设的证 表，单位区间实数集R的势是⊙1的典型代表，R 明，但直到临终他也没有发表.与他当年在数学界遭 幂集的势是o2的典型代表； 到普遍反对的情况不同，在现代数学中，康托尔的层 4)在每级无穷i内，都有一些保级函数f(ω：)= 次实无穷观和相对实无穷概念已经牢牢地占据了统 ®：使相对实无穷⊙：在i级内保持稳定不变； 治地位 5)只有升级函数g(ω：)=2=ω：+1才能提升相 1.5康托尔的层次实无穷观和相对实无穷概念 对实无穷的层次， 根据超限基数假设，康托尔把无穷分成了许多 形成康托尔层次实无穷观的关键因素是实数不 不同的等级：0级实无穷是可数无穷，它广泛存在， 可数定理（伪定理1），它是升级函数g(ω：)=2= 其典型实例是正整数集和有理数集的势；1级实无 ①：+1成立的理论依据，是促使实无穷不断升分级的 穷是不可数无穷，其典型实例是实数集和正整数幂 根源。要想建立统一实无穷理论，必须首先推翻这个 集的势；2级实无穷的典型实例是所有函数的集合 定理。 和R,幂集的势：2级以上的实例现在也说不清楚. 100多年来有不少数学家和哲学家发现，连续 定义5设f(w:)、g(o:)是定义在超限基数序 统假设为数学带来悖论和许多麻烦，因而怀疑康托 列0(i=0,1,2,3,…)上的基本增值函数，如果 尔的层次实无穷观，但至今没有找到解决它的有效 f(ω：)=①，则称f(ω：)为i级保级函数；如果 办法.在我国，一直有人在以各种不同的方式论证实 g(:)=@:+1,则称g(o:)为升级函数 数可数、连续统假设不成立，但是这些工作一直没有 由推论4知，康托尔已经证明在可数集合中有 引起数学界的足够重视781 0级保级函数f(w,)=n+o,=,f方(o,)=n× 本文将用无穷编码的不变性原理证明2”=成 00=⊙和f方(o,)=(⊙)”=⊙0；在不可数集合中有 立，重新统一无穷概念，所以下面直接用如表示无穷