·206 智能系统学报 第5卷 完全编码算法和自然数集 示平面中2条平行线能够在无穷远处相交，在直线 2 上增加一个无穷远点，得到了“扩充直线”的概 2.1自然数集的原始形态 念.又如在拓扑学中的单点紧化、非欧几何模型和数 1)最典型的无穷集是数集，而数集又有自然 论中的库默理想数等， 数、整数、有理数、实数、复数、狭义数和广义数之 5)自然数中的所有数都可用进位制数来具体 分3.从数的发展史上看，最早出现的是自然数， 表示（本文以二进制数为例进行讨论），从编码的角 它是纯粹的数字编码符号串.后来出现的各种数集 度看，尽管通常见到的有限数可以用有限位编码来 都是在这个编码符号串的基础上，或者在串外增加 表示，但理论上存在的无穷数必然是无穷位编码.所 小数点的位置标志，或者在串内增加某些辅助符号 以，为了得到数集中的全部数值，必须用无穷位计数 (如表示+、-的符号位，表示虚部和实部的i/r 器来生成这些数的编码.对有限数来说，编码中包含 位)，或者给编码符号串指定位置标志（如在数组、 有效位和无效位，通常的表示方法是省略无效位，保 行列式中表示不同分量的特别标志符a),如此等 留有效位.而理论上存在的无穷数必须是无穷位编 等，就形成了不同类型的数集，所以从本质上看，各 码，其中没有无效位可以省略.为了方便讨论，规定 种数集都是变形的数字编码符号串，或者说是在自 一律使用无穷位全码表示法，不允许省略无效位. 然数编码基础上的变形. 综上几点，可以得出这样的结论：1)任何一个 2)本文讨论的各种无穷数集都是完全集，它包 完全的数集都需要用一个无穷位计数器来进行编 含了该数集中可能有的全部元素（数值），其中包括 码，编出的不同符号串代表数集中的不同数值；2) 通常见到的有限值数和理论上存在的无穷值数两大 数集中的数包括有穷值和无穷值，它们全都用无穷 部分，且可以从小到大顺序地排列. 位的编码符号串来表示，即本文中不允许把有穷值 3)自然数集同时具有内蕴性(inner implication 中的无效位省略. property)和排序性(ordering property)2种不同的性 不加任何辅助符号的数字编码符号串的直接解 质，它在无穷性方面也有2种不同的表现.内蕴性是 释就是自然数，所以称自然数集为原始数集，自然数 潜藏于自然数列中的微观属性，表现为个别数与数 集以外的其他数集为现实数集.本节用完全编码算 之间的各种不同关系，这些关系将随自然数列的不 法先研究原始形态的自然数集，下节再用完全译码 断延伸而变化，永远不可能被完全认识.排序性是自 算法研究各种添加了辅助符号的现实数集。 然数列中的宏观本性，表现为自然数列整体所具有 由康托尔的层次实无穷观知，尽管统一实无穷 的单一序结构，它不随自然数列的不断延伸而变化， 不存在，存在的都是相对实无穷，但以正整数集N 可以被完全认识.根据自然数集的内蕴性，必然主张 的势为代表的0级实无穷仍然是一个相对稳定的特 潜无穷观，认为无穷是一个永远不会完成的开放过 殊基数∞，∞的包容性已经非常强大，按照康托尔发 程，根据自然数集的排序性，可以形成实无穷观，认 现的0级保级函数知，n+9=n×=（o)”=o, 为无穷是一个已经完成了的封闭过程.可见康托尔 这就是说，的容量已经大到可以容下（∞）”多个 定义正整数集的势是实无穷∞，利用的就是自然数 ∞在里面，只是在遇见了升级函数2”后，才会升到 集的排序性，在这里正整数集{1,2,3,4，…}是一个 1级实无穷.本文将进一步证明∞不仅是相对稳定 已经完成了（延伸达于终止）的无限过程] 的特殊基数，而且是绝对稳定的特殊基数.也就是 4)由于{1,2,3,4，…{是一个已经完成了的无 说，先假定∞是0级实无穷，然后证明1级实无穷等 限过程，它有∞个元素，所以可用外推法在原来考虑 于0级实无穷，即是统一实无穷. 的对象{1,2,3,4，…}中添加理想元0而得到{1,2， 2.2完全编码算法 3,4,…,∞，这个新的数学实体既可把“∞”圈在其 根据图灵机原理，完全编码算法(complete en- 中，又把原来的东西原封不动地保留下来「4.{1,2， coding algorithm,CEA)由完全计数器(complete 3,4,…,∞的意思是集合中的元素可以无限制的 counter,CC)和原始存储器(primitive memory,PM) 增加，但是它总是从1开始，到∞结束.“无穷集合 两部分组成.CC的功能是按照二进制进行连续地计 在形式上有下界和上界”并不是荒谬的事情，例如 数，生成所有∞位二进制原始码，它从∞位0（用0… [0,1]区间的实数集就是这样，它从0开始，到1结 00表示)开始，不断地加1，直到∞位1（用1…11表 束，中间包含有无穷多个元素，其实，添加理想元素 示)结束，共生成了2”个不同的原始码.无穷位计数 的方法在数学中经常使用，如在射影空间中为了表 过程在理论上能够结束，是因为按照0级无穷的性