第3期 何华灿，等：无穷概念的重新统 ·207 质，理论上讲∞位是计数器的最高位，如果到位 {0,1,10,11,100,…,1…11},所以P的数值解释是 1…11后还要继续加1，将产生进位溢出，重新回到 自然数集N,按照定理4，P是可数集， ∞位0O0状态.PM的功能是顺序存放CC生成的 以后常常称原始码集合P={0…00,0…01, 所有原始码，它共有2”个存储单元，按照0,1,2， 0…010,0…011,…,1…11}为自然数集的原始形式 …,2-1顺序编号. 或者自然数集，称CC为自然数生成器，称PM为自 图2是PM的存储状态图，其中a1,a2,a,a4, 然数存储器 …,am表示计数器的o位，d,d1,d2,d3,…表示存储 推论5（无穷编码的不变性ICI原理）由∞位 器的地址编号.图2(a)是2位计数的状态，它共有 计数器生成的代码数仍然是0，即2”=0. 22=4种不同的原始编码：00、01、10、11；图2(b)是 在这里利用康托尔的相对实无穷概念和性质， 3位计数的状态，它共有2=8种不同的原始编码： 进一步证明了升级函数g(ω：)=2=⊙+1不成立， 000、001、010、011、100、101、110、111;图2(c)是∞ 相对实无穷o,就是惟一存在的实无穷∞. 位计数的状态，它共有2个不同的原始编码： 2.4ICI原理的物理解释 0…00,001,0…010,0011,…,1…11 ICI原理有3层含义，它们都体现在图2中，图 11d 11 d 2是一个值得反复领悟的重要对象， 10 10 d 第1层意思是关于∞是0级相对实无穷的诠 01 d 01 d 00 1☐00 d 释.由于0级保级函数的性质n+o=n×o= a:a ………… (∞)”=∞保持了0的相对稳定性，它最多可以容 (a) ……, 4 下(0)”多个∞而不会升级；所以在图2(c)中，无 0 1 论计数器CC的长度是相对地增加或是缩短，它仍 0 d 0 1 0 d 0 4+0 01 d 然是∞位.计数器CC的长度∞不变，它在PM中生 0 0 00 d 成的全部编码也就不变，仍然是从∞位0…00开始， 0 d 0 0 1 0 10 d 0 0 10d2 不断地加1，直到∞位1…11结束，这个计数状态图 001 d 0 001 d 十分稳定 000d 0 …000d a;dz a a a3 a:a 第2层意思是关于∞是统一实无穷的诠释.从 (b) (c) 图2(a)和(b)看，n位计数器可编出2"个码，显然有 图2PM的存储状态图 2">n,但是从图2(c)看，情况就完全不同了.尽管 Fig.2 Illustration of the storage states of PM ∞位计数器编出的码有2”个，但由于∞位计数器本 2.3ICI原理 身是自然数生成器，它编出的全部编码集就是自然 定理11原始码集合P={0…00,0…01, 数集，其势必然是0，所以2”=0，这就是说，用0 0…010,0…011,…,1…11}的势是2。 位的计数器，生成的全部编码集仍然是∞.所以有一 证明用数学归纳法证明如下（参见图2）： 个无穷符号就完全够用了，不需要更多的无穷符 因为计数器的每一位都有0、1两种可能性，所 号，0是统一实无穷， 以由完全编码算法CEA可知，CC(2)可生成22=4 第3层意思是关于∞中有潜无穷思想的诠释. 个不同的原始码；CC(3)可生成2=8个不同的原 在实无穷的概念中并没有排斥潜无穷的思想，而是 始码；如果CC(n)可生成2”个不同的原始码，则 融进了潜无穷的思想.从图2（©）看，尽管计数器有 CC(n+1)可生成2×2”=2+'个不同的原始码；由 ∞位（即），但这个∞只是代表一个永无终止的 数学归纳法可知，当n→∞时，CC可生成2”个不同 增长过程的抽象符号.图2(c)用这个抽象符号规定 的原始码.而PM正好能够存放CC生成的2个不 了一个新的计数过程（即ω1），它从∞位0…00开 同的原始码，所以原始码集合P={0…00,0…01, 始，不断地加1，直到∞位1…11结束.由于这个计数 0…010,0…011,…,1…11}的势是2°. 过程要等待一个永无终止的增长过程，即全1…11 定理12原始码集合P={0…00,0…01, 状态的到来才能结束，所以这个计数过程也是一个 0010,0…011,…,1…11}的数值解释是自然数集 永无终止的增长过程，它仍然可以用同一个抽象符 N,P是可数集 号∞来代表.如果再把这个计数过程（即w,)当成 证明将P中的原始码看成是二进制整数，由 计数器的∞位，重新规定了一个新的计数过程（即 于其中的无效位并不影响数的值，得到的数值是 ①2)，情况仍然会同样地重复下去，永远不会改变