第2期 陈强，等：目标空间映射策略的高维多目标粒子群优化算法 ·365· 布信息被缩放到(min(1/Dis),Dise),i=1,2,…,k区 bu,k(au+ba)-a,当k=l时，xa取得最大值为bao 间内。当个体处于C区域时，假设C区域中个体 因此，当最优解的决策向量位于b的右侧时，上 数量为q,参数设置如下：B=(min(F)+rand(Fe 述方法不能跳出局部最优。 min(F》万，i=l,2,9,a=l,该设置将区域C中个 本文对上述方法进行了改进，为提高算法跳 体的收敛信息缩放到(min(F),Fwe),i=l,2,…q区 出局部最优的能力，同时不忽略当前收敛信息， 间内，而分布信息保持不变。通过上述操作，处 当x=x4m时，xa执行式(10)给出的反向学习 于区域B和C中的个体，其分布信息和收敛信息 策略。 都被缩放到相同的区间之中，因此两区域中的个 Xid=Xdmin+dmax -Xid (10) 体可以被放在一起统一评价。 从式(10)可以看出，x的取值范围扩大到了 在选取非支配解时，首先选取区域A中的个 [min,nax小，该粒子跳出局部最优区域。 体，当区域A中的个体个数大于外部文档大小 为了判断算法是否陷入局部最优，本文采用 时，选取Value,值小的个体进入档案文件；当区 文献[3]给出的判断准则作为反向学习的激发条 域A中的个体个数小于外部文档大小时，再从 件，如式(11)所示： B和C中选取剩余个体，当B和C中的个体个数 大于剩余外部文档大小时，仍然选取Value,值小 Imin(f)-min(f10) <0.005,t>10 的个体进人外部文档。当B和C中的个体个数 Imin(f (11) 不能满足条件时，最后选取D中的个体。 Imax(f)-max(f10 <0.005,1>10 图2给出了目标空间映射策略的流程图。 Imax( 式中：min(f)和max(f)分别表示在第t代时，第 开始 i个目标维度上的最小和最大值。min(f-1)和 max(广0)分别表示在第1-l0代时，第i个目标维 根据min(F)、max(F)、min(Dis、max(Dis) F 和Dise,将候选解分成4个不同的区域 度上的最小和最大值。对于一个m维测试函数， 通过式(11)对其所有的目标维度的变化率进行计 计算4个不同的区域中所有个体的 算，当所有的变化率都小于0.005时，算法陷入局 Value,值 部最优。 2.4 MOPSO-OSM流程 根据Value,值大小，选取候 选解，存入外部档案 MOPSO-OSM算法具体流程如下： 1)算法初始化： 结束 2)判断是否满足停止条件，若条件满足，算 法停止迭代，否则转到3)： 图2目标映射策略的流程图 3)判断种群是否陷入局部最优，执行反向学 Fig.2 Flowchart of the objective space mapping strategy 习策略；否则，直接转到4)： 2.3反向学习策略 4)利用式(1)和(2)更新个体的速度和位置： 优化过程中如果算法陷入局部最优，则利用 5)计算个体的适应度值： 反向学习策略作为跳出机制，其中文献30]的反 6)对个体当前适应度值和前代适应度值进行 向学习策略如式(9)所示： 比较来更新个体最优， x=k(min(x)+max(xd))-xid 7)选择非支配解； xid k(aa+ba)-xid (9) 8)利用目标空间映射策略更新外部档案文件； x rand(ad,ba),if xi<xaminllxi>xdmas 9)从外部档案中随机选择一个个体来更新种 式中：xa表示第i个个体在第d维决策向量上得 群最优，并转到2)； 到的新位置；xa表示所有个体在第d维上的位置； 3实验结果与分析 aa和b.分别表示种群个体在第d维目标向量上 的最小和最大边界值；k表示(0,1)间的随机数； 31测试函数 [xim,xhaJ表示在第d维上的边界约束。 为了评价算法性能的优劣，文中采取了6组 由式(9)可得，xa的取值范围为[k(au+b)- WFG测试函数。参数设置如表1所示。(min(1/Disi),Disave),i = 1,2,··· , k β = (min(Fi)+rand(Fave− min(Fi))) 1 Fi ,i = 1,2,···q (min(Fi),Fave),i = 1,2,···q 布信息被缩放到 区 间内。当个体处于 C 区域时，假设 C 区域中个体 数量为 q,参数设置如下： ，α=1，该设置将区域 C 中个 体的收敛信息缩放到 区 间内，而分布信息保持不变。通过上述操作，处 于区域 B 和 C 中的个体，其分布信息和收敛信息 都被缩放到相同的区间之中，因此两区域中的个 体可以被放在一起统一评价。 在选取非支配解时，首先选取区域 A 中的个 体，当区域 A 中的个体个数大于外部文档大小 时，选取 Valuei 值小的个体进入档案文件；当区 域 A 中的个体个数小于外部文档大小时，再从 B 和 C 中选取剩余个体，当 B 和 C 中的个体个数 大于剩余外部文档大小时，仍然选取 Valuei 值小 的个体进入外部文档。当 B 和 C 中的个体个数 不能满足条件时，最后选取 D 中的个体。 图 2 给出了目标空间映射策略的流程图。 开始 根据 min(Fi )、max(Fi )、min(Disi )、max(Disi )、Fave 和 Disave ，将候选解分成 4 个不同的区域 计算 4 个不同的区域中所有个体的 Valuei 值 根据 Valuei 值大小，选取候 选解，存入外部档案 结束 图 2 目标映射策略的流程图 Fig. 2 Flowchart of the objective space mapping strategy 2.3 反向学习策略 优化过程中如果算法陷入局部最优，则利用 反向学习策略作为跳出机制，其中文献 [30] 的反 向学习策略如式 (9) 所示：    x ∗ id = k(min(xd)+max(xd))− xid x ∗ id = k(ad +bd)− xid x ∗ id = rand(ad, bd), if x ∗ id < xdmin||x ∗ id > xdmax (9) 式中：xid *表示第 i 个个体在第 d 维决策向量上得 到的新位置；xd 表示所有个体在第 d 维上的位置； ad 和 bd 分别表示种群个体在第 d 维目标向量上 的最小和最大边界值；k 表示 (0，1) 间的随机数； [xdmin, xdmax] 表示在第 d 维上的边界约束。 x ∗ id 由式 (9) 可得， 的取值范围为 [k(ad +bd)− bd, k(ad +bd)−ad] x ∗ ，当 k=1 时 ， id取得最大值为 bd。 因此，当最优解的决策向量位于 bd 的右侧时，上 述方法不能跳出局部最优。 x ∗ id = xdmin 本文对上述方法进行了改进，为提高算法跳 出局部最优的能力，同时不忽略当前收敛信息， 当 时 ， xi d 执行式 (10) 给出的反向学习 策略。 x ∗ id = xdmin + xdmax − xid (10) x ∗ 从式 id (10) 可以看出， 的取值范围扩大到了 [xdmin, xdmax]，该粒子跳出局部最优区域。 为了判断算法是否陷入局部最优，本文采用 文献 [31] 给出的判断准则作为反向学习的激发条 件，如式 (11) 所示：    |min(f t i )−min(f t−10 i )| |min(f t i )| < 0.005 , t > 10 |max(f t i )−max(f t−10 i )| |max(f t i )| < 0.005 , t > 10 (11) t m 式中：min(fi t ) 和 max(fi t ) 分别表示在第 代时，第 i 个目标维度上的最小和最大值。min(fi t−10) 和 max(fi t−10) 分别表示在第 t−10 代时，第 i 个目标维 度上的最小和最大值。对于一个 维测试函数， 通过式 (11) 对其所有的目标维度的变化率进行计 算，当所有的变化率都小于 0.005 时，算法陷入局 部最优。 2.4 MOPSO-OSM 流程 MOPSO-OSM 算法具体流程如下： 1) 算法初始化； 2) 判断是否满足停止条件，若条件满足，算 法停止迭代，否则转到 3)； 3) 判断种群是否陷入局部最优，执行反向学 习策略；否则，直接转到 4)； 4) 利用式 (1) 和 (2) 更新个体的速度和位置； 5) 计算个体的适应度值； 6) 对个体当前适应度值和前代适应度值进行 比较来更新个体最优; 7) 选择非支配解； 8) 利用目标空间映射策略更新外部档案文件； 9) 从外部档案中随机选择一个个体来更新种 群最优，并转到 2)； 3 实验结果与分析 3.1 测试函数 为了评价算法性能的优劣，文中采取了 6 组 WFG 测试函数。参数设置如表 1 所示。 第 2 期 陈强，等：目标空间映射策略的高维多目标粒子群优化算法 ·365·