·366· 智能系统学报 第16卷 表1测试函数参数设置 数设置如表2所示，所有算法均运行30次，计算 Table 1 Test functions parameter setting 收敛性和多样性指标，取其平均值。 测试函数 目标个数 决策变量个数 特征 表2对比算法参数设置 5 14 Table 2 Comparison algorithms parameter setting WFGI 混合 10 19 对比算法 参数设置 5 14 MOEA/DDT=20,Pm=1/n,7=7m=20,6=0.9,n,=2 WFG2 凸面，不连续 10 19 NSGA-III Pe=1,Pm=1/n,7e=7m=20 5 14 PESA-II Pe=1,Pm=1/n,7e=7m=20,dim=10 WFG3 线性，退化 10 19 RVEA Pe=1,Pm=1/n,1e=1m=20,a=2,f=0.1 14 凹面，多模 NMPSO Pm=1/n,7m=20,u∈[0.1,0.5]， WFG4 c1,c2,c3∈[1.5,2.5 10 19 MOPSO- w∈[0.4,0.91，c1=c2=2 5 14 OSM WFG5 凹面，欺骗性 10 19 对于MOPSO-OSM算法，其权重w是随着迭 5 14 WFG6 凹面，不可分 代次数线性减少的。 10 o 3.4结果与分析 3.2性能指标 表3和表4分别为所有算法在5目标和10目 文中利用世代距离(GD)、间距(SP)和逆世代 标测试函数时得到的GD、SP和IGD的平均值。 距离(IGD)3个指标来评估算法的性能。GD被用 3.4.1收敛性分析 来评价种群的收敛性，GD值越小，收敛性越好， 从表3中可以看出，对于5目标测试函数， 其计算公式为 NMPSO算法在WFG1和WFG2测试函数中得到 了最好的GD值。NSGA-III算法在WFG4和 WFG6问题中取得了最佳的GD值。MOPSO GD= (12) OSM算法在WFG3和WFG5取得了最优的GD n 式中：n表示非支配解的个数；d,表示非支配解与 值。对于10目标的测试函数，从表4中可以看 Pareto最优解之间的欧式距离。 出，在WFG1和WFG2测试函数上，MOEA/DD取 SP指标通常被用来评价种群的分布性，其计 得了最佳GD值。NSGA-IⅢI在WFG6问题上取得 算如式(13)所示，分布性好坏与其计算值成反比。 最优GD值，在WFG4和WFG5测试问题上，RVEA 取得的GD值排名第一。对于WFG3测试函数， 1 SP= (d-di) (13) n-1 MOPSO-OSM取得了最优的GD值。从以上可以 i=l 看出，本文所提出的算法在大部分测试函数中并 式中d为d,的平均值。 没有取得最优值。原因在于，大多数算法在求解 IGD指标被用来同时评价种群分布性和收敛 时，仅仅追求收敛性，忽视了分布性，而本文在目 性，IGD越小，算法展现出的性能越好，其计算公 标空间分配策略中，同时考虑目标向量的收敛性 式为 和分布性，所以在测试函数中，并不能完全保证 Sd(x'.P) GD的最优性，这也验证了“没有免费午餐”的 IGD= 'Ep. (14) 原理。 式中：P和P分别表示Pareto最优解集和非支配 3.4.2分布性分析 解；P表示非支配个数。 对于5目标测试函数，从表3中可以看出， 3.3对比算法及其设置 MOPSO-OSM算法在所有测试函数中都取得了最 本文所得结果与目前较为流行的进化算法进 好的SP值。对于10目标的测试函数，从表4可 行对比，比较算法包括：NSGA-II)、RVEAI2 以看出，MOPSO-OSM算法同样在所有的测试函 MOEA/DDI0、PESA-I)和NMPSO。所有使用 数中，得到了最好的SP值。以上可以看出，MOP- 的算法其种群大小都设置为100，外部文档的大 SO-OSM算法在保持种群分布性上面具有很大的 小为100，算法进化的次数为700次，算法具体参 优势。表 1 测试函数参数设置 Table 1 Test functions parameter setting 测试函数 目标个数 决策变量个数 特征 WFG1 5 14 混合 10 19 WFG2 5 14 凸面，不连续 10 19 WFG3 5 14 线性，退化 10 19 WFG4 5 14 凹面，多模 10 19 WFG5 5 14 凹面，欺骗性 10 19 WFG6 5 14 凹面，不可分 10 19 3.2 性能指标 文中利用世代距离 (GD)、间距 (SP) 和逆世代 距离 (IGD)3 个指标来评估算法的性能。GD 被用 来评价种群的收敛性，GD 值越小，收敛性越好， 其计算公式为 GD = √∑n i=1 d 2 i n (12) 式中：n 表示非支配解的个数；di 表示非支配解与 Pareto 最优解之间的欧式距离。 SP 指标通常被用来评价种群的分布性，其计 算如式 (13) 所示，分布性好坏与其计算值成反比。 S P = vt 1 n−1 ∑n i=1 (d −di) 2 (13) 式中 d 为 di 的平均值。 IGD 指标被用来同时评价种群分布性和收敛 性，IGD 越小，算法展现出的性能越好，其计算公 式为 IGD = ∑ x ∗∈P∗ d(x ∗ , P) |P∗ | (14) 式中：P 和 P *分别表示 Pareto 最优解集和非支配 解；|P * |表示非支配个数。 3.3 对比算法及其设置 本文所得结果与目前较为流行的进化算法进 行对比，比较算法包括：NSGA-III[3] 、RVEA[32] 、 MOEA/DD[10] 、PESA-II[33] 和 NMPSO[7]。所有使用 的算法其种群大小都设置为 100，外部文档的大 小为 100，算法进化的次数为 700 次，算法具体参 数设置如表 2 所示，所有算法均运行 30 次，计算 收敛性和多样性指标，取其平均值。 表 2 对比算法参数设置 Table 2 Comparison algorithms parameter setting 对比算法 参数设置 MOEA/DD T = 20, pm = 1/n,ηc = ηm = 20,δ = 0.9,nr = 2 NSGA-III pc = 1, pm = 1/n,ηc = ηm = 20 PESA-II pc = 1, pm = 1/n,ηc = ηm = 20,div = 10 RVEA pc = 1, pm = 1/n,ηc = ηm = 20,α = 2, fr = 0.1 NMPSO pm = 1/n,ηm = 20,ω ∈ [0.1,0.5], c1, c2, c3 ∈ [1.5,2.5] MOPSO￾OSM ω ∈ [0.4,0.9], c1 = c2 = 2 对于 MOPSO-OSM 算法，其权重 ω 是随着迭 代次数线性减少的。 3.4 结果与分析 表 3 和表 4 分别为所有算法在 5 目标和 10 目 标测试函数时得到的 GD、SP 和 IGD 的平均值。 3.4.1 收敛性分析 从表 3 中可以看出，对于 5 目标测试函数， NMPSO 算法在 WFG1 和 WFG2 测试函数中得到 了最好的 GD 值。NSGA-III 算法在 WFG4 和 WFG6 问题中取得了最佳的 GD 值。MOPSO￾OSM 算法在 WFG3 和 WFG5 取得了最优的 GD 值。对于 10 目标的测试函数，从表 4 中可以看 出，在 WFG1 和 WFG2 测试函数上，MOEA/DD 取 得了最佳 GD 值。NSGA-III 在 WFG6 问题上取得 最优 GD 值，在 WFG4 和 WFG5 测试问题上，RVEA 取得的 GD 值排名第一。对于 WFG3 测试函数， MOPSO-OSM 取得了最优的 GD 值。从以上可以 看出，本文所提出的算法在大部分测试函数中并 没有取得最优值。原因在于，大多数算法在求解 时，仅仅追求收敛性，忽视了分布性，而本文在目 标空间分配策略中，同时考虑目标向量的收敛性 和分布性，所以在测试函数中，并不能完全保证 GD 的最优性，这也验证了“没有免费午餐”的 原理。 3.4.2 分布性分析 对于 5 目标测试函数，从表 3 中可以看出， MOPSO-OSM 算法在所有测试函数中都取得了最 好的 SP 值。对于 10 目标的测试函数，从表 4 可 以看出，MOPSO-OSM 算法同样在所有的测试函 数中，得到了最好的 SP 值。以上可以看出，MOP￾SO-OSM 算法在保持种群分布性上面具有很大的 优势。 ·366· 智 能 系 统 学 报 第 16 卷