高等数学学习手记 1inrl+tD∥=0(*),因此b必定为零,因为若b>0,则在(0,b)内m1+)20; 若b<0,则在[b,0]内 >0,(*)均不成立,确定了b之后,可再由罗必塔法则确定 解:由于当X→0时ax-sinx→>0,且lim ax-sIn x C≠0,故b=0,再用罗必塔法则: x→0rxln(1+r2) ax-sinx lim a-cosx lim a-cosx 若a≠1,则上式为叨,与条件不复合,故 x In(1+t). x+o In(1+x) x-o a=1,从而再用罗必塔法则(或等价无穷小代换,得c 总结:我们认为求极限的主要方法是:罗必塔法则;两个重要极限;两边夹法则;单调 有界法则;等价无穷小替换;泰勒级欻展开〔上述方法请参见第四部分的极限专项方法综述) 综合历年的考试题目,使用的主要方法就是以上五种。求极限的方法是灵活的,有的题目要 几种方法一起用,所以本部分学好的关键还是在于自己要多多练习。只有自己有了很多的感 性认识,以上方法(理性认识)才能转化为自己的东西。否则光“知道”这些方法是解决不 了问题的。 3、讨论函数的连续性,判断间断点的类型 这部分内容(定义我们不重复了,大家自己看书),我感觉主要内容是两部分,一是函 数的连续问题,二是判断间断点类型。对于间断点类型,数学二可能要出大题,数学一基本 上只会以小题形式出现 连续问题综合历年考察的特点,主要是考察左、右连续的问题(左、右极限)。间断点的判 断时间上也是考察的左、右连续的问题。连续和间断的考察点我个人认为主要归结到左右极 限问题 例题1:设f(x)=m+2-,试讨论此函数的连续性。 n→∞x+x 解:fx)={0.x=1 显然,f(x)在(-∞,-1),(0,1)(-1,0)以及(1,+)内连 续,只要讨论在-1、0、1三个点的连续性,由limf(x)=1,lim∫(x)=1,lim∫(x)=1 x→1 lim∫(x)=-1,limf(x)=0,所以ⅹ=0,±1是f(x)的三个间断点,其中X=0和-1是可去间 断点,X=1是第一类间断点(跳跃间断点) 例题2:当x→>1时,求函数2x-1的极限 考研数学学习班组织委员会 第9页高 等 数 学 学 习 手 记 考研数学学习班组织委员会 第 9 页 3 0 ln(1 ) lim x x b t dt → t + ∫ 0 * 因此 b 必定为零 因为若 b>0 则在 0 b 内 3 ln(1 ) 0 t t + > 若 b<0 则在[b 0]内 3 ln(1 ) 0 t t + > * 均不成立 确定了 b 之后 可再由罗必塔法则确定 a c 解 由于当 x→0 时 ax sinx→0 且 3 0 sin lim ln(1 ) x x b ax x t dt t → − + ∫ c ≠ 0 故 b 0 再用罗必塔法则 3 0 sin lim ln(1 ) x x b ax x t dt t → − + ∫ 3 0 cos lim ln(1 ) x a x x x → − + 2 0 cos limx a x → x − 若 a ≠ 1 则上式为∞ 与条件不复合 故 a 1 从而再用罗必塔法则 或等价无穷小代换 得 c 1 2 总结 我们认为求极限的主要方法是 罗必塔法则 两个重要极限 两边夹法则 单调 有界法则 等价无穷小替换 泰勒级数展开 上述方法请参见第四部分的极限专项方法综述 综合历年的考试题目 使用的主要方法就是以上五种 求极限的方法是灵活的 有的题目要 几种方法一起用 所以本部分学好的关键还是在于自己要多多练习 只有自己有了很多的感 性认识 以上方法 理性认识 才能转化为自己的东西 否则光 知道 这些方法是解决不 了问题的 3 讨论函数的连续性 判断间断点的类型 这部分内容 定义我们不重复了 大家自己看书 我感觉主要内容是两部分 一是函 数的连续问题 二是判断间断点类型 对于间断点类型 数学二可能要出大题 数学一基本 上只会以小题形式出现 连续问题综合历年考察的特点 主要是考察左 右连续的问题 左 右极限 间断点的判 断时间上也是考察的左 右连续的问题 连续和间断的考察点我个人认为主要归结到左右极 限问题 例题 1 设 f(x) 2 1 lim n n n n n x x x x + − →∞ − − − + 试讨论此函数的连续性 解 f(x) 2 ,0 1 0, 1 , 1 x x x x x − <<   =  >  显然 f(x)在 ∞ -1 0 1 -1 0 以及 1 +∞ 内连 续 只要讨论在 1 0 1 三个点的连续性 由 1 1 lim ( ) 1, lim ( ) 1 x x fx fx →− →− + − = = 1 lim ( ) 1 x f x → + = 1 0 lim ( ) 1,lim ( ) 0 x x fx fx → − → =− = 所以 x 0 ± 1 是 f(x)的三个间断点 其中 x 0 和-1 是可去间 断点 x 1 是第一类间断点 跳跃间断点 例题 2 当 x→1 时 求函数 2 1 1 1 1 x x e x − − − 的极限