考研数学学习手记系列 当x<0时,g(x)<1,f1g(x)】-1 当x=0时,g(x)=1,tg(x=0 当x>0时,g(x)>1,tgx)=-1 1|x<0 x 总之,有[8(对=10=0.而[(=c,所以(=1=1 1x>0, 2-x,x≤0 例题2:设g(x)= x+2,x>03f(x)=x,x<0,求g x,x≥0 分析:函数的复合本质上是对应关系的乘积,并非简单的“代入”。要注意fx)的值域与g(x) 的定义域之交非空集合以及g[(∞刈定义域的变化。 解:我们可以这样做 gf)]= 2-f(x)(x)≤0=2+xx20 (之间要注意定义域和值域相互之间的关系) f(x)+2,f(x)>02-x2,x<0 2、求极限的方法(重点内容,请注意第四部分的极限专项方法综述) 28/y 例题1:求lm SIn Z n 解:本题是典型的两边夹和定积分结合应用的题目。 sIn sin 由于 几,所以 n+1 n+1 n n 而且lmsn红-sx lim .2sin==lim(- +1n 所以利用夹逼定理,可以得到原式答案为 在极限中,还有一种题型就是已知极限,反过来求极限中的参数的题目。这类题一般是 求极限思路的逆分析,90%需要考虑等价无穷小和罗必塔法则 例题2:确定常数a、b、C的值,使lim-ax-x=c(c≠0) dt 分析:当x→0时ax-snx→0,且lm2x存在而且不为零,所以 n(1+13) 第8页 考研数学学习班组织委员会考 研 数 学 学 习 手 记 系 列 第 8 页 考研数学学习班组织委员会 当 x<0 时 g x() 1 < f[g(x)] 1 当 x=0 时 g x() 1 = f[g(x)] 0 当 x>0 时 g x() 1 > f[g(x)] 1 总之 有 ( ) 1, 0, 0, 0, 1, 0, x f gx x x       = =   − ≺ ; 而 ( ) f x( ) gfx e   =   所以 ( ) 1 e, x 1 1, x 1 e, 1 gfx x  <      = =   >  例题 2 设 ( ) 2, 0 2, 0 x x g x x x  − ≤ =   + > ( ) 2 , 0 , 0 x x f x x x  < =  − ≥ 求 g[f(x)] 分析 函数的复合本质上是对应关系的乘积 并非简单的 代入 要注意 f(x)的值域与 g(x) 的定义域之交非空集合以及 g[f(x)]定义域的变化 解 我们可以这样做 g[f(x)] 2 ( ), ( ) 0 ( ) 2, ( ) 0 fx fx fx fx  − ≤   + > 2 2, 0 2 ,0 x x x x  + ≥   − < 之间要注意定义域和值域相互之间的关系 2 求极限的方法 重点内容 请注意第四部分的极限专项方法综述 例题 1 求 2 sin sin sin lim 1 1 1 2 x n n n n n n π π π →∞     + +⋅⋅⋅+ + + +   解 本题是典型的两边夹和定积分结合应用的题目 由于 sin sin sin 1 iii nnn n n i n n πππ < < + + 所以 11 1 sin 1 1 sin sin 1 nn n ii i i i i n n n nn i n n π π π == = < < + + ∑∑ ∑ 而且 1 0 1 1 2 lim sin sin n n i i xdx n n π π →∞ = π ∑ = = ∫ 1 1 1 12 lim sin lim( sin ) 1 1 n n n n i i in i n n nn n π π →∞ →∞ = = π =× = + + ∑ ∑ 所以利用夹逼定理 可以得到原式答案为 2 π 在极限中 还有一种题型就是已知极限 反过来求极限中的参数的题目 这类题一般是 求极限思路的逆分析 90 需要考虑等价无穷小和罗必塔法则 例题 2 确定常数 a b c 的值 使 3 0 sin lim ln(1 ) x x b ax x t dt t → − + ∫ c c ≠ 0 分 析 当 x→0 时 ax sinx→0 且 3 0 sin lim ln(1 ) x x b ax x t dt t → − + ∫ 存在而且不为零 所 以