高等数学学习手记 第一章:函数·极限·连续 考试内容 函数的概念及表示法;函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性;复合函数、反函数、 分段函数和隐函数;基本初等函数的性质及其图形;初等函数;简单应用问题的函数关系的 建立;数列极限与函数极限的定义以及它们的性质;函数的左极限与右极限;无穷小和无穷 大的概念及其关系;无穷小的性质及无穷小的比较;极限的四则运算;极限存在的两个准则: 单调有界准则和夹逼准则;两个重要极限 Im+-=e x→∞ 函数连续的概念;函数间断点的类型;初等函数的连续性;闭区间上连续函数的性质(有 界性、最大值和最小值定理、介值定理) 考试要求 1、理解函数的概念,掌握函数的表示方法,并会建立简单应用问题中的函数关系式; 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性 3、理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念; 4、掌握基本初等函数的性质及其图形: 5、理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念,以及极限存在与左、右极限之间的 关系; 6、掌握极限的性质及四则运算法则; 7、掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法 8、理解无穷小、无穷大以及阶的概念,掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限; 9、理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性,了解闭区间上连续函数的性质(有界性、最 大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质 三、典型例题分析(本小节由 Chenkebin编写) 本章主要题型有:①复合分段函数的求值;②直接计算给定的极限或根据给定的极限反 过来确定式子中的常数(这个里面包含了很多数列收敛的问题);③讨论函数的连续性,判 断间断点的类型;④无穷小阶的比较;③讨论连续函数在给定区间的零点或方程在给定区间 有无实根。 1、复合分段函数问题 x 例题1:设函数f(x)=10=1,g(x)=e,求0x)与gx x>1, 分析:这是函数记号的运算,基本思路是弄清定义域与函数值之间的关系 解:因为g(x)=,故 考研数学学习班组织委员会 第7页高 等 数 学 学 习 手 记 考研数学学习班组织委员会 第 7 页 第一章 函数 极限 连续 一 考试内容 函数的概念及表示法 函数的有界性 单调性 周期性和奇偶性 复合函数 反函数 分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 简单应用问题的函数关系的 建立 数列极限与函数极限的定义以及它们的性质 函数的左极限与右极限 无穷小和无穷 大的概念及其关系 无穷小的性质及无穷小的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则 单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限: 0 sin lim 1 x x → x     =   1 lim 1 x x e →∞ x     + =   函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 有 界性 最大值和最小值定理 介值定理 二 考试要求 1 理解函数的概念 掌握函数的表示方法 并会建立简单应用问题中的函数关系式 2 了解函数的奇偶性 单调性 周期性和有界性 3 理解复合函数及分段函数的概念 了解反函数及隐函数的概念 4 掌握基本初等函数的性质及其图形 5 理解极限的概念 理解函数左极限与右极限的概念 以及极限存在与左 右极限之间的 关系 6 掌握极限的性质及四则运算法则 7 掌握极限存在的两个准则 并会利用它们求极限 掌握利用两个重要极限求极限的方法 8 理解无穷小 无穷大以及阶的概念 掌握无穷小的比较方法 会用等价无穷小求极限 9 理解函数连续性的概念 含左连续与右连续 会判别函数间断点的类型 10 了解连续函数的性质和初等函数的连续性 了解闭区间上连续函数的性质 有界性 最 大值和最小值定理 介值定理 并会应用这些性质 三 典型例题分析 本小节由 Chenkebin 编写 本章主要题型有 复合分段函数的求值 直接计算给定的极限或根据给定的极限反 过来确定式子中的常数 这个里面包含了很多数列收敛的问题 讨论函数的连续性 判 断间断点的类型 无穷小阶的比较 讨论连续函数在给定区间的零点或方程在给定区间 有无实根 1 复合分段函数问题 例题 1 设函数 ( ) 1, 1, 0, 1, 1, 1, x fx x x   = =   − ≺ ; ( ) x gx e = 求 f[g(x)]与 g[f(x)]. 分析 这是函数记号的运算 基本思路是弄清定义域与函数值之间的关系 解 因为 ( ) x gx e = 故