证明设A在基6,6下的矩阵为对角矩阵 则A5,=,5,i=1,2,.,n.于是6，6n就是A的n个线性无关的特征向量 反之，若6，6是A的n个线性无关的特征向量，则以6，6为基A在此基下的矩阵显然 是对角矩降 定理8属于不同特征值的特征向量是线性无关的 证明对特征值的个数m作数学归纳法设入，入是A的m个不同特征值.g是属于入的特 征向量要证a,&线性无关m=1时结论显然成立设m=k时结论成立下面看m=k+1的情形 设 a,%+.+aa+ak=0 (1) ()式两边乘得 a++a+=0. (2) 对A作用于(1)式得 a2g1++a+a4=0. (3) (2)减(3)得a(1-)a+.+a(1-)a=0.由归纳假设得 a,(1-4)=0,i=12,.,k 因此1-≠0，所以a,=0,i=l,2,.,k代回(1)式得a1=0.由归纳法原理定理得证 推论1若dimV=n,P的线性变换A有n个不同的特征值，则A在某组基下的矩阵是对角矩阵 推论2设V是复数域上线性空间若V的线性变换A的特征多项式无重根，则A在某组基下的 矩阵是对角矩阵 定理8可以推广为： 定理9如果，：是线性变换A的不同特征值，而α，a%是属于的线性无关的特征向量 i=1,2,.,k,则证明 设 A 在基 1 , , n    下的矩阵为对角矩阵 1 2 , n                则 , 1,2, , . A i n i i i    = = 于是 1 , , n    就是 A 的 n 个线性无关的特征向量. 反之，若 1 , , n    是 A 的 n 个线性无关的特征向量，则以 1 , , n    为基. A 在此基下的矩阵显然 是对角矩阵. 定理 8 属于不同特征值的特征向量是线性无关的. 证明 对特征值的个数 m 作数学归纳法.设 1 , ,  m  是 A 的 m 个不同特征值.i 是属于 i 的特 征向量.要证 1 , ,   m  线性无关. m =1 时结论显然成立.设 m k = 时结论成立.下面看 m k = +1 的情形. 设 1 1 1 1 0. k k k k a a a    + + + = + + (1) (1) 式两边乘 k+1 得 1 1 1 1 1 1 1 0. k k k k k k k a a a       + + + + + + + + = (2) 对 A 作用于(1)式得 1 1 1 1 1 1 0. k k k k k k a a a      + + + = + + + (3) (2) 减(3)得 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 0. k k k k k a a       + + − + + − = 由归纳假设得 1 ( ) 0, 1,2, , . i k i a i k   + − = = 因此 1 0,   k i + −  所以 0, 1,2, , . i a i k = = 代回(1)式得 1 0. k a + = 由归纳法原理.定理得证. 推论1 若 dim , V n V = 的线性变换 A 有 n 个不同的特征值，则 A 在某组基下的矩阵是对角矩阵. 推论 2 设 V 是复数域上线性空间.若 V 的线性变换 A 的特征多项式无重根，则 A 在某组基下的 矩阵是对角矩阵. 定理 8 可以推广为： 定理 9 如果 1 , ,  k  是线性变换 A 的不同特征值，而 1 , , i   i ir  是属于 i 的线性无关的特征向量 i k =1, 2, , , 则 1 2 1 11 1 21 2 , , , , , , , , k       r r k kr   