§2.3δ势阱 1.δ函数的定义和主要性质 d函数的概念是 Dirac首先提出来的,它有直接的物理背景。例如考虑一些电荷分布在一条直线上, 可以引入线电荷密度p(x)来描写这个分布,它的定义是 P(x)=lm Ax→>0△A 其中△q是分布在间隔△x中的电荷,而这条直线上的总电荷Q由p(x)的积分给出 Q=(x) 如果实际的电荷分布是在x=a处有一个点电荷Q,其它各处都没有电荷,那么显然p(x)在x≠a的 地方处处是零,而在x=a这一点变成了无穷大。Drac建议:把这时的线电荷密度p(x)记为 P(x)=0d(x-a) 其中的(x-a)就称为d函数。它显然是一种非常“奇异”的函数。 可以这样来理解δ函数: +∞,(x=a 并且 「6(x-a)d=1 但是严格地说∞不是一个“数”,所以上面这种表达δ函数的方法不符合数学中关于“函数”的定义。 严格一点,可以认为δ函数是一种特殊的“积分核”,按照下式来定义: f(xo(x-adx=f(a) 其中函数f(x)在x=a(-∞<a<+∞)处是连续的。但是要指出,这里的积分仍然不是 Riemann(黎 曼)积分,而其中的δ函数也属于“广义函数”一类。 可以把δ函数看作是一些含参数的连续函数的极限情形。例如考虑 6(x,a) (C,a>0) 在α→+∞时的极限。显然 lim aex (x≠0) a→+0 +∞,(x=0) ae 所以,只要取 z 这个极限函数就满足δ函数的条件,因此 lim 6(x).(a>0) 类似的极限还有 lim 6(x) kx =6(x), kx 6(x)1 §2.3  势阱 1.  函数的定义和主要性质  函数的概念是 Dirac 首先提出来的，它有直接的物理背景。例如考虑一些电荷分布在一条直线上， 可以引入线电荷密度 (x) 来描写这个分布，它的定义是 x q x x   =  →0 ( ) lim , 其中 q 是分布在间隔 x 中的电荷，而这条直线上的总电荷 Q 由 (x) 的积分给出：  Q = (x) dx . 如果实际的电荷分布是在 x = a 处有一个点电荷 Q ，其它各处都没有电荷，那么显然 (x) 在 x  a 的 地方处处是零，而在 x = a 这一点变成了无穷大。Dirac 建议：把这时的线电荷密度 (x) 记为 (x) = Q (x − a), 其中的  (x − a) 就称为  函数。它显然是一种非常“奇异”的函数。 可以这样来理解  函数： 0, ( ) ( ) , ( ) x a x a x a    − =  + = 并且   (x − a) dx = 1. 但是严格地说  不是一个“数”，所以上面这种表达  函数的方法不符合数学中关于“函数”的定义。 严格一点，可以认为  函数是一种特殊的“积分核”，按照下式来定义：  f (x) (x − a) dx = f (a), 其中函数 f (x) 在 x = a (−  a  +) 处是连续的。但是要指出，这里的积分仍然不是 Riemann（黎 曼）积分，而其中的  函数也属于“广义函数”一类。 可以把  函数看作是一些含参数的连续函数的极限情形。例如考虑 ( , ) ( , 0) 2 2 = e  −      x C C x 在  → + 时的极限。显然 2 2 0, ( 0) lim , ( 0) e x x x    − →+   =  + = 同时    = − + − dx x 2 2 e , 所以，只要取  1 C = , 这个极限函数就满足  函数的条件，因此 2 2 lim ( ). ( 0) e x x       − →+ =  类似的极限还有 sin lim ( ), k kx x x  →+  = 2 2 sin lim ( ), k kx x k x  →+  = 2 1 cos lim ( ), k kx x kx  →+  − =