3.设有两点A(-5,4,0),B(-4,3,4),求满足条件|PA=2|PB的动点P(x,y,=)的轨迹 方程,并指出该方程表示什么图形 解P 由PA|=√2|PB|,得 (x+5)2+(y-4 √2√(x+4)2+(y-3)2+( (4分) 两边平方,化简并配方得(x+3)2+(y-2)2+(z-8)2=36, (6分) 该方程表示以(-3,2,8)为球心,半径为6的球面 (7分) 五、[12分]设当0≤x≤1时,y=3ax2+2bx≥0.已知以曲线y=3ax2+2bx为曲边,x轴 上区间[0,1为底边的曲边梯形的面积为1.试确定a,b的值,使得该曲边梯形绕x轴旋转所成 旋转体的体积为最小 解[(30x2+2hx)dt=(a3+bx2)=a+b=1, (4分) =z「(3a2+bx)dt=r(9a2x4+1bx3+4b2x2 =(2a2x5+3bx4+b2x3)=a2+3b+b21 =x[a2+3(1-a)+-(1-a) 丌(-a2+-a+-), (9分) 求导得′=x(a+3),令V=0,得唯一驻点a r>0,所以,当a=-5时,取最小值,此时b 因此,当a b=-时,该曲边梯形绕x轴旋转所成旋转体的体积最小.(12分) 高数(一)B卷第5页共6页高数（一） B 卷 第 5 页 共 6 页 3．设有两点 A(−5, 4, 0)， B(−4, 3, 4) ，求满足条件 | PA| = 2 | PB | 的动点 P(x, y, z) 的轨迹 方程，并指出该方程表示什么图形． 解 2 2 2 PA x y z = + + − + − ( 5) ( 4) ( 0) ， 2 2 2 PB x y z = + + − + − ( 4) ( 3) ( 4) ， 由 | PA| = 2 | PB | ，得 2 2 2 2 2 2 (x + 5) + ( y − 4) + z = 2 (x + 4) + ( y − 3) + (z − 4) （4 分） 两边平方，化简并配方得 ( 3) ( 2) ( 8) 36 2 2 2 x + + y − + z − = ， （6 分） 该方程表示以 (− 3, 2, 8) 为球心，半径为 6 的球面. （7 分） 五、[12 分] 设当 0  x 1 时， y 3ax 2bx 2 = +  0 ．已知以曲线 y 3ax 2bx 2 = + 为曲边， x 轴 上区间 [0,1] 为底边的曲边梯形的面积为 1．试确定 a, b 的值, 使得该曲边梯形绕 x 轴旋转所成 旋转体的体积为最小． 解 1 1 2 3 2 0 0 (3 2 ) ( ) 1 ax bx dx ax bx a b + = + = + =  ， （4 分） 1 2 2 0 V ax bx dx = +  (3 2 )  1 2 4 3 2 2 0 = + +  (9 12 4 ) a x abx b x dx  1 2 5 4 2 3 0 9 4 ( 3 ) 5 3 = + +  a x abx b x 9 4 2 2 3 5 3 = [ ] a ab b + + 9 4 2 2 3 (1 ) 5 3 = − [ (1 ) ] a a a + − + a 2 2 15 1 4 ( ) 3 3 = +  a + a ， （9 分） 求导得 4 15 1 ( ) 3 V a  =  + ，令 V  = 0 ，得唯一驻点 5 4 a = − . 又 4 15 V  =   0 ，所以，当 5 4 a = − 时， V 取最小值，此时 9 4 b = . 因此，当 5 4 a = − ， 9 4 b = 时，该曲边梯形绕 x 轴旋转所成旋转体的体积最小. （12 分）