·552 北京科技大学学报 第36卷 在计算机控制系统中，具有两个或两个以上不 则系统(2)受限等价于 同采样周期的采样器或保持器的数字控制系统就是 x1(k+1)=A1x1(k)+A2x2(k)+B,u(k), 多采样率系统.多采样率系统的理论分析和相应的 0=A21x1(k)+A2x2(k)+B2u(k), 控制系统设计一般都比单采样率系统复杂，但它能 y (k)=Cx (k)+Cx (k). 实现更多的控制目标，如改善系统的增益裕量、同 (4) 时稳定、强镇定和分散控制.在大型工业控制中， 由文献B],系统(4)（从而系统(2）)为因果 被控对象往往很庞大很复杂，不同子系统的信号变 系统的充分必要条件是矩阵A2可逆.易知 化速率相差很大，要求系统各处都采用相同的采样 周期是不实际的，这就使得人们必须采用多采样率 D1erl2」 控制系统圆 为了研究多采样率系统(1)最优输出调节器， 多采样率离散时间正常系统的预见控制问题取 需要以下基本假设： 得了很大的理论成果习.其中文献9]推广文献 (A1)假设存在入≠0，A≠1，使得det（A+E- 门8]的结果，得到了一般多采样率系统的最优预 AA-Ad)≠0： 见控制器.文献0]成功将广义系统理论与预见控 (A2)假设对任一满足IAI≥1的复数入，矩阵 制理论相结合，得到了离散时间广义因果系统带有 +1E-AA-AB]行满秩： 预见前馈补偿的最优预见控制器.本文针对状态时 (A3)假设对任一满足I入I≥1的复数入，矩阵 滞多采样率线性离散时间广义因果系统，利用提升 AE-AA-A 列满秩； 技术将系统转化为形式上简单的无时滞的单采样率 A'C 系统，最终得到了原系统的最优输出调节器. (A4)假设状态向量x(k)和输出向量y(k)仅 在k=iN(i=0,1,2,…)时能被测量，N为正整数 1 数学模型及相关假设 附注：当状态时滞d=0时，即正则广义系统 考虑如下具有状态时滞的、正则的线性离散时 (1)的第一个方程成为Ex(k+1)=(A+A)x(k) 间广义因果系统 +Bu(k),即系统不含有状态时滞.在这种情况下， Ex(k+1)=Ax(k)+Ax(k-d)+Bu(k), (A1)中的不等式成为det(AE-(A+Aa)≠0，这 Ly(k)=Cx ( 正好是正常广义系统正则性的加强条件.通过 (1) 类似的分析可知这时(A2)和(A3)分别是正常广义 其中：x()∈R”是状态向量；u(k)∈R是输入向 系统的能稳定性与能检测性的加强条件.另外， 量；y(k)∈R“是输出向量：E、A、A、B和C是具 (A4)说明系统是输入型多采样率系统。 有适当维数的常数矩阵；d>0是系统的状态时滞， 2 构造形式上无时滞的系统 取整数；E为奇异矩阵，满足rank(E)=q<n. 对于带有状态时滞的多采样率线性离散时间广 为了方便，同时考虑无时滞、正则的线性离散 义系统(1)，先利用离散提升技术，转化为一个形 时间广义因果系统： 式上无时滞的系统. Ex(k+1)=Ax(k)+Bu (k), (2) 可以利用提升技术消除时滞.提升技术的精髓 Ly(k)=Cx(k). 是把x(k-d),x(k-d+1),…,x(k-1)和x(k)一 按照矩阵理论，任何矩阵都可以通过初等变换化为 样，都加入到系统的状态向量中，也就是把系统 标准形.因此，存在非奇异矩阵Q,和P,使得 (1)中的第一式与若干个恒等式 0 利用这个变换，对于系统(2)， x(k-d+i)=x(k-d+i),i=1,2,…,d 00 联立得到一个形式系统.为此，令 令 x(k-d) [.00 …0 01 x)=P出eR,x因eR, x(k-d+1) 0L.0 …0 0 0 0 0 c-G) X()= ,E= 01n x(k-2) ξ B x(k-1) 0 0 0 …In 0 (3) x() 0 0 0 …0E」北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 在计算机控制系统中，具有两个或两个以上不 同采样周期的采样器或保持器的数字控制系统就是 多采样率系统． 多采样率系统的理论分析和相应的 控制系统设计一般都比单采样率系统复杂，但它能 实现更多的控制目标，如改善系统的增益裕量、同 时稳定、强镇定和分散控制． 在大型工业控制中， 被控对象往往很庞大很复杂，不同子系统的信号变 化速率相差很大，要求系统各处都采用相同的采样 周期是不实际的，这就使得人们必须采用多采样率 控制系统［6］． 多采样率离散时间正常系统的预见控制问题取 得了很大的理论成果［7--9］． 其中文献［9］推广文献 ［7--8］的结果，得到了一般多采样率系统的最优预 见控制器． 文献［10］成功将广义系统理论与预见控 制理论相结合，得到了离散时间广义因果系统带有 预见前馈补偿的最优预见控制器． 本文针对状态时 滞多采样率线性离散时间广义因果系统，利用提升 技术将系统转化为形式上简单的无时滞的单采样率 系统，最终得到了原系统的最优输出调节器． 1 数学模型及相关假设 考虑如下具有状态时滞的、正则的线性离散时 间广义因果系统 Ex( k + 1) = Ax( k) + Ad x( k － d) + Bu( k) ， {y( k) = Cx( k) ． ( 1) 其中: x( k) ∈Ｒn 是状态向量; u( k) ∈Ｒr 是输入向 量; y( k) ∈Ｒm 是输出向量; E、A、Ad、B 和 C 是具 有适当维数的常数矩阵; d ＞ 0 是系统的状态时滞， 取整数; E 为奇异矩阵，满足 rank( E) = q ＜ n． 为了方便，同时考虑无时滞、正则的线性离散 时间广义因果系统: Ex( k + 1) = Ax( k) + Bu( k) ， {y( k) = Cx( k) ． ( 2) 按照矩阵理论，任何矩阵都可以通过初等变换化为 标准形． 因此，存在非奇异矩阵 Q1 和 P1，使得 Q1EP1 = Iq 0 [ ] 0 0 ． 利用这个变换，对于系统( 2) ， 令 x( k) = P1 x1 ( k) x2 ( k [ ] ) ，x1 ( k) ∈Ｒq ，x2 ( k) ∈Ｒn － q ， Q1AP1 = A11 A12 [ ] A21 A22 ，Q1B = B1 [ ] B2 ，CP1 = [ ] C1 C2 ． ( 3) 则系统( 2) 受限等价于 x1 ( k + 1) = A11 x1 ( k) + A12 x2 ( k) + B1u( k) ， 0 = A21 x1 ( k) + A22 x2 ( k) + B2u( k) ， y( k) = C1 x1 ( k) + C2 x2 ( k) { ． ( 4) 由文献［3］，系统( 4) ( 从而系统( 2) ) 为因果 系统的充分必要条件是矩阵 A22可逆． 易知 A22 =［0 In － q］QAP 0 In － [ ] q ． 为了研究多采样率系统( 1) 最优输出调节器， 需要以下基本假设: ( A1) 假设存在 λ≠0，λ≠1，使得 det ( λd + 1 E － λd A － Ad ) ≠0; ( A2) 假设对任一满足 | λ | ≥1 的复数 λ，矩阵 ［λd + 1 E － λd A － Ad B］行满秩; ( A3) 假设对任一满足 | λ | ≥1 的复数 λ，矩阵 λd + 1 E － λd A － Ad λ [ ] d C 列满秩; ( A4) 假设状态向量 x( k) 和输出向量 y( k) 仅 在 k = iN( i = 0，1，2，…) 时能被测量，N 为正整数． 附注: 当状态时滞 d = 0 时，即正则广义系统 ( 1) 的第一个方程成为 Ex( k + 1) = ( A + Ad ) x( k) + Bu( k) ，即系统不含有状态时滞． 在这种情况下， ( A1) 中的不等式成为 det ( λE － ( A + Ad ) ) ≠0，这 正好是正常广义系统正则性的加强条件［10］． 通过 类似的分析可知这时( A2) 和( A3) 分别是正常广义 系统的能稳定性与能检测性的加强条件． 另外， ( A4) 说明系统是输入型多采样率系统． 2 构造形式上无时滞的系统 对于带有状态时滞的多采样率线性离散时间广 义系统( 1) ，先利用离散提升技术，转化为一个形 式上无时滞的系统． 可以利用提升技术消除时滞． 提升技术的精髓 是把 x( k － d) ，x( k － d + 1) ，…，x( k － 1) 和 x( k) 一 样，都加入到系统的状态向量中，也就是把系统 ( 1) 中的第一式与若干个恒等式 x( k － d + i) = x( k － d + i) ，i = 1，2，…，d 联立得到一个形式系统． 为此，令 X( k) = x( k － d) x( k － d +1)  x( k －2) x( k －1) x( k                  )  ，槇E = In 0 0 … 0 0 0 In 0 … 0 0 0 0 In … 0 0       0 0 0 … In 0 0 0 0 … 0                  E  ， ·552·