第36卷第4期 北京科技大学学报 Vol.36 No.4 2014年4月 Journal of University of Science and Technology Beijing Apr.2014 状态时滞多采样率线性离散广义因果系统的最优输出 调节器设计 曹梦娟2，廖福成2》四 1)北京科技大学自动化学院，北京1000832)北京科技大学数理学院，北京100083 ☒通信作者，E-mail:fcliao@ust山.edu.cm 摘要研究了带有状态时滞的多采样率线性离散时间广义因果系统的最优输出调节器的设计问题.首先利用离散提升技 术将原系统转化为形式上无时滞的系统。再通过等价变换，利用系统的因果性特点将其化为一个正常系统.继续对系统进行 离散提升，导出一个形式上简单的单采样率系统.然后将原系统的二次性能指标函数修正为单采样率系统的二次性能指标 函数，进而利用最优调节原理，得到其最优调节器.再经过变换，得到多采样率系统的最优输出调节器.同时对导出的单采 样率系统的能稳定性和能检测性进行了讨论，给出了严格的数学证明.最后的数值仿真表明，本文所设计的最优调节器是有 效的. 关键词时滞控制系统：因果关系：采样；离散时间系统：最优调节器 分类号TP273 Design of optimal output regulators for multirate linear discrete-time descriptor causal system with time delay CAO Meng juan,LIAO Fu-cheng) 1)School of Automation,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)School of Mathematics and Physics,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:fcliao@ustb.edu.cn ABSTRACT This paper introduces the design problem of optimal output regulators for multirate linear discrete-time descriptor causal systems.At first,by making use of the discrete lifting technique the original system is transformed into no state time-delay system in form.Then thought the equivalent transformation,taking advantage of the causal characteristics of the system,it is changed into a nor- mal system.Continuing to apply discrete lifting into the system,a simple single-rate system in form is exported.The performance index function of the original system is modified to that of the single-rate system,and then an optimal output regulator is obtained by using the optimal regulator theory.Through transformation an optimal output regulator for the original system is finally derived.At meantime,the stabilizability and detectability of the exported single-rate system were discussed,and their rigorous mathematical proofs were given. Numerical simulations proved the effectiveness of the preview controller designed in this paper. KEY WORDS delay control systems:causality:sampling:discrete time systems;optimal regulators 广义系统理论是控制系统理论的一个重要组论、电路理论、经济学理论等方面得到广泛的应 成部分，在过去的20多年里得到了国内外控制界 用四.广义系统理论在内容方面己经非常丰 学者的广泛关注.广义系统能比正常系统描述更 富).其中，广义系统的最优调节理论已经有相 多的系统性能特征，己经在大系统、奇异摄动理 当成熟的结论]. 收稿日期：2013-0206 基金项目：国家自然科学基金资助项目(61174209) DOI:10.13374/j.issn1001-053x.2014.04.019:http://journals.ustb.edu.cn
第 36 卷 第 4 期 2014 年 4 月 北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol． 36 No． 4 Apr． 2014 状态时滞多采样率线性离散广义因果系统的最优输出 调节器设计 曹梦娟1，2) ，廖福成2) 1) 北京科技大学自动化学院，北京 100083 2) 北京科技大学数理学院，北京 100083 通信作者，E-mail: fcliao@ ustb． edu． cn 摘 要 研究了带有状态时滞的多采样率线性离散时间广义因果系统的最优输出调节器的设计问题． 首先利用离散提升技 术将原系统转化为形式上无时滞的系统． 再通过等价变换，利用系统的因果性特点将其化为一个正常系统． 继续对系统进行 离散提升，导出一个形式上简单的单采样率系统． 然后将原系统的二次性能指标函数修正为单采样率系统的二次性能指标 函数，进而利用最优调节原理，得到其最优调节器． 再经过变换，得到多采样率系统的最优输出调节器． 同时对导出的单采 样率系统的能稳定性和能检测性进行了讨论，给出了严格的数学证明． 最后的数值仿真表明，本文所设计的最优调节器是有 效的． 关键词 时滞控制系统; 因果关系; 采样; 离散时间系统; 最优调节器 分类号 TP273 Design of optimal output regulators for multirate linear discrete-time descriptor causal system with time delay CAO Meng-juan1，2) ，LIAO Fu-cheng2) 1) School of Automation，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China 2) School of Mathematics and Physics，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China Corresponding author，E-mail: fcliao@ ustb． edu． cn ABSTＲACT This paper introduces the design problem of optimal output regulators for multirate linear discrete-time descriptor causal systems． At first，by making use of the discrete lifting technique the original system is transformed into no state time-delay system in form． Then thought the equivalent transformation，taking advantage of the causal characteristics of the system，it is changed into a normal system． Continuing to apply discrete lifting into the system，a simple single-rate system in form is exported． The performance index function of the original system is modified to that of the single-rate system，and then an optimal output regulator is obtained by using the optimal regulator theory． Through transformation an optimal output regulator for the original system is finally derived． At meantime，the stabilizability and detectability of the exported single-rate system were discussed，and their rigorous mathematical proofs were given． Numerical simulations proved the effectiveness of the preview controller designed in this paper． KEY WOＲDS delay control systems; causality; sampling; discrete time systems; optimal regulators 收稿日期: 2013--02--06 基金项目: 国家自然科学基金资助项目( 61174209) DOI: 10． 13374 /j． issn1001--053x． 2014． 04． 019; http: / /journals． ustb． edu． cn 广义系统理论是控制系统理论的一个重要组 成部分，在过去的 20 多年里得到了国内外控制界 学者的广泛关注． 广义系统能比正常系统描述更 多的系统性能特征，已经在大系统、奇异摄动理 论、电路 理 论、经济学理论等方面得到广泛的应 用［1］． 广义系统理论在内容 方面已经非常丰 富［1--3］． 其中，广义系统的最优调节理论已经有相 当成熟的结论［4--5］．
·552 北京科技大学学报 第36卷 在计算机控制系统中，具有两个或两个以上不 则系统(2)受限等价于 同采样周期的采样器或保持器的数字控制系统就是 x1(k+1)=A1x1(k)+A2x2(k)+B,u(k), 多采样率系统.多采样率系统的理论分析和相应的 0=A21x1(k)+A2x2(k)+B2u(k), 控制系统设计一般都比单采样率系统复杂，但它能 y (k)=Cx (k)+Cx (k). 实现更多的控制目标，如改善系统的增益裕量、同 (4) 时稳定、强镇定和分散控制.在大型工业控制中， 由文献B],系统(4)（从而系统(2）)为因果 被控对象往往很庞大很复杂，不同子系统的信号变 系统的充分必要条件是矩阵A2可逆.易知 化速率相差很大，要求系统各处都采用相同的采样 周期是不实际的，这就使得人们必须采用多采样率 D1erl2」 控制系统圆 为了研究多采样率系统(1)最优输出调节器， 多采样率离散时间正常系统的预见控制问题取 需要以下基本假设： 得了很大的理论成果习.其中文献9]推广文献 (A1)假设存在入≠0，A≠1，使得det（A+E- 门8]的结果，得到了一般多采样率系统的最优预 AA-Ad)≠0： 见控制器.文献0]成功将广义系统理论与预见控 (A2)假设对任一满足IAI≥1的复数入，矩阵 制理论相结合，得到了离散时间广义因果系统带有 +1E-AA-AB]行满秩： 预见前馈补偿的最优预见控制器.本文针对状态时 (A3)假设对任一满足I入I≥1的复数入，矩阵 滞多采样率线性离散时间广义因果系统，利用提升 AE-AA-A 列满秩； 技术将系统转化为形式上简单的无时滞的单采样率 A'C 系统，最终得到了原系统的最优输出调节器. (A4)假设状态向量x(k)和输出向量y(k)仅 在k=iN(i=0,1,2,…)时能被测量，N为正整数 1 数学模型及相关假设 附注：当状态时滞d=0时，即正则广义系统 考虑如下具有状态时滞的、正则的线性离散时 (1)的第一个方程成为Ex(k+1)=(A+A)x(k) 间广义因果系统 +Bu(k),即系统不含有状态时滞.在这种情况下， Ex(k+1)=Ax(k)+Ax(k-d)+Bu(k), (A1)中的不等式成为det(AE-(A+Aa)≠0，这 Ly(k)=Cx ( 正好是正常广义系统正则性的加强条件.通过 (1) 类似的分析可知这时(A2)和(A3)分别是正常广义 其中：x()∈R”是状态向量；u(k)∈R是输入向 系统的能稳定性与能检测性的加强条件.另外， 量；y(k)∈R“是输出向量：E、A、A、B和C是具 (A4)说明系统是输入型多采样率系统。 有适当维数的常数矩阵；d>0是系统的状态时滞， 2 构造形式上无时滞的系统 取整数；E为奇异矩阵，满足rank(E)=q<n. 对于带有状态时滞的多采样率线性离散时间广 为了方便，同时考虑无时滞、正则的线性离散 义系统(1)，先利用离散提升技术，转化为一个形 时间广义因果系统： 式上无时滞的系统. Ex(k+1)=Ax(k)+Bu (k), (2) 可以利用提升技术消除时滞.提升技术的精髓 Ly(k)=Cx(k). 是把x(k-d),x(k-d+1),…,x(k-1)和x(k)一 按照矩阵理论，任何矩阵都可以通过初等变换化为 样，都加入到系统的状态向量中，也就是把系统 标准形.因此，存在非奇异矩阵Q,和P,使得 (1)中的第一式与若干个恒等式 0 利用这个变换，对于系统(2)， x(k-d+i)=x(k-d+i),i=1,2,…,d 00 联立得到一个形式系统.为此，令 令 x(k-d) [.00 …0 01 x)=P出eR,x因eR, x(k-d+1) 0L.0 …0 0 0 0 0 c-G) X()= ,E= 01n x(k-2) ξ B x(k-1) 0 0 0 …In 0 (3) x() 0 0 0 …0E」
北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 在计算机控制系统中，具有两个或两个以上不 同采样周期的采样器或保持器的数字控制系统就是 多采样率系统． 多采样率系统的理论分析和相应的 控制系统设计一般都比单采样率系统复杂，但它能 实现更多的控制目标，如改善系统的增益裕量、同 时稳定、强镇定和分散控制． 在大型工业控制中， 被控对象往往很庞大很复杂，不同子系统的信号变 化速率相差很大，要求系统各处都采用相同的采样 周期是不实际的，这就使得人们必须采用多采样率 控制系统［6］． 多采样率离散时间正常系统的预见控制问题取 得了很大的理论成果［7--9］． 其中文献［9］推广文献 ［7--8］的结果，得到了一般多采样率系统的最优预 见控制器． 文献［10］成功将广义系统理论与预见控 制理论相结合，得到了离散时间广义因果系统带有 预见前馈补偿的最优预见控制器． 本文针对状态时 滞多采样率线性离散时间广义因果系统，利用提升 技术将系统转化为形式上简单的无时滞的单采样率 系统，最终得到了原系统的最优输出调节器． 1 数学模型及相关假设 考虑如下具有状态时滞的、正则的线性离散时 间广义因果系统 Ex( k + 1) = Ax( k) + Ad x( k － d) + Bu( k) ， {y( k) = Cx( k) ． ( 1) 其中: x( k) ∈Ｒn 是状态向量; u( k) ∈Ｒr 是输入向 量; y( k) ∈Ｒm 是输出向量; E、A、Ad、B 和 C 是具 有适当维数的常数矩阵; d ＞ 0 是系统的状态时滞， 取整数; E 为奇异矩阵，满足 rank( E) = q ＜ n． 为了方便，同时考虑无时滞、正则的线性离散 时间广义因果系统: Ex( k + 1) = Ax( k) + Bu( k) ， {y( k) = Cx( k) ． ( 2) 按照矩阵理论，任何矩阵都可以通过初等变换化为 标准形． 因此，存在非奇异矩阵 Q1 和 P1，使得 Q1EP1 = Iq 0 [ ] 0 0 ． 利用这个变换，对于系统( 2) ， 令 x( k) = P1 x1 ( k) x2 ( k [ ] ) ，x1 ( k) ∈Ｒq ，x2 ( k) ∈Ｒn － q ， Q1AP1 = A11 A12 [ ] A21 A22 ，Q1B = B1 [ ] B2 ，CP1 = [ ] C1 C2 ． ( 3) 则系统( 2) 受限等价于 x1 ( k + 1) = A11 x1 ( k) + A12 x2 ( k) + B1u( k) ， 0 = A21 x1 ( k) + A22 x2 ( k) + B2u( k) ， y( k) = C1 x1 ( k) + C2 x2 ( k) { ． ( 4) 由文献［3］，系统( 4) ( 从而系统( 2) ) 为因果 系统的充分必要条件是矩阵 A22可逆． 易知 A22 =［0 In － q］QAP 0 In － [ ] q ． 为了研究多采样率系统( 1) 最优输出调节器， 需要以下基本假设: ( A1) 假设存在 λ≠0，λ≠1，使得 det ( λd + 1 E － λd A － Ad ) ≠0; ( A2) 假设对任一满足 | λ | ≥1 的复数 λ，矩阵 ［λd + 1 E － λd A － Ad B］行满秩; ( A3) 假设对任一满足 | λ | ≥1 的复数 λ，矩阵 λd + 1 E － λd A － Ad λ [ ] d C 列满秩; ( A4) 假设状态向量 x( k) 和输出向量 y( k) 仅 在 k = iN( i = 0，1，2，…) 时能被测量，N 为正整数． 附注: 当状态时滞 d = 0 时，即正则广义系统 ( 1) 的第一个方程成为 Ex( k + 1) = ( A + Ad ) x( k) + Bu( k) ，即系统不含有状态时滞． 在这种情况下， ( A1) 中的不等式成为 det ( λE － ( A + Ad ) ) ≠0，这 正好是正常广义系统正则性的加强条件［10］． 通过 类似的分析可知这时( A2) 和( A3) 分别是正常广义 系统的能稳定性与能检测性的加强条件． 另外， ( A4) 说明系统是输入型多采样率系统． 2 构造形式上无时滞的系统 对于带有状态时滞的多采样率线性离散时间广 义系统( 1) ，先利用离散提升技术，转化为一个形 式上无时滞的系统． 可以利用提升技术消除时滞． 提升技术的精髓 是把 x( k － d) ，x( k － d + 1) ，…，x( k － 1) 和 x( k) 一 样，都加入到系统的状态向量中，也就是把系统 ( 1) 中的第一式与若干个恒等式 x( k － d + i) = x( k － d + i) ，i = 1，2，…，d 联立得到一个形式系统． 为此，令 X( k) = x( k － d) x( k － d +1) x( k －2) x( k －1) x( k ) ，槇E = In 0 0 … 0 0 0 In 0 … 0 0 0 0 In … 0 0 0 0 0 … In 0 0 0 0 … 0 E ， ·552·
第4期 曹梦娟等：状态时滞多采样率线性离散广义因果系统的最优输出调节器设计 ·553· 0 0…0 0 0 -1200…00 0 0 0I 0 0 0 0 -1n0…00 0 0 0-1n…00 0 Φ= G= 0 0 0 0 0 det 000…00 0 0 0 0 0 0 A 00 …0 000…0-1n A 则得到 0 00…0 0 -A+A(QE-A) (-1）dt(-A4+(aE-4A)= Ex(k+1)=ΦX()+Gu(k). (5a) (-l）dt(a+1E-AA-A. 而且，系统(1)的观测方程变为 所以若(A1)成立，就存在A≠0，A≠1，使得det(aE- y(k)=Cx(k). (5h) )≠0.因此系统(6)是正则的. 其中C=00…00C] 下面继续对系统(6)进行形如系统(4)的因果 分解首先，令 至此，从系统(1)导出了式(5a)和式(5b),合 0 0 01 写为 0 0 0 EX(k+1)=X(k)+Gu(k), 0 0 0 0 (6) 02= Ly(k)=Cx(k). 系统(6)在形式上已经不存在状态时滞 0 0 0 … 0 可以验证，若(A1)成立，则系统(6)仍具有正 0 0 … 0 21J 则性，因为有 rI 0 0 01 0 0 … 0 det(λE-Φ)= 0 0 0 I … 0 0 AI -1n… 0 0 P2= 0 入I 0 0 0 0 0 I 0 det 0 0 0 0 P 0 0 入In -I 其中，Q和P,与式(3)中的同名量相同.再作变量 -Aa 0 0 λE-A 替换并进行分块，得 -I 0 0 0 x(k-d) x(k-d) XI. 0 0 x(k-d+1) x(k-d+1) 0 0 0 X(k)= =P2 x(k-2) det 0 0 0 0 0 x(k-2) x(k-1) x(k-1) x,() 0 -1n 0 x(k) x2(k) 0 0 0 0 AE-A -A 将其代入系统(6)，并将第一式两边分别左乘 0 0…0 0 X. Q2,得 0 - 0 …00 21n 「x(k-d+1)1 x(k-d) x(k-d+2) x(k-d+1) 0 0 -I. …0 0 A'L 0 0 …0 0 1. Q.EP, x(k-1) =Q:DP, x(k-2) x(k) x(k-1) 00… 0 -I. XI x,(k+1) x ( 0 0 0…0 0 -A+A(E-A） x2(k+1) x2(k)
第 4 期 曹梦娟等: 状态时滞多采样率线性离散广义因果系统的最优输出调节器设计 Φ = 0 In 0 … 0 0 0 0 In … 0 0 0 0 0 … In 0 0 0 0 … 0 In Ad 0 0 … 0 A ，G = 0 0 0 0 B ， 则得到 槇EX( k + 1) = ΦX( k) + Gu( k) ． ( 5a) 而且，系统( 1) 的观测方程变为 y( k) = 槇CX( k) ． ( 5b) 其中 槇C =［0 0 … 0 0 C］． 至此，从系统( 1) 导出了式( 5a) 和式( 5b) ，合 写为 槇EX( k + 1) = ΦX( k) + Gu( k) ， y( k) = 槇 { CX( k) ． ( 6) 系统( 6) 在形式上已经不存在状态时滞． 可以验证，若( A1) 成立，则系统( 6) 仍具有正 则性，因为有 det ( λ 槇E － Φ) = det λIn － In … 0 0 0 λIn … 0 0 0 0 … λIn － In － Ad 0 … 0 λE － A = det － In 0 0 … 0 0 λIn λIn － In 0 … 0 0 0 0 λIn － In … 0 0 0 0 0 λIn … 0 0 0 0 0 0 … λIn － In 0 0 0 0 … 0 λE －A －A d = det － In 0 0 … 0 0 λIn 0 － In 0 … 0 0 λ2 In 0 0 － In … 0 0 λ3 In 0 0 0 … 0 0 λ4 In 0 0 0 … 0 － In λd In 0 0 0 … 0 0 －Ad + λd ( λE －A ) = det － In 0 0 … 0 0 0 0 － In 0 … 0 0 0 0 0 － In … 0 0 0 0 0 0 … 0 0 0 0 0 0 … 0 － In 0 0 0 0 … 0 0 －Ad + λd ( λE －A ) = ( －1) nd det ( －Ad + λd ( λE －A) ) = ( －1) nd det ( λd +1 E － λd A －Ad ) ． 所以若( A1) 成立，就存在 λ≠0，λ≠1，使得 det ( λ槇E － Φ) ≠0． 因此系统( 6) 是正则的． 下面继续对系统( 6) 进行形如系统( 4) 的因果 分解． 首先，令 Q2 = In 0 0 … 0 0 0 In 0 … 0 0 0 0 In … 0 0 0 0 0 … In 0 0 0 0 … 0 Q 1 ， P2 = In 0 0 … 0 0 0 In 0 … 0 0 0 0 In … 0 0 0 0 0 … In 0 0 0 0 … 0 P 1 ． 其中，Q1 和 P1 与式( 3) 中的同名量相同． 再作变量 替换并进行分块，得 X( k) = x( k － d) x( k － d + 1) x( k － 2) x( k － 1) x( k ) = P2 x( k － d) x( k － d + 1) x( k － 2) x( k － 1) x1 ( k) x2 ( k ) ． 将其 代 入 系 统 ( 6 ) ，并将第一式两边分别左乘 Q2，得 Q2 槇EP2 x( k － d + 1) x( k － d + 2) x( k － 1) x( k) x1 ( k + 1) x2 ( k + 1 ) = Q2ΦP2 x( k － d) x( k － d + 1) x( k － 2) x( k － 1) x1 ( k) x2 ( k ) + ·553·
·554 北京科技大学学报 第36卷 Q2Gu(k), (7a) 01 x(k-d+1)1 0 0 0 x(k-d+2) 0 0 Q2G=02 0 y(k)=CP, x(k-1) (7b) 0 0 x(k) 0 0 0 x(k+1) B] LOB B x2(k+1) B2 若记P,=[P1P],Q1A4= M 计算式(7a) Cp2=[0 0… 0 0 CC2]. M. 和式(7b)中的系数矩阵并进行分块得 那么式(7a)和式(7b)将变为 0 …0 01 I 0 0 …0 00rx(k-d+1)1 01.0 …0 0 0 . 0 …00 0 x(k-d+2) 0 Q,EP,=Q. 001 0 P2= 0 01. … 0 0 0 x(k-1) 0 0 0 I 0 0 00 I0 0 x(k) 0 00 0 E] 0 00 0 x,(k+1) 0 0 0 0 0 00 …0 0:0 x2(k+1) 0 I 0 0 0 0 0 … 0 0 0 0 … 0 0 0 0 I. … 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 QEP」 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 P Pe 0 0 0 0 0 M100 0 An 0 0 0 0 0 M, 0 0 A21 A22 : 0 x(k-d) 0 0 0 … 0 0 0 x(k-d+1) 0 0 0 0 1。 0 0 0 0 0 0 0」 x(k-2) + 0 0 u(k), (8a) 0 01 x(k-1) 0 0 0 0 x() B Q.DP:=Q2 x2(k) B, 0 0 0 I 0 P2= 0 0 0 0 y()=0 0 0 0 C1C2] LA 0 0 … 0 A」 x(k-d) 01n 0 0 0 01 x(k-d+1) 0 0 1。 0 0 0 x(k-2) (8b) 0 0 0 0 0 x(k-1) 0 0 0 0 Pu Pe x,(k) 0 0 x2(k) M2 0 0 0 A21A2 式(8a)和式(8b)可以简写为
北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 Q2Gu( k) ， ( 7a) y( k) = 槇CP2 x( k － d + 1) x( k － d + 2) x( k － 1) x( k) x1 ( k + 1) x2 ( k + 1 ) ． ( 7b) 若记 P1 = [ ] P11 P12 ，Q1Ad = M1 [ ] M2 ，计算式( 7a) 和式( 7b) 中的系数矩阵并进行分块得 Q2 槇EP2 = Q2 In 0 0 … 0 0 0 In 0 … 0 0 0 0 In … 0 0 0 0 0 … In 0 0 0 0 … 0 E P2 = In 0 0 … 0 0 0 In 0 … 0 0 0 0 In … 0 0 0 0 0 … In 0 0 0 0 … 0 Q1EP 1 = In 0 0 … 0 0 0 0 In 0 … 0 0 0 0 0 In … 0 0 0 0 0 0 … In 0 0 0 0 0 … 0 In 0 0 0 0 … 0 0 0 ， Q2ΦP2 = Q2 0 In 0 … 0 0 0 0 In … 0 0 0 0 0 … In 0 0 0 0 … 0 In Ad 0 0 … 0 A P2 = 0 In 0 … 0 0 0 0 0 In … 0 0 0 0 0 0 … In 0 0 0 0 0 … 0 P11 P12 M1 0 0 … 0 A11 A12 M2 0 0 … 0 A21 A 22 ， Q2G = Q2 0 0 0 0 B = 0 0 0 0 Q1 B = 0 0 0 0 B1 B 2 ， 槇CP2 = [ ] 0 0 … 0 0 C1C2 ． 那么式( 7a) 和式( 7b) 将变为 In 0 0 … 0 0 0 0 In 0 … 0 0 0 0 0 In … 0 0 0 0 0 0 … In 0 0 0 0 0 … 0 Iq 0 0 0 0 … 0 0 0 x( k － d + 1) x( k － d + 2) x( k － 1) x( k) x1 ( k + 1) x2 ( k + 1 ) = 0 In 0 … 0 0 0 0 0 In … 0 0 0 0 0 0 … In 0 0 0 0 0 … 0 P11 P12 M1 0 0 … 0 A11 A12 M2 0 0 … 0 A21 A 22 · x( k － d) x( k － d + 1) x( k － 2) x( k － 1) x1 ( k) x2 ( k ) + 0 0 0 0 B1 B 2 u( k) ， ( 8a) y( k) =［0 0 … 0 0 C1C2］· x( k － d) x( k － d + 1) x( k － 2) x( k － 1) x1 ( k) x2 ( k ) ． ( 8b) 式( 8a) 和式( 8b) 可以简写为 ·554·
第4期 曹梦娟等：状态时滞多采样率线性离散广义因果系统的最优输出调节器设计 ·555· (k+1)=AE1(k)+A2x2()+B,u(k), 其中A1=A1-A242A1,B1=B1-A242B2 0=A21x1(k)+A2x2(k)+B2u(k), 此时，系统(9)转化为正常系统(11)，进而可 以按照多采样率正常系统离散提升的方法)进行 y(k)=C1(k)+C2x2(). 处理.引入向量 (9) 1(i)=1(iW)∈R,2(i)=x2(iW)∈R"-9, 其中 u(iW） x(k-d) i(i)= x(k-d+1) u(iN+N-2) Lu(iN+N-1) E1(k)= x(k-2) 式(11)被离散提升为 x(k-1) ￡(i+1)=A()+B,a(i) (12a) () 其中B=[A-B1…AB1B1] 01n0… 0 0 下面利用式(10)，将系统(9)中的观测方程变 0 0 0 形为用式(12a)中的状态向量和输入向量来表示. 首先注意 An= 0 0 0 … 0 y()=C(k)+C2x2(k)= 0 0 0 0 P C()+C2（-AaAn()-AaB,u(k)）= M, 0 0 0 A (C-CAA2)()-CABu(k)= 01 「01 C,1(k)+C2u(k). 0 0 其中 An= 0 ,B1= 0 C =C-CAA,C:=-C:A Bx. 再利用文献9]中的相关结论，得到 P2 0 y(i)=C,(i)+C,d(i). (12b) LA2J LB1J 其中 A=M20 0 0A21], y(iN) C=00…00C]. y(iN+1) CiA 综上所述，利用离散提升技术将原系统(1)转 ()= c. 化为了形式上无时滞的系统(6)，又进行了与系统 y(iN+N-2) C,A-2 (2)本质上相同的受限等价变换，得到系统(9).由 Ly(iW+N-1)」 CA 于A2是可逆矩阵，所以系统(9)也是因果系统，并 且依然是多采样率系统.下面继续利用离散提升技 c, 0 0 0 术将多采样率系统(9)化为单采样率系统. CB C 0 0 3多采样率广义因果系统的离散提升 C. CAN-B CAY-B C, 0 按照多采样率系统的处理方法，将对系统(9) … 进行离散提升，化为一个形式上简单的单采样率 CA-B CAB CB 系统. 综上所述，多采样率系统(9)己经被离散提升 由于矩阵A2是可逆的，由系统(9)中第二式可 为形式上没有多采样率特点的系统，将式(12a)和 式(12b)合写为 以得到 E(i+1)=Ac1(i)+Bi(i), x2(k)=-A2A2!1(k)-A2B2u(k).(10) (13) y(i)=C￡，(i)+C,i(i). 将式(10)代入系统(9)中第一式得 由于系统(13)的方程描述的是状态每隔N步 E1(k+1)=A,1(k)+B,u(). (11) 的变化，即￡1()(i为整数)的变化，所以称系统
第 4 期 曹梦娟等: 状态时滞多采样率线性离散广义因果系统的最优输出调节器设计 x 槇1 ( k + 1) = 槇A11 x 槇1 ( k) + 槇A12 x2 ( k) + 槇B1u( k) ， 0 = 槇A21 x 槇1 ( k) + A22 x2 ( k) + B2u( k) ， y( k) = 槇C1 x 槇1 ( k) + C2 x2 ( k) { ． ( 9) 其中 x 槇1 ( k) = x( k － d) x( k － d + 1) x( k － 2) x( k － 1) x 槇1 ( k ) ， 槇A11 = 0 In 0 … 0 0 0 0 In … 0 0 0 0 0 … In 0 0 0 0 … 0 P11 M1 0 0 … 0 A 11 ， 槇A12 = 0 0 0 P12 A 12 ，槇B1 = 0 0 0 0 B 1 ， 槇A21 =［M2 0 0 … 0 A21］， 槇C1 =［0 0 … 0 0 C1］． 综上所述，利用离散提升技术将原系统( 1) 转 化为了形式上无时滞的系统( 6) ，又进行了与系统 ( 2) 本质上相同的受限等价变换，得到系统( 9) ． 由 于 A22是可逆矩阵，所以系统( 9) 也是因果系统，并 且依然是多采样率系统． 下面继续利用离散提升技 术将多采样率系统( 9) 化为单采样率系统． 3 多采样率广义因果系统的离散提升 按照多采样率系统的处理方法，将对系统( 9) 进行离散提升，化为一个形式上简单的单采样率 系统． 由于矩阵 A22是可逆的，由系统( 9) 中第二式可 以得到 x2 ( k) = － A － 1 22 槇A21 x 槇1 ( k) － A － 1 22 B2u( k) ． ( 10) 将式( 10) 代入系统( 9) 中第一式得 x 槇1 ( k + 1) = A1 x 槇1 ( k) + B1u( k) ． ( 11) 其中 A1 = 槇A11 － 槇A12A － 1 22 槇A21，B1 = 槇B1 － 槇A12A － 1 22 B2 ． 此时，系统( 9) 转化为正常系统( 11) ，进而可 以按照多采样率正常系统离散提升的方法［7］进行 处理． 引入向量 x^ 1 ( i) = x 槇1 ( iN) ∈Ｒq ，x^ 2 ( i) = x2 ( iN) ∈Ｒn － q ， u^( i) = u( iN) u( iN + N － 2) u( iN + N － 1 ) ． 式( 11) 被离散提升为 x^ 1 ( i + 1) = AN 1 x^ 1 ( i) + ^ B1u^( i) ． ( 12a) 其中 ^ B1 = AN － 1 [ ] 1 B1 … A1B1 B1 ． 下面利用式( 10) ，将系统( 9) 中的观测方程变 形为用式( 12a) 中的状态向量和输入向量来表示． 首先注意 y( k) = 槇C1 x 槇1 ( k) + C2 x2 ( k) = 槇C1 x 槇1 ( k) + C2 ( － A － 1 22 槇A21 x 槇1 ( k) － A － 1 22 B2u( k) ) = ( 槇C1 － C2A － 1 22 槇A21 ) x 槇1 ( k) － C2A － 1 22 B2u( k) = C1 x 槇1 ( k) + C2u( k) ． 其中 C1 = 槇C1 － C2A － 1 22 槇A21，C2 = － C2A － 1 22 B2 ． 再利用文献［9］中的相关结论，得到 y^( i) = ^ C1 x^ 1 ( i) + ^ C2u^( i) ． ( 12b) 其中 y^( i) = y( iN) y( iN + 1) y( iN + N － 2) y( iN + N － 1 ) ，^ C1 = C1 C1A1 C1AN － 2 1 C1AN － 1 1 ， ^ C2 = C2 0 … 0 0 C1B1 C2 … 0 0 C1AN － 3 1 B1 C1AN － 4 1 B1 … C2 0 C1AN － 2 1 B1 C1AN － 3 1 B1 … C1B1 C 2 ． 综上所述，多采样率系统( 9) 已经被离散提升 为形式上没有多采样率特点的系统，将式( 12a) 和 式( 12b) 合写为 x^ 1 ( i + 1) = AN 1 x^ 1 ( i) + ^ B1u^( i) ， y^( i) = ^ C1 x^ 1 ( i) + ^ C2u^ { ( i) ． ( 13) 由于系统( 13) 的方程描述的是状态每隔 N 步 的变化，即 x^ 1 ( i) ( i 为整数) 的变化，所以称系统 ·555·
·556· 北京科技大学学报 第36卷 (13)是与快速采样系统(1)相对应的慢速采样 N J= (iWN+j)Fy(iW+》+ 系统. 至此，本文己经成功将多采样率广义因果系统 u"(iN+j)Gu(iN+)]= (9)提升形式上的单采样率系统(13). (i)的(i)+(i)G()].(14) 4最优输出调节器的设计 通过以上的讨论，对于系统(1)，定义二次性 其中， F=diag(FF…F), 能指标函数为 J-ADW)+n(Gm因]. G=diag(GG·G） N不 其中权重矩阵F≥0，G>0.注意到它可以写为 进一步，性能指标函数(14)继续变换为 J=[c,(0+a0]'昨G,(闭+c,i0]+i(G(0]= CFC GFC. Ind+ Ld+g -erea"ard r Ma,ere-el91- ￡() 流1-论11？G+C 0 0 G+CC,」 ￡() li0+G+GG]-GCEa- 守(CG,-CG.G+cG]-gc,x(⑧+i0+G+caC]Cc,o]rx G+CIFC.]()[G+C:FC]-C:FC(]]. (15) 且从上述变换过程知CC,-C记，[G+ 和 CC]-CC,≥0.另外，明显地有G+CC,>0. 进一步把问题标准化.把 J-店民Ct-ctra+cG (d=i()+G+CC-CFC().(16) CC}:()+W()心+CC](⑤].(18) 作为形式输入向量，则系统(13)和性能指标函数 (15)分别转化为 这样，原问题化为系统(17)的最优控制问题， (i+1)=(A-B,心+CgC,]-CFC)· 性能指标函数为(18).这是一个正常系统的最优调 ,(i)+Bw(i), 节问题.于是有如下定理： (i)=[C.-C:G+CIFC:]-CIFC (i)+ C,w(i). 定理1如果(A-B,G+CC]-CC, (17) B1)能稳定
北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 ( 13) 是与快速采样系统( 1) 相 对 应 的 慢 速 采 样 系统． 至此，本文已经成功将多采样率广义因果系统 ( 9) 提升形式上的单采样率系统( 13) ． 4 最优输出调节器的设计 通过以上的讨论，对于系统( 1) ，定义二次性 能指标函数为 J = ∑ ∞ k = 1 ［yT ( k) Fy( k) + uT ( k) Gu( k) ］． 其中权重矩阵 F≥0，G ＞ 0． 注意到它可以写为 J = ∑ ∞ i = 1 ∑ N－1 j = 0 ［yT ( iN + j) Fy( iN + j) + uT ( iN + j) Gu( iN + j) ］= ∑ ∞ i = 1 ［y^T ( i) 槇Fy^( i) + u^ T ( i) G 槇u^( i) ］． ( 14) 其中， 槇F = diag( F F … F N个 ) ， G 槇 = diag( G G … G N个 ) ． 进一步，性能指标函数( 14) 继续变换为 J = ∑ ∞ i = 1 ［［^ C1 x^ 1 ( i) + ^ C2u^( i) ］T 槇F［^ C1 x^ 1 ( i) + ^ C2u^( i) ］+ u^ T ( i) G 槇u^( i) ］= ∑ ∞ i = 1 x^ 1 ( i) u^( i [ ] ) T ^ CT 1 槇F ^ C1 ^ CT 1 槇F ^ C2 ^ CT 2 槇F ^ C1 G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C 2 x^ 1 ( i) u^( i [ ] ) = ∑ ∞ i = 1 x^ 1 ( i) u^( i [ ] ) T Ind + q 0 ［G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C2］－ 1 ^ CT 2 槇F ^ C1 I [ ] rN T Ind + q 0 －［G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C2］－ 1 ^ CT 2 槇F ^ C1 I [ ] rN T ^ CT 1 槇F ^ C1 ^ CT 1 槇F ^ C2 ^ CT 2 槇F ^ C1 G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C { 2 × Ind + q 0 －［G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C2］－ 1 ^ CT 2 槇F ^ C1 I [ ] } rN Ind + q 0 ［G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C2］－ 1 ^ CT 2 槇F ^ C1 I [ ] rN x^ 1 ( i) u^( i [ ] ) = ∑ ∞ i = 1 x^ 1 ( i) u^( i) +［G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C2］－ 1 ^ CT 2 槇F ^ C1 x^ 1 ( i [ ] ) T ^ CT 1 槇F ^ C1 － ^ CT 1 槇F ^ C2 ［G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C2］－ 1 ^ CT 2 槇F ^ C1 0 0 G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C 2 × x^ 1 ( i) u^( i) +［G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C2］－ 1 ^ CT 2 槇F ^ C1 x^ 1 ( i [ ] ) = ∑ ∞ i = 1 ［x^T 1 ( i) { ^ CT 1 槇F ^ C1 － ^ CT 1 槇F ^ C2 ［G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C2］－ 1 ^ CT 2 槇F ^ C1 } x^ 1 ( i) +［u^( i) +［G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C2］－ 1 ^ CT 2 槇F ^ C1 x^ 1 ( i) ］T × ［G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C2］［u^( i) +［G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C2］－ 1 ^ CT 2 槇F ^ C1 x^ 1 ( i) ］］． ( 15) 且从 上 述 变 换 过 程 知 ^ CT 1 槇F ^ C1 － ^ CT 1 槇F ^ C2 ［G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C2］－1 ^ CT 2 槇F ^ C1≥0． 另外，明显地有 G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C2 ＞0． 进一步把问题标准化． 把 w^( i) = u^( i) +［G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C2］－1 ^ CT 2 槇F ^ C1 x^ 1 ( i) ． ( 16) 作为形式输入向量，则系统( 13) 和性能指标函数 ( 15) 分别转化为 x^ 1 ( i + 1) = ( AN 1 － ^ B1 ［G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C2］－ 1 ^ CT 2 槇F ^ C1 )· x^ 1 ( i) + ^ B1w^( i) ， y^( i) = ^ C1 － ^ C2 ［G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C2］－ 1 ^ CT 2 槇F ^ [ ] C1 x^ 1 ( i) + ^ C2w^( i) ． ( 17) 和 J = ∑ ∞ i =1 ［x^T 1 ( i) { ^ CT 1 槇F ^ C1 －［^ CT 2 槇F ^ C1］T ［G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C2］－1 · ^ CT 2 槇F ^ C1 } x^ 1 ( i) +w^T ( i) ［G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C2］w^( i) ］． ( 18) 这样，原问题化为系统( 17) 的最优控制问题， 性能指标函数为( 18) ． 这是一个正常系统的最优调 节问题． 于是有如下定理: 定理 1 如果( AN 1 － ^ B1 ［G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C2］－ 1 ^ CT 2 槇F ^ C1 ^ B1 ) 能稳定， ·556·
第4期 曹梦娟等：状态时滞多采样率线性离散广义因果系统的最优输出调节器设计 ·557· ((CIFC [CIFC]T G+CIFC,]-CIFC,)AN -B [G+CFC,]-CIFC) 能检测，则使式(18)所表示的性能指标函数J取最 则式(22)就是 小值的系统(17)的最优调节器为 u(iN) K(o) e()=,(i). (19) x(iN). 其中 u (iN+N-2) KN-2) K=-G+CIFC,+BIPB]. Lu(iW+N-1)」 LK(V-D 可进一步分开写为 BIP(A-B G+CIFC,]CIFC). u((i+1)N+)=K0X(iW), 这里P是代数Riccati方程 i=0,1,2,…,j=0,1,2,…,V-1 (24) P=[CIFC [CIFC]T [G+CIFC:+ 这就是系统(1)的最优输出调节器.其中 x(iN-d) B'PB ]-CIFC]+ x(iN-d+1) (A-B G+CIFC+PB]CIFC )P(A:- X(iW)）= B[G+CIFC,+PB]CIFC ) x(iN-2) (ABG+CIFC+PB]CIFC)PB G+ x(iN-1) x(iN) CIFC,+BPB ]-BP(AY-B [G+CIFC,+ 5 调节器存在的条件 BIPB ]-CIFC) (20) 的对称半正定解山. 下面研究定理1满足的条件.先研究能稳 由式(16)和式(19)，得到单采样率系统(17) 定性 的最优调节器为 定理2 (A-B [G+CIFC.]-C:FC B) a(i)=(i)-G+CFC]FC (i)= 能稳定的充要条件是(AB,)能稳定 K(i)-G+CIFC]CIFC (i)= 证明：这是比较明显的，因为根据初等变换不改 (K-G+CFC,]-CIFC ()=K() 变矩阵的秩的性质，对任一复数入，如果入I≥1，有 (21) 其中R=-G+CC]-CC rank[,-(AB G+CFC]-CFC)B= 进一步，式(21)可以表示为 I, rank[l u(iN) erere =Kc,(iW）= u (iN +N-2) rank[IA Lu(iN+N-1) 再由PBH判别法，就知本定理成立 x(iN-d) 附注：此定理换个说法就是系统(17)能稳定的 x(iN-d+1) 充要条件是系统(13)能稳定. 定理3(AB,)能稳定的充要条件是系统 x(iN-2) =K[I]PX(iN). (6)能稳定 x(iN-1) x(iN) 证明：注意到B,=[A-B1…A,BB], (22) 文献⑦]已经证明(AB,)能稳定的充要条件是 若将式(22)中增益矩阵进行分块得 K@) (A,B)能稳定.再注意到其中A1=A,-A2A2 K[Id+q 0]P= (23) A1,B1=B1-A2A2B2,利用A2的可逆性和初等 KW-2) 变换不改变矩阵的秩的性质得到，对任何复数入， (N-1) 如果|入I≥1，矩阵
第 4 期 曹梦娟等: 状态时滞多采样率线性离散广义因果系统的最优输出调节器设计 ( { ^ CT 1 槇F ^ C1 －［^ CT 2 槇F ^ C1］T ［G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C2］－ 1 ^ CT 2 槇F ^ C1 } 1 /2 AN 1 － ^ B1 ［G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C2］－ 1 ^ CT 2 槇F ^ C1 ) 能检测，则使式( 18) 所表示的性能指标函数 J 取最 小值的系统( 17) 的最优调节器为 w^( i) = 槇Kx^ 1 ( i) ． ( 19) 其中 槇K = － G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C2 + ^ BT 1 槇P ^ [ ] B1 － 1 · ^ BT 1 槇P( AN 1 － ^ B1 ［G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C2］－ 1 ^ CT 2 槇F ^ C1 ) ． 这里 槇P 是代数 Ｒiccati 方程 槇P =［^ CT 1 槇F ^ C1 －［^ CT 2 槇F ^ C1］T ［G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C2 + ^ BT 1 槇P ^ B1］－ 1 ^ CT 2 槇F ^ C1］+ ( AN 1 － ^ B1 ［G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C2 + ^ BT 1 槇P ^ B1］－ 1 ^ CT 2 槇F ^ C1 ) T 槇P( AN 1 － ^ B1 ［G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C2 + ^ BT 1 槇P ^ B1］－ 1 ^ CT 2 槇F ^ C1 ) － ( AN 1 － ^ B1 ［G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C2 + ^ BT 1 槇P ^ B1］－ 1 ^ CT 2 槇F ^ C1 ) T 槇P ^ B1［G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C2 + ^ BT 1 槇P ^ B1］－ 1 ^ BT 1 槇P( AN 1 － ^ B1［G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C2 + ^ BT 1 槇P ^ B1］－ 1 ^ CT 2 槇F ^ C1 ) ． ( 20) 的对称半正定解［11］． 由式( 16) 和式( 19) ，得到单采样率系统( 17) 的最优调节器为 u^( i) = w^( i) －［G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C2］－ 1 ^ CT 2 槇F ^ C1 x^ 1 ( i) = 槇Kx^ 1 ( i) －［G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C2］－ 1 ^ CT 2 槇F ^ C1 x^ 1 ( i) = 槇K －［G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C2］－ 1 ^ CT 2 槇F ^ { } C1 x^ 1 ( i) = ^ Kx^ 1 ( i) ． ( 21) 其中 ^ K = 槇K －［G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C2］－ 1 ^ CT 2 槇F ^ C1 ． 进一步，式( 21) 可以表示为 u( iN) u( iN + N － 2) u( iN + N － 1 ) = K ^ x 槇1 ( iN) = ^ K x( iN － d) x( iN － d + 1) x( iN － 2) x( iN － 1) x1 ( iN ) = ^ K I[ ] nd + q 0 P － 1 2 X( iN) ． ( 22) 若将式( 22) 中增益矩阵进行分块得 ^ K I[ ] nd + q 0 P － 1 2 = K( 0) K( N － 2) K( N － 1 ) ． ( 23) 则式( 22) 就是 u( iN) u( iN + N － 2) u( iN + N － 1 ) = K( 0) K( N － 2) K( N － 1 ) X( iN) ． 可进一步分开写为 u( ( i + 1) N + j) = K( j) X( iN) ， i = 0，1，2，…，j = 0，1，2，…，N － 1． ( 24) 这就是系统( 1) 的最优输出调节器． 其中 X( iN) = x( iN － d) x( iN － d + 1) x( iN － 2) x( iN － 1) x( iN ) ． 5 调节器存在的条件 下面 研 究 定 理 1 满 足 的 条 件． 先 研 究 能 稳 定性． 定理 2 ( AN 1 － ^ B1 ［G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C2］－ 1 ^ CT 2 槇F ^ C1 ^ B1 ) 能稳定的充要条件是( AN 1 ^ B1 ) 能稳定． 证明: 这是比较明显的，因为根据初等变换不改 变矩阵的秩的性质，对任一复数 λ，如果|λ|≥1，有 rank λIq － ( AN 1 － ^ B1 ［G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C2］－1 ^ CT 2 槇F ^ C1 ) ^ [ ] B1 = rank λIq －AN 1 ^ [ ] B1 Iq 0 ［G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C2］－1 ^ CT 2 槇F ^ C1 I [ ] rN = rank λIq －AN 1 ^ [ ] B1 ． 再由 PBH 判别法，就知本定理成立． 附注: 此定理换个说法就是系统( 17) 能稳定的 充要条件是系统( 13) 能稳定． 定理 3 ( AN 1 ^ B1 ) 能稳定的充要条件是系统 ( 6) 能稳定． 证明: 注意到 ^ B1 = AN － 1 [ ] 1 B1 … A1B1 B1 ， 文献［7］已经证明( AN 1 ^ B1 ) 能稳定的充要条件是 ( A1 B1 ) 能稳定． 再注意到其中 A1 = 槇A11 － 槇A12A － 1 22 槇A21，B1 = 槇B1 － 槇A12A － 1 22 B2，利用 A22的可逆性和初等 变换不改变矩阵的秩的性质得到，对任何复数 λ， 如果| λ |≥1，矩阵 ·557·
·558 北京科技大学学报 第36卷 如果1A1≥1，由 a-及 rank[λE-ΦG]= 入 -1。…0 0 0 行满秩的充要条件是矩阵 0 λI. 0 0 0 ,-(Au -AAA)B -AAB2] rank 0 0 -I 0 行满秩.这就是说，(AB,)能稳定的充要条件是 -Aa 0 0 AE-A B 系统(14)能稳定 0 入n 用由公门和Q,可速，得到 01 「-n 0 AI 0 0 0 0 rank rank[aE-ΦG= 0 入In -I 0 0 ame,店-wc[哈]- 0 AE-A -A B 「-1n…0 0 AI. 07 rank [AQ.EP:-QDP:QG] 0…00 λ21n 0 p- 0 …0-ln AL 0 0 …0 0 -A+(AE-A) B 因此得到系统(13)能稳定的充要条件是系统(6)能 稳定 nd rank[A+E-A'A-A B]. 结合以上两步，得知本定理成立 行满秩，得到有(A2)成立.以上推导反过来也成 附注：本定理同时证明了系统(17)与系统(6) 立，从而(A2)成立时，矩阵[λE-ΦG行满秩， 有相同的能稳定性 即系统(6)能稳定.证毕. 定理4系统(6)能稳定的充要条件是(A2) 综合定理2到定理4，若(A2)成立，则系统 成立. (17)能稳定.反之，亦成立. 证明：若系统(6)是能稳定的，对任一复数入， 定理5 ((CIFC [CIFC ]T IG+CIFC]-CIFC Y-B G+CIFC.]-CIFC) 能检测的充要条件是(C,A)能检测. 复数入有 证明：记 F=CIFC [CIFC]T G+CFC]-C.FC. mku-国-8G+cCJ-cc- 引进复数单位j=√-1，设 I,-(A -B.[G+C:FC.]-CFC) prc rank mec jG+CFC]-CFC 则F=vV.于是 AL-AY AI,-AY (F AY -B [G+CIFC.]-CIFC rank mec rank 能检测当且仅当 0 0 (v -B G+CIFC]-CIFC,) 再由PBH判别法得到本定理.证毕. 定理6(C,A)能检测的充要条件是 能检测.注意到P2可逆，通过初等变换得到对任
北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 λ Iq 0 [ ] 0 0 － 槇A11 槇A12 槇A21 A 22 槇B1 B[ ] 2 行满秩的充要条件是矩阵 ［λIq － ( 槇A11 － 槇A12A － 1 22 槇A21 ) 槇B1 － 槇A12A － 1 22 B2 ］ 行满秩． 这就是说，( AN 1 ^ B1 ) 能稳定的充要条件是 系统( 14) 能稳定． 再由 P2 0 [ ] 0 Ir 和 Q2 可逆，得到 rank λ 槇 [ ] E － Φ G = rank Q2［λ 槇E － Φ G］ P2 0 ( ) [ ] 0 Ir = rank［λQ2 槇EP2 － Q2ΦP2 Q2G］= rank λ Iq 0 [ ] 0 0 － 槇A11 槇A12 槇A21 A 22 槇B1 B[ ] 2 ． 因此得到系统( 13) 能稳定的充要条件是系统( 6) 能 稳定． 结合以上两步，得知本定理成立． 附注: 本定理同时证明了系统( 17) 与系统( 6) 有相同的能稳定性． 定理 4 系统( 6) 能稳定的充要条件是( A2) 成立． 证明: 若系统( 6) 是能稳定的，对任一复数 λ， 如果| λ |≥1，由 rank λ 槇 [ ] E － Φ G = rank λIn － In … 0 0 0 λIn … 0 0 0 0 … λIn － In － Ad 0 … 0 λE － A 0 0 0 B = rank － In … 0 0 λIn λIn … 0 0 0 0 … λIn － In 0 0 … 0 λE － A － Ad 0 0 0 B = rank － In … 0 0 λIn 0 … 0 0 λ2 In 0 … 0 － In λd In 0 … 0 0 －Ad + λd ( λE －A) 0 0 0 B = nd + rank λd + 1 E － λd [ ] A － Ad B ． 行满秩，得到有( A2) 成立． 以上推导反过来也成 立，从而( A2) 成立时，矩阵 λ 槇 [ ] E － Φ G 行满秩， 即系统( 6) 能稳定． 证毕． 综合定理 2 到定理 4，若( A2) 成立，则系统 ( 17) 能稳定． 反之，亦成立． 定理 5 ( ^ CT 1 槇F ^ C1 －［^ CT 2 槇F ^ C1］T ［G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C2］－ 1 ^ CT 2 槇F ^ { } C1 1 /2 AN 1 － ^ B1 ［G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C2］－ 1 ^ CT 2 槇F ^ C1 ) 能检测的充要条件是( ^ C1 AN 1 ) 能检测． 证明: 记 ^ F = ^ CT 1 槇F ^ C1 －［^ CT 2 槇F ^ C1］T ［G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C2］－ 1 ^ CT 2 槇F ^ C1 ． 引进复数单位 j = 槡－ 1，设 V = 槇F1 /2 ^ C1 j ［G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ { } C2］－ 1 1 /2 ^ CT 2 槇F ^ C 1 ， 则 ^ F = VT V． 于是 ( ^ F1 /2 AN 1 － ^ B1 ［G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C2］－ 1 ^ CT 2 槇F ^ C1 ) 能检测当且仅当 ( V AN 1 － ^ B1 ［G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C2］－ 1 ^ CT 2 槇F ^ C1 ) 能检测． 注意到 槇F1 /2 可逆，通过初等变换得到对任 一复数 λ 有 rank λIq － ( AN 1 － ^ B1 ［G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C2］－ 1 ^ CT 2 槇F ^ C1 ) [ ] V = rank λIq － ( AN 1 － ^ B1 ［G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ C2］－ 1 ^ CT 2 槇F ^ C1 ) 槇F1 /2 ^ C1 j ［G 槇 + ^ CT 2 槇F ^ { } C2］－ 1 1 /2 ^ CT 2 槇F ^ C 1 = rank λIq － AN 1 槇F1 /2 ^ C1 0 = rank λIq － AN 1 ^ C1 0 = rank λIq － AN 1 ^ C 1 ． 再由 PBH 判别法得到本定理． 证毕． 定理 6 ( ^ C1 AN 1 ) 能检测的充要条件是 ·558·
第4期 曹梦娟等：状态时滞多采样率线性离散广义因果系统的最优输出调节器设计 ·559· (C,A,)能检测 证明：注意到 0 an C cA, [e c] ,= 「A,-A-A2] C,A-2 rank -A1 -A2 CA Lc c, 即知该定理就是文献]中的一个引理. AL,-(A.-A242A) 0 定理7(C,A,)能检测的充要条件是系统 rank -A3 -A2 (6)能检测. C,-C,42A 0 证明：按照PBH判别法，系统(6)能检测的充 要条件是对任一满足I入I≥1的复数入，矩阵 I,-(Au-ARAA) rank +rank(Az）= AE-重 C-CAA 列满秩 ank +rank(Az）. 01 和P2可逆，得到 即 e 6a- ank AI,-A 列满秩的充要条件是 列满秩.证毕 [e cl 因此，对任一满足I入1≥1的复数入，矩阵 定理8系统(6)能检测的充要条件是(A3) 成立 AE-Φ 证明：若系统(6)是能检测的，对任一复数入， 列满秩的充要条件是矩阵 如果1A1≥1，有 λE-Φ rank 0 42 c 0 A A AI -1n 0 0 0 0 [C,c] AI -I 0 0 0 0 AI 0 0 列满秩，即系统(6)能检测的充要条件是系统(9) rank 能检测.这也同时证明了系统非奇异线性变换不改 0 0 入I。 -1n 变广义系统的能检测性 -A 0 0 0 AE-A 又注意到A2可逆，得到 0 0 0 0 C
第 4 期 曹梦娟等: 状态时滞多采样率线性离散广义因果系统的最优输出调节器设计 ( C1 A1 ) 能检测． 证明: 注意到 ^ C1 = C1 C1A1 C1AN － 2 1 C1AN － 1 1 ， 即知该定理就是文献［7］中的一个引理． 定理 7 ( C1 A1 ) 能检测的充要条件是系统 ( 6) 能检测． 证明: 按照 PBH 判别法，系统( 6) 能检测的充 要条件 是 对 任 一 满 足 | λ | ≥1 的 复 数 λ，矩 阵 λ 槇E － Φ 槇 C 列满秩． 由 Q2 0 0 I [ ] m 和 P2 可逆，得到 rank λ槇E － Φ 槇 C = rank Q2 0 0 I [ ] m λ槇E － Φ 槇 C P 2 = rank Q2 ( λ槇E － Φ) P2 槇CP 2 = rank λ Iq 0 [ ] 0 0 － 槇A11 槇A12 槇A21 A 22 槇[ ] C1 C 2 ． 因此，对 任 一 满 足 | λ | ≥ 1 的 复 数 λ，矩 阵 λ 槇E － Φ 槇 C 列满秩的充要条件是矩阵 λ Iq 0 [ ] 0 0 － 槇A11 槇A12 槇A21 A 22 槇[ ] C1 C 2 列满秩，即系统( 6) 能检测的充要条件是系统( 9) 能检测． 这也同时证明了系统非奇异线性变换不改 变广义系统的能检测性． 又注意到 A22可逆，得到 rank λ Iq 0 [ ] 0 0 － 槇A11 槇A12 槇A21 A 22 槇[ ] C1 C 2 = rank λIq － 槇A11 － 槇A12 － 槇A21 － A22 槇C1 C 2 = rank λIq － ( 槇A11 － 槇A12A － 1 22 槇A21 ) 0 － 槇A21 － A22 槇C1 － C2A － 1 22 槇A21 0 = rank λIq － ( 槇A11 － 槇A12A － 1 22 槇A21 ) 槇C1 － C2A － 1 22 槇A 21 + rank( A22 ) = rank λIq － A1 C 1 + rank( A22 ) ． 即 λ Iq 0 [ ] 0 0 － 槇A11 槇A12 槇A21 A 22 槇[ ] C1 C 2 列满秩的充要条件是 λIq － A1 C 1 列满秩． 证毕． 定理 8 系统( 6) 能检测的充要条件是( A3) 成立． 证明: 若系统( 6) 是能检测的，对任一复数 λ， 如果| λ |≥1，有 rank λ 槇E － Φ 槇 C = rank λIn － In 0 … 0 0 0 λIn － In … 0 0 0 0 λIn … 0 0 0 0 0 … λIn － In － Ad 0 0 … 0 λE － A 0 0 0 … 0 C = ·559·
·560 北京科技大学学报 第36卷 AI -I 0…0 0 x1(0)= r1.5 -1 性能指标函数中的权重矩阵取为 X'I 0 -1…0 0 AL 0…0 F=1,G=1000 用Matlab仿真，可以得到带有状态时滞的多采 rank 样率离散广义因果系统的输出响应如图1所示.从 AL 0 0 …0 -I 图1中可以看出，本文所设计的调节器是有效的， -A+(E-A) 0 0 …0 0 可以使系统的输出响应很快的达到稳态.图2是相 0…0 0 应的输入. 0 -I 0 …0 0 0 0 -I …0 0 15 0 0 0 …0 0 10 rank 0 0 0 … 0 -I -A+"(E-A) 0 0 0 …0 0 0…0 0 -0.5 2 +E-AA-A] nd rank -1.0 20 30405060 70 时间/ 列满秩，则有(A3)成立.反之，若(A3)成立，矩阵 图1多采样率广义因果系统的输出响应 AE-重 Fig.I Output response of the multirate descriptor causal system 列满秩，即系统(6)能检测.证毕 综合定理1至定理8，己经得到本文最重要的 定理： 定理9若带有状态时滞的多采样率线性离散 时间广义因果系统(1)满足(A1)~(A4)的假设条 件，则其最优输出调节器由式(24)给出，K由式 -0.5 (23)确定，其中涉及的矩阵P是Riccati方程(20) -1.0 的唯一对称半正定解。 30 3040506070 6数值算例 时间 图2多采样率广义因果系统的输入 本节用一个数值算例来说明上节结果的有 Fig.2 Input of the multirate descriptor causal system 效性. 考虑形如系统(1)的带有状态时滞的多采样率 7结论 线性离散时间广义因果系统，各系数矩阵如下： 本文研究了带有状态时滞的多采样率线性离散 0101 007 011 时间广义因果系统的最优输出调节器的设计问题 E=000 ,A= -10 利用离散提升技术将原系统转化为单采样率正常系 统，再利用最优调节理论，得到了最优调节器.再 01 0 A4=00 - =[1 经过变换，最终得到了原系统的最优输出调节器 -1] 00 -1 并对调节器存在的条件进行了讨论，给出了单采样 率系统能稳定性和能检测性的充分条件.数值仿真 在这里假设状态时滞d=3. 的结果表明本文所设计的控制器是有效的. 经过计算，系统满足文中所有假设条件(A1)~ 广义系统理论与预见控制理论相结合己经是一 (A4),并取(A4)中的N=3,初始条件取为 个新的而且有意义的研究方向.在以后的研究中
北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 rank λIn － In 0 … 0 0 λ2 In 0 － In … 0 0 λ3 In 0 0 … 0 0 λd In 0 0 … 0 － In －Ad + λd ( λE －A) 0 0 … 0 0 λd C 0 0 … 0 0 = rank 0 － In 0 … 0 0 0 0 － In … 0 0 0 0 0 … 0 0 0 0 0 … 0 － In －Ad + λd ( λE －A) 0 0 … 0 0 λd C 0 0 … 0 0 = nd + rank λd + 1 E － λd A － Ad λ [ ] d C 列满秩，则有( A3) 成立． 反之，若( A3) 成立，矩阵 λ 槇E － Φ 槇 C 列满秩，即系统( 6) 能检测． 证毕． 综合定理 1 至定理 8，已经得到本文最重要的 定理: 定理 9 若带有状态时滞的多采样率线性离散 时间广义因果系统( 1) 满足( A1) ～ ( A4) 的假设条 件，则其最优输出调节器由式( 24) 给出，K( j) 由式 ( 23) 确定，其中涉及的矩阵 槇P 是 Ｒiccati 方程( 20) 的唯一对称半正定解． 6 数值算例 本节用一个数 值 算 例 来 说 明 上 节 结 果 的 有 效性． 考虑形如系统( 1) 的带有状态时滞的多采样率 线性离散时间广义因果系统，各系数矩阵如下: E = 0 1 0 0 0 0 0 0 1 ，A = 0 0 1 1 － 1 0 － 1 0 0 ， Ad = 0 1 0 0 0 1 0 0 － 1 ，B = － 1 0 1 ，C = [ ] 1 1 － 1 ． 在这里假设状态时滞 d = 3． 经过计算，系统满足文中所有假设条件( A1) ～ ( A4 ) ，并 取 ( A4 ) 中 的 N = 3，初 始 条 件 取 为 x1 ( 0) = 1. 5 [ ] － 1 ． 性能指标函数中的权重矩阵取为 F = 1，G = 1000． 用 Matlab 仿真，可以得到带有状态时滞的多采 样率离散广义因果系统的输出响应如图 1 所示． 从 图 1 中可以看出，本文所设计的调节器是有效的， 可以使系统的输出响应很快的达到稳态． 图 2 是相 应的输入． 图 1 多采样率广义因果系统的输出响应 Fig． 1 Output response of the multirate descriptor causal system 图 2 多采样率广义因果系统的输入 Fig． 2 Input of the multirate descriptor causal system 7 结论 本文研究了带有状态时滞的多采样率线性离散 时间广义因果系统的最优输出调节器的设计问题． 利用离散提升技术将原系统转化为单采样率正常系 统，再利用最优调节理论，得到了最优调节器． 再 经过变换，最终得到了原系统的最优输出调节器． 并对调节器存在的条件进行了讨论，给出了单采样 率系统能稳定性和能检测性的充分条件． 数值仿真 的结果表明本文所设计的控制器是有效的． 广义系统理论与预见控制理论相结合已经是一 个新的而且有意义的研究方向． 在以后的研究中， ·560·
