第4期 曹梦娟等：状态时滞多采样率线性离散广义因果系统的最优输出调节器设计 ·553· 0 0…0 0 0 -1200…00 0 0 0I 0 0 0 0 -1n0…00 0 0 0-1n…00 0 Φ= G= 0 0 0 0 0 det 000…00 0 0 0 0 0 0 A 00 …0 000…0-1n A 则得到 0 00…0 0 -A+A(QE-A) (-1）dt(-A4+(aE-4A)= Ex(k+1)=ΦX()+Gu(k). (5a) (-l）dt(a+1E-AA-A. 而且，系统(1)的观测方程变为 所以若(A1)成立，就存在A≠0，A≠1，使得det(aE- y(k)=Cx(k). (5h) )≠0.因此系统(6)是正则的. 其中C=00…00C] 下面继续对系统(6)进行形如系统(4)的因果 分解首先，令 至此，从系统(1)导出了式(5a)和式(5b),合 0 0 01 写为 0 0 0 EX(k+1)=X(k)+Gu(k), 0 0 0 0 (6) 02= Ly(k)=Cx(k). 系统(6)在形式上已经不存在状态时滞 0 0 0 … 0 可以验证，若(A1)成立，则系统(6)仍具有正 0 0 … 0 21J 则性，因为有 rI 0 0 01 0 0 … 0 det(λE-Φ)= 0 0 0 I … 0 0 AI -1n… 0 0 P2= 0 入I 0 0 0 0 0 I 0 det 0 0 0 0 P 0 0 入In -I 其中，Q和P,与式(3)中的同名量相同.再作变量 -Aa 0 0 λE-A 替换并进行分块，得 -I 0 0 0 x(k-d) x(k-d) XI. 0 0 x(k-d+1) x(k-d+1) 0 0 0 X(k)= =P2 x(k-2) det 0 0 0 0 0 x(k-2) x(k-1) x(k-1) x,() 0 -1n 0 x(k) x2(k) 0 0 0 0 AE-A -A 将其代入系统(6)，并将第一式两边分别左乘 0 0…0 0 X. Q2,得 0 - 0 …00 21n 「x(k-d+1)1 x(k-d) x(k-d+2) x(k-d+1) 0 0 -I. …0 0 A'L 0 0 …0 0 1. Q.EP, x(k-1) =Q:DP, x(k-2) x(k) x(k-1) 00… 0 -I. XI x,(k+1) x ( 0 0 0…0 0 -A+A(E-A） x2(k+1) x2(k)第 4 期 曹梦娟等: 状态时滞多采样率线性离散广义因果系统的最优输出调节器设计 Φ = 0 In 0 … 0 0 0 0 In … 0 0       0 0 0 … In 0 0 0 0 … 0 In Ad 0 0 … 0                    A  ，G = 0 0  0 0                  B  ， 则得到 槇EX( k + 1) = ΦX( k) + Gu( k) ． ( 5a) 而且，系统( 1) 的观测方程变为 y( k) = 槇CX( k) ． ( 5b) 其中 槇C =［0 0 … 0 0 C］． 至此，从系统( 1) 导出了式( 5a) 和式( 5b) ，合 写为 槇EX( k + 1) = ΦX( k) + Gu( k) ， y( k) = 槇 { CX( k) ． ( 6) 系统( 6) 在形式上已经不存在状态时滞． 可以验证，若( A1) 成立，则系统( 6) 仍具有正 则性，因为有 det ( λ 槇E － Φ) = det λIn － In … 0 0 0 λIn … 0 0      0 0 … λIn － In － Ad 0 … 0 λE －                A = det － In 0 0 … 0 0 λIn λIn － In 0 … 0 0 0 0 λIn － In … 0 0 0 0 0 λIn … 0 0 0        0 0 0 … λIn － In 0 0 0 0 … 0 λE －A －A                        d  = det － In 0 0 … 0 0 λIn 0 － In 0 … 0 0 λ2 In 0 0 － In … 0 0 λ3 In 0 0 0 … 0 0 λ4 In        0 0 0 … 0 － In λd In 0 0 0 … 0 0 －Ad + λd ( λE －A                        )  = det － In 0 0 … 0 0 0 0 － In 0 … 0 0 0 0 0 － In … 0 0 0 0 0 0 … 0 0 0        0 0 0 … 0 － In 0 0 0 0 … 0 0 －Ad + λd ( λE －A                      )  = ( －1) nd det ( －Ad + λd ( λE －A) ) = ( －1) nd det ( λd +1 E － λd A －Ad ) ． 所以若( A1) 成立，就存在 λ≠0，λ≠1，使得 det ( λ槇E － Φ) ≠0． 因此系统( 6) 是正则的． 下面继续对系统( 6) 进行形如系统( 4) 的因果 分解． 首先，令 Q2 = In 0 0 … 0 0 0 In 0 … 0 0 0 0 In … 0 0       0 0 0 … In 0 0 0 0 … 0 Q                  1 ， P2 = In 0 0 … 0 0 0 In 0 … 0 0 0 0 In … 0 0       0 0 0 … In 0 0 0 0 … 0 P                  1 ． 其中，Q1 和 P1 与式( 3) 中的同名量相同． 再作变量 替换并进行分块，得 X( k) = x( k － d) x( k － d + 1)  x( k － 2) x( k － 1) x( k                  )  = P2 x( k － d) x( k － d + 1)  x( k － 2) x( k － 1) x1 ( k) x2 ( k                       )  ． 将其 代 入 系 统 ( 6 ) ，并将第一式两边分别左乘 Q2，得 Q2 槇EP2 x( k － d + 1) x( k － d + 2)  x( k － 1) x( k) x1 ( k + 1) x2 ( k + 1                       )  = Q2ΦP2 x( k － d) x( k － d + 1)  x( k － 2) x( k － 1) x1 ( k) x2 ( k                       )  + ·553·