第二章自动控制系统的数学描述 一、控制系统的数学模型 控制系统的数学模型是描述自动控制系统输入、输出以及内部各变量的静态和动态关系的数 学表达式。控制系统的数学模型有多种形式：代数方程、微分方程、传递函数、差分方程、 脉冲传递函数、状态方程、方框图、结构图、信号流图和静态励态关系表等。 控制系统的数学模型的求取，可采用解析法或实验法。系统的数学模型关系到整个系统地分 析和研究，建立合理的数学模型是分析和研究自动控制系统最重要的基础。 1.微分方程 用解析法建立系统的微分方程的步骤： 1) 确定系统的输入、输出变量： 2)根据系统的物理、化学等机理，依据列出各元件的输入、输出运动规律的动态方程： 3)消去中间变量，写出输入、输出变量的关系的微分方程。 2.传递函数 )定义：传递函数是在零初始条件下，系统（或环节）输出量的拉氏变换与输出量的 拉氏变换之比。 2)性质： a)传递函数是线性系统在复频域里的数学模型： b)传递函数只与系统本身的结构与参数有关，与输入量的大小和性质无关： ©)传递函数与微分方程有相通性，两者可以相互转换。 3)表达形式 设系统的动态方程为一个阶微分方程 doy()+a++a+ay=bor(m)+br(++b+br 其中：(n>m) 则系统的传递函数为： G6)=g-6s”+s-1++ RS)as”+as++an 传递函数也可写成分子、分母多项式因式分解的形式，即 G)==s+s+-s+).k+ RG+ps+P)5+p.）i+P,)第二章 自动控制系统的数学描述 一、控制系统的数学模型 控制系统的数学模型是描述自动控制系统输入、输出以及内部各变量的静态和动态关系的数 学表达式。控制系统的数学模型有多种形式：代数方程、微分方程、传递函数、差分方程、 脉冲传递函数、状态方程、方框图、结构图、信号流图和静态/动态关系表等。 控制系统的数学模型的求取，可采用解析法或实验法。系统的数学模型关系到整个系统地分 析和研究，建立合理的数学模型是分析和研究自动控制系统最重要的基础。 1．微分方程 用解析法建立系统的微分方程的步骤： 1) 确定系统的输入、输出变量； 2) 根据系统的物理、化学等机理，依据列出各元件的输入、输出运动规律的动态方程； 3) 消去中间变量，写出输入、输出变量的关系的微分方程。 2．传递函数 1) 定义：传递函数是在零初始条件下，系统（或环节）输出量的拉氏变换与输出量的 拉氏变换之比。 2) 性质： a) 传递函数是线性系统在复频域里的数学模型； b) 传递函数只与系统本身的结构与参数有关，与输入量的大小和性质无关； c) 传递函数与微分方程有相通性，两者可以相互转换。 3） 表达形式 设系统的动态方程为一个 n 阶微分方程 ) ... ... ' 1 ( 1) 1 ( ) 0 ' 1 ( 1) 1 ( ) 0 n m a y a y a y a y b r b r b r b r m m m m n n n n  + + + + = + + + − + − − − 其中：（ 则系统的传递函数为: n n n m m m a s a s a b s b s b R s Y s G s + + + + + + = = − − ... ... ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 0 1 传递函数也可写成分子、分母多项式因式分解的形式，即 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2 j n j i m i n m s p k s z s p s p s p k s z s z s z R s Y s G s  +  + = + + + + + + = = = =  